1、2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵本节主要介绍矩阵的初等变换和初等矩阵，它们在求矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵以及解线性方程组等方面起着重要作用.2.5.1 2.5.1 矩阵的初等变换2.5.2 2.5.2 初等矩阵 2.5.32.5.3*分块矩阵的初等变换2.5.1 2.5.1 矩阵的初等变换定义2.5.1 矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：(1)互换矩阵A的第 i行与第 j行（或第 i列与第 j列）的位置，记为 rirj(或cicj);(2)用常数 k0去乘矩阵 A的第 i行(或第 j列)，记为kri(或 kcj);(3)将矩阵 A的第 j行（或第 j列）各元素的
2、 k倍加到第 i行(或第 i列)的对应元素上去，记为 ri+krj(或ci+kcj);这三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵 B,则称 A与 B等价，记为 AB，或 AB.等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质:(1)自反性：A A；(2)对称性：若 A B,则 A B;(3)传递性：若A B,B C,则A C.利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵，后者在以后将要介在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系.绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩以及线性方程组
3、的求解中都是非常有用的.定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件：(1)若有零行，则零行全在矩阵A的下方；(2)A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数；则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵.如果矩阵 A除满足上述条件(1)、(2)外，还满足条件：(3)各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称 A为简化阶梯形矩阵.例如 000075004120A00000130003840035021B为阶梯形矩阵；310001010020021C为简化阶梯形矩阵.阶梯形矩阵的一般形式为0000000000000000000000000000000000021
4、rjbbbb（2.5.1）上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示某一常数.定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形.证 设矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211应用行的互换和倍加变换就可以把它化为阶梯形.由于 A为非零矩阵，那么它至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是它的第一个非零列，并且 011ja，否则可通过交换矩阵中行的顺序即可达到目的.记 111jab 依次减去第一行的 ),3,2(11mkbakj倍，则A可化为 .从矩阵的第二行起，0000000011Ab其中 A1为(m-1)(n-j1)矩阵.再对矩阵 A1应用上述方法，继续进行下去，
5、即可把 A化为形如（2.5.1）的阶梯形矩阵.证毕.设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵(2.5.1),我们再对它的第k行分别乘以 ),2,1(1rkbk初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形 ，然后再对矩阵作第三种0000000000000000100001000001000（2.5.2）再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式 nm0000000000000001000000000000010000000100000001nmrOOOE（2.5.3）矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形.由以上讨论，我们可
6、以得到如下结论定理2.5.2 任意非零矩阵A=(aij)mn都与它的标准形等价,即存在矩阵 nmrOOOEnmrOOOEA，使 其中Er为 r阶单位矩阵,1rmin m,n.矩阵和它的标准形等价是一个重要结论，后面我们还要说明，对于一个矩阵来说，它的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性.例2.5.1 2.5.1 用初等行变换把矩阵50431754621223112100A化为阶梯形和简化阶梯形.解 5043175462121001223121rrA 9100042200121001223143rr4220091000121001223113)2(rrr4+r1910006200
7、0121001223123)2(rr1200006200012100122313421rr这就是矩阵 A的阶梯形.再对其进行初等行变换 120000620001210012231A12213063001210001300001rr,)21(3r4121r 10000010000010000031433rr42)5(rr41)15(rr此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.10000310005010015003131)6(rrr2+(-2)r3 如果再对 A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准形 10000010000010000031A1000001000001000000112)3(cc1
8、000001000000100000132cc0100000100000100000143ccc4c52.5.2 2.5.2 初等矩阵定义2.5.4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类：(1)互换E的第i行（列）与第 j 行（列），记为 1101111011),(jiEi 行j行(2)用数k0乘 E的第i行行(列)，记为 1111)(kkiEi行(3)用数k乘 E的第j行行(i列)加到第i行行(j列)上，记为 1111)(,(kkjiEi 行j 行我们把 )(,(),(),(kjiEkiEjiE分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵
9、.(1)初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质：(3)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且(2)初等矩阵都是可逆矩阵；),(),(1jiEjiE)1()(1kiEkiE)(,()(,(1kjiEkjiE对于初等矩阵，我们有如下定理定理2.5.3 设A是一个 mn矩阵,对 A作一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对 A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵.证 仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明.设矩阵 A=(aij)mn，用m阶初等矩阵E(i,j(k)左乘以A，则 jiaaaaaakaakaakaaaaaAkj,iEmnmmjnjj
10、jninjijiin212122111211)(上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵 A的第 j行乘以常数 k加到第 i行上).证毕.要注意,当进行列的第三种初等变换时,即将j列的 k倍加到 i列上去时，要右乘以)(,()(,(kjiEkijET,请读者自行验证之.由这个定理，矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系.利用定理2.5.3和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理 定理2.5.4 mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵P1,P2,Ps与n阶初等矩阵 Q1,Q2,Qt,使得 BQQAQPPPts2112若记P=Ps P2P1，Q=Q1Q2Qt，则 P为 m阶可逆矩阵，Q为 n阶可逆矩
11、阵，于是得到以下推论。推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q,使得 BPAQ 结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使得 OOOEPAQr（2.5.4）这里 OOOEr是矩阵A的标准形.推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A E 若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列式，|PAQ|=0即|P|A|Q|=0此与矩阵A,P,Q可逆，|A|P|Q|0矛盾.若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在 n阶初等矩阵 P1,P2,Pt,Pt+1,Ps，使 EPPAPPPPtsst11121111
12、1211sttPPPPPA即可逆矩阵 A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论，A一定是可逆的.因此，得到如下结论推论4 n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积.应用这个结论，可以得到一个应用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.设矩阵A可逆，则 A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A-1=P1P2Pt.由 A-1A=E，有 EAPPPl21（2.5.5）即121 AEPPPl(2.5.6)（2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有限次初等行变换可化为单位矩阵 E；(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同
13、时可以把单位矩阵 E化为 A-1.根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），(2.5.6)两式可合并为)()(121AEEAPPPl或 )(EA)(1AE初等行变换例2.5.2 设521310132A用初等行变换法求A-1 解 100521010310001132)(EA 00113201031010052131rr12(2)101021013010006112rr 20191001031010052112(-2)rrr3+r2 316161100010310120101613r 31616110012321010346136100131rrr2+(-3)r3.A316161123213461361
14、1所以 2.5.3 2.5.3*分块矩阵的初等变换前面介绍了矩阵的初等变换，它在求可逆矩阵的逆矩阵等方面有着重要的应用，下面我们把它推广到分块矩阵的情形.这里仅以22分块矩阵为例进行讨论.将n阶单位矩阵进行如下分块 skEOOEE，其中k+s=n 对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列)左乘（右乘）一个矩阵P(Q)，把某一行(列)的 M倍(N倍)(M,N为矩阵）加到另一行(列)上的初等变换，可得如下三种分块初等矩阵：(1)分块互换初等矩阵 OEEOksOEEOsk(2)分块倍乘初等矩阵 sEOOPQOOEk这里P为k阶可逆矩阵,Q为s阶可逆矩阵；(3)分块倍加初等矩阵 skEOMEskENO
15、E这里M为ks矩阵，N为 sk矩阵.同初等矩阵与初等变换的关系一样，对分块矩阵进行初等行变换或初等列变换，只需选择适当的分块初等矩阵去左乘或右乘该矩阵即可.例如，对于分块矩阵 DCBA（2.5.7）为了求逆矩阵或矩阵的行列式，往往需要把它的子块B或C化为零矩阵.为此，只要对该矩阵作第三种初等变换即可.对矩阵（2.5.7）左乘一个倍加分块初等矩阵，则skENOEDCBADNBCNABA为了消去（2.5.7）中的子块C，可选择适当的 N，使NA+C=O 当A可逆时，只需取N=-CA-1，则 skECAOE1DCBADBCAOBA1（2.5.8）若要消去矩阵（2.5.7）中的子块B，可右乘一个倍加分
16、块初等矩阵，DCBAskEOMEDCMCBAMA同样，在上式中可适当选择M，使 AM+B=O.当A可逆时，只需取M=-A-1B，则 DCBAskEOBAE1DBCACOA1(2.5.9)下面我们举例说明分块初等矩阵的应用.例2.5.3 设BCOAD其中A为k阶可逆矩阵，B为s阶可逆矩阵，求D-1 解 由于 skEOBCOEOAED)(skrAEOBCOAOE111 11121BOECBOAOEskrB1111(112BCABEOOAOEskC)rBr11111BCABOAD所以CBADDCBA证 由（2.5.9）例2.5.4 设A,B,C,D均为n阶方阵，矩阵A可逆，且AC=CA，证明DCBA
17、nnEOBAE1DBCACOA1上式两端取行列式DBCACOAEOBAEDCBAnn11即)(11DBCAADBCAADCBABCAAAD1BACAAD1CBAD例2.5.5 设A,B均为3阶方阵，且|B|0，试求 12BAABEB解 先通过初等变换把行列式所对应的分块矩阵12BAABEB左上角的子块-B化为零矩阵，然后利用行列式的拉普拉斯定理即可.由于12BAABEB122BAEEOEBOE上式两端取行列式12BAABEB122BAEEOEBOE即12BAABEB122BAEEO应用拉普拉斯定理12BAABEB|E|)(E216543218)2(3例2.5.6 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，证明 BAEABEnm证 构造分块矩阵nmEBAE由于nmEBOEnmEBAEBAEOAEnmnmEOAEnmEBAEnmEBOBAE对以上两式取行列式，并进行比较，可得 .BAEABEnm
