1、2.1 多项式插值多项式插值 总结总结2.1.4 Hermite插值多项式插值多项式2.1.3 均差和均差和Newton插值多项式插值多项式2.1.2 Lagrange插值多项式插值多项式2.1.1 问题的提出问题的提出第二章第二章 函数的函数的插值插值学习目标：掌握多项式插值的学习目标：掌握多项式插值的LagrangeLagrange插值公式、牛顿插值公插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差式等，等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。重点是多项式插值方法。2.1.1 2.1.1 问题的提出问题的提出函数解析式未知函数解析
2、式未知,通过实验观测得到的一组数据通过实验观测得到的一组数据,即在某个即在某个区间区间a,b上给出一系列点的函数值给出一系列点的函数值 yi=f(xi)或者给出函数表或者给出函数表y=f(x)xx0 x1x2xnyy0y1y2yn 求解：求解：y=f(x)在在 a,b 上上任一点任一点处函数值的近似值？处函数值的近似值？根据根据 f(x)在在n+1个已知点的值，求一个足够光个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数滑又比较简单的函数p(x)作为作为 f(x)的近似表达式，的近似表达式，插插值值法法然后计算然后计算 p(x)在在a,b 上点上点x 处的函数值作为原来处的函数值作为原来函数函数
3、f(x)在此点函数值的近似值。在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数解决思路解决思路(1.2)式称为式称为插值条件插值条件，x2 xn b 点上的值点上的值 y0,y1,yn.若存在一简单若存在一简单 函数函数 p(x),使得使得 p(xi)=yi i =0,1,2,n (1.2)(1.2)1、定义定义f(x)称为称为被插函数被插函数，a,b 称为称为插值区间插值区间，称为称为插值节点插值节点，求求 p(x)的方法就是的方法就是插值法插值法。设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，且已知在上有定义，且已知在 a x0 x1成
4、立成立,则称则称 p(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数。nxxx,10 近似计算近似计算f(x)的值、零点、的值、零点、极值点、导数、积分，极值点、导数、积分，插值点在插值区间内的称为插值点在插值区间内的称为内插内插,否则称否则称外插外插 插值函数插值函数p(x)在在n+1个互异插值节点个互异插值节点xi (i=0,1,n)处与处与f(xi)相等相等,在其它点在其它点 x 就用就用p(x)的值作为的值作为f(x)的近似值。这一过程称为的近似值。这一过程称为插值插值，点，点 x 称为插值点。称为插值点。换句话说换句话说,插值插值就是根据被插函数给出就是根据被插函数给出的函数表的函数表“插出
5、插出”所要点的函数值。用所要点的函数值。用p(x)的值作为的值作为f(x)的近似值的近似值,不仅希望不仅希望p(x)能较好能较好地逼近地逼近f(x),),而且还希望它计算简单而且还希望它计算简单。最常用的插值函数是最常用的插值函数是?代数多项式代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值多项式插值本章主要讨论的内本章主要讨论的内容容插值函数的类型有很多种插值函数的类型有很多种插值问题插值问题插值法插值法插值函数插值函数分段函数分段函数三角多项式三角多项式本章先讨论插值问题，然后讨论数据拟合的有关问题。本章先讨论插值问题，然后讨论数据拟合的有关问题。拟合法
6、拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式 经过所有的点经过所有的点 ，而只要求在给定的，而只要求在给定的 上误差上误差 （i=0，1，n）按某种标准最小。若记）按某种标准最小。若记=(1,2,n)T，就是，就是要求向量要求向量的泛数的泛数|最小。最小。),(iiyx)(xyii ix)(x1.1.定义：定义：若若p(x)是次数不超过是次数不超过n 的实系数代数多项的实系数代数多项式式,即即则称则称p(x)为为n 次插值多项式次插值多项式。相应的插值法称为相应的插值法称为多项式插值法多项式插值法。常用常用次数小于（等于）次数小于（等于）n的实系数
7、代数多项式集合的实系数代数多项式集合Hn：Hn=pn(x)|pn(x)=a0 +a1 x+an x n，ai为实数为实数p(x)=a0 +a1 x+an x nx0 x1x2x3x4 xf(x)p(x)曲线曲线 P(x)近似近似 f(x)研究问题：研究问题：（1）满足插值条件的）满足插值条件的P(x)是否是否存在唯一存在唯一？（2）若满足插值条件的）若满足插值条件的P(x)存在，存在，如何构造如何构造P(x)？（3）如何）如何估计估计用用P (x)近似替代近似替代 f(x)产生的产生的误差误差？2 2、插值多项式的存在唯一性、插值多项式的存在唯一性 设设 pn(x)是是 f(x)的插值多项式，
8、的插值多项式，Hn表示次数不超过表示次数不超过n 的所有多项的所有多项且且 pn(x)Hn.称插值多项式存在且唯一，就是指在称插值多项式存在且唯一，就是指在由由(1.2)可得可得 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010(1.3)方程组方程组(1.3)有唯一解有唯一解插值多项式的唯一性插值多项式的唯一性nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV21211020010111),(nijjixx0)(0(xixj)定理定理1 满足条件满足条件(1.2)的插值多项式存在且唯一。的插值多项式存在且唯一。范德蒙行列式范德蒙行列式a0,a1,a2,an存在唯一存在唯一
9、p(xi)=yi i =0,1,2,nHn 中有且仅有一个中有且仅有一个 pn(x)满足插值条件满足插值条件(1.2)式。式。式的集合。式的集合。上述的存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存上述的存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。然而，直接求解方在，并且插值多项式与构造方法无关。然而，直接求解方程组程组(1.3)(1.3)的方法，不但计算复杂，而且难于得的方法，不但计算复杂，而且难于得到到p(x)的的简单表达式。下面，我们将给出不同形式的便于使用的插简单表达式。下面，我们将给出不同形式的便于使用的插值多项式。值多项式。基本思想基本思想：在：在n n次多项式
10、空间次多项式空间Pn中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 0 0(x),),1 1(x),),3 3(x),),使使pn(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+an 3（x)不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法Lagrange插值插值Newton插值插值2.1.2 Lagrange插值多项式插值多项式求求 n 次多项式次多项式 使得使得nnnxaxaaxP 10)(),0,1,niiP xy in先考察低次插值多项式。先考察低次插值多项式。1 1、线性插值、线性插值当当n=1n=1时，时，要构造通过两点要构造通过两点(x0,y0 )和和(x1,y1)的不
11、超过的不超过1 1次次的多项式的多项式L1(x)，使得，使得100111(),()L xy L xyx 0 y y=f(x)的几何意义的几何意义)(1xLy y=L1(x)x0 x1 过两过两点点(x0,y0)与与(x1,y1)的直线的直线010110101)(xxxxyxxxxyxL 1010010()()yyyLxxxxx或或10100110(),()xxxxl xl xxxxxL1(x)是两个线性函数是两个线性函数的线性组合的线性组合称为节点上称为节点上线性插值基函数线性插值基函数11 10 0()()()yyL xl xl x线 性 函 数线 性 函 数 y10 xk xk+1 x.1
12、)(,0)(;0)(,1)(1111 kkkkkkkkxlxlxlxl l0(x)l1(x)节点上的节点上的线性线性 插值基函数：插值基函数：满足满足 y10 x0 x1 x11 100()()()yyL xl xl x10100110(),()xxxxl xl xxxxx例例1 1 已知已知 ,求求 10100 11121 115y解解:这里这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线利用线性插值性插值 1121100()1011100121121100 xxL x714.10)115(115py-过三点过三点(xk-1,yk-1),(xk,yk)与与(xk+1,yk+1)
13、2、抛物插值法、抛物插值法(n=2 时的二次插值时的二次插值)设插值节点为：设插值节点为：xk-1,xk,xk+1,求求二次插值多项式二次插值多项式L2(x)，使得使得L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.)(2xLy 的几何意义的几何意义基函数法基函数法 先求先求 插值基函数插值基函数l k-1(x),l k(x),l k+1(x)二次函数二次函数,且在节点且在节点 ,0)()(,1)(;0)()(,1)(;0)()(,1)(111111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxl的抛物线的抛物线,满足：满足：y 1 0 xy 1 0 xy
14、1 0 xxk-1 xk xk+1 求求 lk-1(x):,)()()(11 kkkxxxxAxl令令待定系数待定系数xk-1 xk xk+1 xk-1 xk xk+1)()()()()(11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)()()()()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)()()()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl )()()()()()()()()()()()()(111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.L2
15、(x)=yk-1 lk 1(x)+yk lk(x)+yk+1 lk+1(x)值件值件插条插条 ,0)()(,1)(;0)()(,1)(;0)()(,1)(111111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxl)()(1111 kkkkxxxxA再构造再构造插值插值多项式多项式L2(x)是三个二次是三个二次函数的线性组合函数的线性组合由由这种用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形。这种用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形。3 3、Lagrange 插值多项式插值多项式(n次次)求通过求通过n+1个节点的个节点的n 次插值多项式次插值多项式Ln(x)
16、：先求插值基函数先求插值基函数然后构造插值多项式然后构造插值多项式设设Ln(x)满足插值条件：满足插值条件：L n(xj)=y j (j=0,1,n ).定义定义 若若n 次多项式次多项式 lk(x)(k=0,1,n)在各节点在各节点 ,0;,1)(jkjkxljkj,k=0,1,n10 nxxx上满足条件上满足条件 则称这则称这n +1个个n 次多项式为这次多项式为这n+1个节点上的个节点上的n 次插值基次插值基函数函数。11 100()()()yyL xl xl xL2(x)=yk-1 lk 1(x)+yk lk(x)+yk+1 lk+1(x)（类似于前面讨论（类似于前面讨论n n=1,2
17、 =1,2 时的情形）时的情形）先求先求 插值基函数插值基函数)()()()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl ，k=0,1,n.,)()()()()(110nkkkxxxxxxxxAxl 令令k=0,1,n.)()()()(1110nkkkkkkxxxxxxxxA 得得,1)(kkxl由由再构造再构造 插值多项式插值多项式（Ln(x)是是n+1个插值基函数的线性组合）个插值基函数的线性组合）nkkknxlxfxL0)()(）定理定理（Lagrange）插值多项式插值多项式,),(),.,1,0()(,()(jixxnixfxxfyji
18、ii 当当函函数数表表设设的的插插值值多多项项式式为为，则则满满足足插插值值条条件件).1,0()()(nixfxLiin nkkknxlxfxL0)()(）),.1,0()(0nkxxxxxlnkjjjkjk 其其中中通常次数通常次数=n,但特殊情形次数可但特殊情形次数可 n,如：过三点的二次插值多项式如：过三点的二次插值多项式共线时共线时例例2 1231231,2,4,()8,()1,()5xxxf xf xf x求二次插值多项式。22(2)(4)(1)(4)(1)(2)()815(12)(14)(2 1)(24)(4 1)(42)31621xxxxxxL xxx解解 按拉格朗日方法，有：
19、按拉格朗日方法，有：显然，如此构造的显然，如此构造的L(x)是不超过是不超过n次次多项式。当多项式。当n=1时，称为线性插值。当时，称为线性插值。当n=2时，称为抛物线插值。时，称为抛物线插值。nkkknxlxfxL0)()(）),.1,0()(0nkxxxxxlnkjjjkjk 其其中中练习练习 给定数据表给定数据表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉格朗日插值多项式求三次拉格朗日插值多项式L3(x).123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10 xxxxxxxxx3301233,()0()1()5()14()nL xL xlxl xlxl
20、x ：取由()公式得解解 ).12)(1(616)132(2 xxxxxx设设 为插值节点，为插值节点，n次多项式次多项式 满足条件满足条件 由此可得由此可得nxxx 10),1,0)(nkxlk .,0,1)(kikixlikik,1,0,)(0nkxxxxxlnkiiikik 称为称为lagrange插值基函数插值基函数。引入记号。引入记号 容易求得容易求得于是，于是，lk(x)可以写成可以写成)()(01 niinxxx nkiiikknxxx01)()()()()()(11knknkxxxxxl x0 x1 xi xi+1 xn-1 xny=f(x)y=p(x)ab在插值区间在插值区间
21、 a,b 上用上用插值多项式插值多项式p(x)近似代替近似代替f(x),除了在插值节除了在插值节点点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记若记 R(x)=f(x)-p(x),则则 R(x)就是用就是用 p(x)近似代替近似代替 f(x)时的截时的截断误差断误差,或称插值余项或称插值余项.我们可根据后面的定理来估计它的大小我们可根据后面的定理来估计它的大小.4 Lagrange插值多项式的截断误差插值多项式的截断误差 2.1.10 .!11)1(xnfxLxfxRnnnn 定理定理 设设f(x)在在 a,b 有有n+1阶导数，阶导数，x0,x
22、1,xn 为为 a,b 上上n+1个互异的节点个互异的节点,Ln(x)为满足为满足 Ln(xi)=f(xi)(i=1,2,n)的的n 次插值多项式，那么对于任何次插值多项式，那么对于任何x a,b ,(a,b),有插值余项有插值余项其中其中1010()()()()()nnniixx xx xx xx x 分析：分析：).,(),(!)1()()()()(1)1(baxnfxLxfxRnnnn 其其中中要要证证不不确确定定，因因为为),(ba 且且采采用用构构造造法法。定定理理用用,Rolle证证上上任任一一点点，为为设设,bax),.,1,0()1(nixxi 若若定定理理成成立立。右右端端即
23、即,0)(xRn),.,1,0(,)2(nixxbaxi 且且若若),.,1,0(0)(nixRin 于于由由).()()()(,10nnxxxxxxxkxR 设设所所以以)()(1xxkn ),()(inixLxf 则则插值条件插值条件 nkknxxx01)()(有有关关的的待待定定函函数数为为与与其其中中xxk)(,),()()()()(1battxktLtftnn 作作辅辅助助函函数数:)(有有性性质质则则t,),).()()()()(10batxtxtxtxktLtfnn 连连续续，在在,)()(batn)!1()()()(),()()1()1()1(nxktftbatnnn 存存在在
24、，且且在在)(xk个个互互异异的的零零点点，内内至至少少有有在在定定理理可可知知，由由1),()(nbatRolle 内内至至少少有有一一个个零零点点，在在),()()1(batn 个个互互异异的的零零点点，内内至至少少有有在在nbat),()(当当t=x时时，Rn（x）当当t=x时时，Rn（x）个个互互异异的的零零点点，上上有有在在，即即2,)(),.,1,0(0)(,0)(nbatnixxi 0)(),()1(nba使使，即存在即存在0)!1()()()1(nxkfn niinnxxnfxR0)1()()!1()()(余余项项公公式式：!)1()()()1(nfxkn).,1,0(nixx
25、i 由由(1)(1)、(2)(2)知定理结论成立。知定理结论成立。#)()(xkxRn)(1xn ).()()()()()(10nnxtxtxtxktLtft nkkxx0)()()().()()()(110 xxkxxxxxxxkxRnnn )!1()()()()1()1(nxktftnn 注意注意 余项表达式仅当余项表达式仅当 存在时才能应用，且是唯一的。存在时才能应用，且是唯一的。)()1(xfn 在在(a,b)内的具体位置通常不能给出。内的具体位置通常不能给出。若有若有 ,则截断误差限是则截断误差限是 1)1()(max nnbxaMxf.)(!)1()(11xnMxRnnn ,|)(
26、|)(|11baxnxMxRnnn 和和有有关关，因因此此在在和和的的大大小小与与从从而而 n次插值多项式对次数不高于次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。次的多项式完全精确。若若f(x)为次数不高于为次数不高于n次的多项式次的多项式,从而从而Rn(x)=0.尽尽可可能能小小。个个插插值值节节点点的的选选择择应应使使给给定定的的情情况况下下，|)(|11xnn 则则f(n+1)()=0,=0,),(!)1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn y 0 x)(xf)(1xLxk xk+1 0P1P111()()()()()()(,)2!kkR xf xL xfx xx xa
27、 b余项为01111,()(),()(),kkP PL xf xf xL xxxx用通过两点的直线来代替即 线性插值：线性插值：n=1,2 时的插值余项时的插值余项：y 0 x2211()()()()()()()3!(,)kkkR xf xL xfx xx xx xa b余项为012211,(),()(),kkP P Pf xf xLxxxx用通过三点抛物线近似代替即 抛物线插值：抛物线插值：)(xfxk-1 xk xk+1 0P1P2P)(2xL例例 3 设设f(x)=lnx,并以知并以知f(x)的数据如表的数据如表2-1。.)()!1()(11xnMxRnnn lnx -0.916291
28、-0.693147 -0.356675 -0.223144x 0.40 0.50 0.70 0.80表2-1试用三次试用三次Lagrange插值插值多项式多项式 L3(x)来计算来计算ln(0.6)的近似值并估计的近似值并估计误差。误差。F(x)=lnx 函数图象函数图象解解 用用 和和 作三次作三次Lagrange插值多项式插值多项式 L3(x)，把，把x=0.6代入代入L3(x)中，得中，得 由于由于70.0,50.0,40.0210 xxx509975.0)6.0(3 L80.03x,4.234)(max48.04.0 xfx利用余项估计式利用余项估计式(2.1.11)可以得到可以得到I
29、n(0.60)的真值为的真值为-0.510826，由此得出，由此得出R3(0.6)=-0.00085。这个例子。这个例子说明，估计式说明，估计式(2.1.11)给出了一个较好的估计。给出了一个较好的估计。004.0)(3 xR（1 1）插值多项式的）插值多项式的存在唯一性存在唯一性（2 2）拉格朗日插值多项式的）拉格朗日插值多项式的构造构造(过程过程)以及以及误差估计（证明）误差估计（证明）。（3 3）会利用线性和抛物线插值计算函数在某）会利用线性和抛物线插值计算函数在某些点的近似值和误差些点的近似值和误差。拉格朗日插值拉格朗日插值采用插值基函数的线性组合来构造插采用插值基函数的线性组合来构造
30、插值多项式值多项式含义直观含义直观形式对称形式对称优点：优点：缺点：缺点：计算量大计算量大编程编程:例题例题3 ttxxxxjkj j=0,k-1,k+1,n 输 入 (xi,yi),n i=0,1,n 0 y 0 t 1=t k=n?输 出y y+t yk y k +1 k n y 拉格朗日插值算法实现拉格朗日插值算法实现 2.1.3 均差和均差和Newton插值多项式插值多项式 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个插值虽然易算，但若要增加一个节点时，节点时，全部基函数全部基函数 li(x)都需要重新计算。都需要重新计算。能否重新在能否重新在Pn中寻找新的中寻找新的基函数基函数？希
31、望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上上去即可。去即可。下面主要讨论下面主要讨论 Newton插值多项式的构造插值多项式的构造 差商的定义及性质差商的定义及性质 差分的定义及性质差分的定义及性质 等距节点的等距节点的Newton插值公式插值公式 由线性代数知由线性代数知,任何一个不高于任何一个不高于n n次的多项式次的多项式,都可以表都可以表示成函数示成函数)()(,),)(,1110100nxxxxxxxxxxxx的线性组合的线性组合,也就是说也就是说,可以把满足插值条件可以把满足插值条件p(xi)=yi (i=0,1,n)的的n n次插值多项式次插值多项式,写成如下形
32、式写成如下形式)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa其中其中ak(k=0,1,2,n)为待定系数为待定系数,这种形式的插值多项式称这种形式的插值多项式称为为Newton插值多项式。我们把它记为插值多项式。我们把它记为Nn(x)即即)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN1.Newton插值多项式的构造插值多项式的构造它满足它满足其中其中ak(k=0,1,2,n)为待定系数，形如上式的为待定系数，形如上式的插值多项式称为插值多项式称为牛顿牛顿(Newton)(Newton)插值多项式。插值多项式。)()()()(1101nn
33、nnxxxxxxaxNxN 因此，每增加一个结点，因此，每增加一个结点，NewtonNewton插值多项式只增加一项，插值多项式只增加一项，克服了克服了LagrangeLagrange插值的缺点。插值的缺点。01 (),(0,1,),?niinNxyina aa问题:如何由插值条件确定其中待定系数0000,().nxxNxaf当时10110101110,()().nffxxNxaa xxfaxx当时，推得)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN22012022021220102010221,()()()().nxxNxaa xxaxxxxfffffxxx
34、xaxx当时，推得.,3差商定义的一般表达式，引进为写出系数依此递推得到knaaa 自变量之差和因变量之差之比叫自变量之差和因变量之差之比叫差商差商 2.差商（均差的定义及性质）差商（均差的定义及性质）已知已知y=)(xf函数表函数表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxji 当当)(xf则则 在在 nnxxxxxx,12110 上平均变化率分别为：上平均变化率分别为：,)()(,010110 xxxfxfxxf ,)()(,121221xxxfxfxxf .)()(,111 nnnnnnxxxfxfxxf，即有定义：即有定义：定义为定义为f(x)的差商的差商）（1
35、.4定义 函数y=f(x)在区间xi,xi+1上的平均变化率iiiiiixxxfxfxxf111)()(,称为称为f(x)关于关于xi,xi+1 的一阶差商的一阶差商,并记为并记为fxi,xi+1iiiiiiiiixxxxfxxfxxxf212121,01102110,xxxxxfxxxfxxxfmmmmm阶差商阶差商二阶差商二阶差商f xi,xj,xk是指是指fxi,xj,xk=fxj,xk-fxi,xj xk-xi一般的一般的,可定义区间可定义区间xi,xi+1,xi+n上的上的n阶差商为阶差商为ininiiiniiiniiixxxxxfxxxfxxxf ,.,.,.,1121102102
36、1210,xxxxfxxfxxxf 例例如如：差商的性质 (0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 差商表差商表 计算顺序计算顺序:即每次用前一列同行的差商与前一列上一行的差即每次用前一列同行的差商与前一列上一行的差商再作差商。商再作差商。xifxifxi,
37、xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+200283275125621640208 1923827 493527125 9156125216 503419 10251949 14364991 105510 1261014 例例1 求求 f(xi)=x3在节点在节点 x=0,2,3,5,6上的各阶差商值上的各阶差商值解解:计算得如下表计算得如下表nknkkkkkkkknkiiikknkkknxxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxf011100010)()()()()()()()(,其中这个性质可用数学归纳法证明这个性质可用数学归纳法证明性质性质1 函数函数 f(x
38、)的的 n 阶差商阶差商 f x0,x1,xn 可由可由 函数值函数值 f(x0),f(x1),f(xn)的线性组的线性组 合表示合表示,且且.,1.:011100010110命题成立时当数学归纳法证明xxxfxxxfxxxfxfxxfkmmjjmjjjjjjjmmmjmjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010111010)()()()(,)()()()(,1和即命题成立时设1102001,mmmmmmxxxxfxxxfxxfm知阶差商定义和上面两式由mmjjmjjjjjjjmmmjmjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxx
39、xxxfxxfmk10 1102010111010)()()()(,)()()()(,1和即命题成立时设121011120201211011)()()(1)()()(1)()()(11)(mmmmmmmmmmmmmjmmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf.)()()()(0110归纳法完成时命题成立于是，当mkxxxxxxxxxfmjmjjjjjjjfx0,x1=fx1,x0f(x1)-f(x0)x1 x0f(x0)-f(x1)x0 x1=性质性质2 2 差商具有对称性差商具有对称性,即在即在k k阶差商中阶差商中 任意交换两个节点任意交换
40、两个节点 和和 的次序的次序,其值不变。其值不变。例如例如kxxxf,10ixjx0110,xxfxxf120021210,xxxfxxxfxxxf已知已知)(xfy 函数表（函数表（4.1）,由差商定义及对称性，得由差商定义及对称性，得 000)()(,xxxfxfxxf )()(,)()(000axxxxfxfxf 110010,xxxxfxxfxxxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf 221010210,xxxxxfxxxfxxxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf nnnnxxxxxfxxxfxxxf ,10100 )()(,01010d
41、xxxxxfxxxfxxxfnnnn 3 牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导，)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxji 当当将将(b)式两边同乘以式两边同乘以,)(0 xx )()(,)()(000axxxxfxfxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn )()(,11010 nnxxxxxxxxxf)()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf
42、)(0 xx ,0 xxf )(,00 xxxxf 抵消抵消)(10 xxxx 10,xxxf )(,110 xxxxxf 抵消抵消)()(110 nxxxxxx)(,2210 xxxxxxf 10,nxxxf抵消抵消)()(0 xfxf,10 xxf)(0 xx )(10 xxxx 210,xxxf)(0 xx )(,010nnnxxxxxfxxxf )()(110 nxxxxxx)()(110 nxxxxxx(d)(d)式两边同乘以式两边同乘以,把所有式子相加把所有式子相加,得得，)(10 xxxx ,(c),(c)式两边同乘以式两边同乘以 )()(,)()(,)(,)(,)()(1100
43、11010102100100nnnnnxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 记记 00100120101011()(),(),()(),()()()nnnNxf xf xxxxf xx xxxxxf xxxxxxxxx)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR )()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )()(,)(,)(,)(11010102100100 nnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxf-牛顿插值多项式牛顿插值多项式-牛顿插值余项牛顿插值余项)(,10jnjnxxxxxf 可以验证可以验证 ()()(0,
44、1,)inif xN x in，即，即 满足插值条件满足插值条件,因此因此()nNx可得以下结论。可得以下结论。)(xf()nNx)(xRn 定理定理6),();,1,0)(,(jixxnixfxjiii 当当则满足插值条件则满足插值条件()(),(0,1,)inif xN xin的插值多项式为：的插值多项式为：()()()nnf xNxR x（牛顿插值多项式）（牛顿插值多项式）其中，其中，0010()(),()nN xf xf x x x x)()(,11010 nnxxxxxxxxxf-牛顿插值多项式牛顿插值多项式)(,)(010ininnxxxxxxfxR -牛顿插值余项牛顿插值余项已知
45、已知 函数表函数表)(xfy,10 xxf,10nxxxf)(0 xf牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数.6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1 插值多项式求四次牛顿时设当iixfx练练习习kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1(0)2)(1(3)1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx,63192.0)59
46、6.0()596.0(),8.0)(65.0)(55.0)(4.0(03134.0 )65.0)(55.0)(4.0(19733.0 )55.0)(4.0(28.0)4.0(116.141075.0)(44NfxxxxxxxxxxxN做出差商表，得到,)()()(4104104xxxxfxxxxxxxR.)596.0()(的近似值，估计误差，计算求四次牛顿插值多项式的函数表，给定fxf例2例2.1063.3|)596.0(,|)(|955104xxxfxR.,63192.0)(596.041的近似值得和或由xxxfxfx性质性质3 n3 n阶差商阶差商 和和n n阶导数之间有下阶导数之间有下
47、列关系列关系 这个性质可直接用罗尔（这个性质可直接用罗尔（RolleRolle）定理证明）定理证明01,nfxxx()0100(),(min,max)!nniii ni nff x xxxxn 证明：余项证明：余项R(x)=f(x)-N(x)R(xi)=f(xi)-N(xi)=0 i=0,1,n Rn(n)(x)=f(n)(x)-Nn(n)(x)=f(n)(x)-f(x0)+(x-x0)fx0,x1+(x-x0)(x-x1)fx0,x1,x2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n)=f(n)(x)-n!fx0,x1,xnRn(xi)=0 (i=0,1,.,n)Rn(i
48、)=0 (i=0,1,.,n-1)Rn(n)()=0 (x0,x1,xn)Rn(n)()=0=f(n)()-n!fx0,x1,xn)!()(,.,)(10nfxxxfnn 即即R(x)在在 x0 0,xn n 有有n+1n+1个零点，根据罗尔定理个零点，根据罗尔定理R R(n)(n)(x)在在 x0 0,xn n 有有1 1个零点，设为个零点，设为，即有，即有 Rn(n)()=0例例3 设设f(x)=，并已知，并已知f(x)的数据如表的数据如表2-3。1.414214 1.449138 1.483240 X 2.0 2.1 2.2 x表表2-3x试用二次试用二次Newton插值插值多项式多项式
49、 N2(x)计算计算f(2.15)的近似值讨论其误差。的近似值讨论其误差。函数f(x)=的图象x解解 先均差表，具体数据如表先均差表，具体数据如表2-4。表表2-4 2.0 1.414214 2.1 1.449138 0.34924 2.2 1.483240 0.34102 -0.04110 xk f(xk)一阶均差 二阶 均差利用利用Newton插值公式有插值公式有取取x=2.15得得 注意到注意到可以得出可以得出).1.2)(0.2(04110.0)0.2(34924.0414214.1)(2 xxxxN.466292.1)15.2(2 N,06629.0)(max,83)()3(2.20
50、.22)3(xfxxxfx事实上，事实上，f(2.15)的真值为的真值为1.466288,由此得出由此得出 。由此看出，所得结果是满意的。由此看出，所得结果是满意的。.10552417.0)()(max522.22 xNxfx5104.0)15.2(R利用利用Newton插值公式，还可以方便地导出某些带导数的插值公插值公式，还可以方便地导出某些带导数的插值公式，如下例。式，如下例。.0)0(0)1(1)2(2)1(ffff例例4 已知函数已知函数f(x)的如下值的如下值:求不超过求不超过3次的多项式次的多项式P3(x)，使得满足插值条件：，使得满足插值条件：.0)0(0)1(1)2(2)1(f
