1、4 函数的极值与最大(小)值二、最大值与最小值 极大(小)值是局部的最大(小)值,它一、极值判别们将逐一研究函数的这些几何特征.有着很明显的几何特征.在本节中,我费马定理告诉我们费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳可微函数的极值点一定是稳一、极值判别我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的定是水平的定是水平的.定点定点.也就是说也就是说,在曲线上相应的点处的切线一在曲线上相应的点处的切线一0()fx 条件，费马定理的结论条件，费马定理的结论 就无从说起就无从说起.条件下建立的条件下建立的.换句话说，若没有可微这个前提换句话说，若没有可微这个前提
2、当然，费马定理的逆命题亦不真当然，费马定理的逆命题亦不真.例如对于任意例如对于任意3()0yxxx 函数在点的函数在点的下面给出极值的充分条件下面给出极值的充分条件.定理定理6.10 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件)设函数设函数 f(x)在在00(;).xUx 连续，在某邻域上可导连续，在某邻域上可导 0 x 但但不不是是它它的的导数为零,导数为零,极值点极值点.yOx(),(0)0,x 的可微函数的可微函数0()0,().fxf xx时时，则则在在点点取取得得极极小小值值00000(ii)(,),()0,(,)xxxfxxx x 若若当当时时当当0()0,().fxf xx时时，则则
3、在在点点取取得得极极大大值值证证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法根据导函数的符号判别函数单调性的方法,可可000(i)(,)()0,xxxfx 若若当当时时,00(,)xx x 当当出出(i)的证明的证明.以知道该定理的几何意义十分明显以知道该定理的几何意义十分明显.在这里仅给在这里仅给,()(,),(,0)(0000 xxxfxxxxf 在在因为因为上上递递减减，故故在在上上连连续续，所所以以,()(00 xxxf 000()(),(,).f xf xxxx 000()(),(,).f xf xxxx 于是于是00()(),(;),f xf xxUx 0().xf x即是的一个极小值点
4、即是的一个极小值点00(),)f xxx 同同理理可可证证在在上上递递增增,故故定理定理 6.11 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件)设设 f(x)在点在点 x000(;)()U xfx 的某邻域内可导，存在.若的某邻域内可导，存在.若0(),xxf x 那么是的一个极值点并且那么是的一个极值点并且000(i)(),().fxf xxx 则在处取极小值则在处取极小值000(ii)(),().fxf xxx 则在处取极大值则在处取极大值证证 同样我们仅证同样我们仅证(i).因为因为 0000000()()()()limlim,xxxxfxfxfxfxxxxx 00(),fx 00(),fx
5、 所以由保号性，所以由保号性，00,(;)xUx存在当时,存在当时,00().fxxx 00(,),xxx 从而当时从而当时由极值判别的第一充分条件得知由极值判别的第一充分条件得知:x0 是极小值点是极小值点.,),(00时时当当 xxx0().fx 00();fx 注注 建议读者与教材上的证明方法相比较建议读者与教材上的证明方法相比较,这里这里的的例例1.lnarctan3)(的极值点的极值点求函数求函数xxxf 解解 由由,0)1()13(113)(222 xxxxxxxf求得稳定点求得稳定点.253,25321 xx证明方法更具一般性证明方法更具一般性.3502x 当时，当时，0();f
6、x ,253253 时时当当 x0();fx ,253时时当当 x0().fx 所以所以1()xf x是的极小值是的极小值2().xf x点,是的极大值点点,是的极大值点(参见右图参见右图)1x2x3arctanlnyxxxyO424例例2.)()(32的极值点与极值的极值点与极值求函数求函数xaxxf 解解5233()(,).f xxax 在上连续在上连续,0时时当当 x213352()33afxxx ).25(313axx 2050,;aaxx当时 稳定点为不可导点为当时 稳定点为不可导点为时，时，当当0 a稳定点为稳定点为 x=0，没有不可导点没有不可导点.为了更好地加以判别，我们列表如
7、下：为了更好地加以判别，我们列表如下：0)1(axy y(,0)a2(0,)5 a25a2(,)5 000不存在不存在增增 增增a25333 25 5 减减即即0(0)0;xf是是极极大大值值点点，是是极极大大值值是极小值是极小值.0)2(axy ya2(,)5 a2(,0)5 0(0,)025a不存在不存在增增 25333 25 5a 减减极小值极小值增增ax25 是极小值点,是极小值点,afa253323 25 55 .0)0(,0;是极小值是极小值是极小值点是极小值点是极大值是极大值 fx53(3)0,().af xx请读者自行讨论请读者自行讨论.-11-2-11Oxy1x(1)-1-1
8、1O1xy(2)即即ax2,5 是极大值点是极大值点afa25333225 55 解解,0)(xxf的定义域为的定义域为.4322)(2xxxf 又因为又因为得得令令.6,0)(xxf,0668642)6(3 f由定理由定理6.11,x=6是极小值点是极小值点,f(6)=108是极小值是极小值.试问这里为什么不考虑不可导点试问这里为什么不考虑不可导点 x=0?例例 3的极值点与极值的极值点与极值求求xxxf432)(2 .定理定理 6.12(极值的第三充分条件极值的第三充分条件)设设 f 在在点点 x0 的的某邻域内存在直到某邻域内存在直到()0(1),()nnfx 阶阶的的导导数数 且且nf
9、xfxfx(1)000.()()()0,存存在在若若()0()0,:nfx 则有则有对于对于 的情形的情形,可借助于更高可借助于更高0)(,0)(00 xfxf()00()0()0,(i),()0;nnfxnxfx 极小值点,当极小值点,当为偶数时是为偶数时是极大值点,当极大值点,当阶的导数来判别阶的导数来判别.证证 由泰勒公式由泰勒公式,有有()()0000()()()()()!nnnfxf xf xxxoxxn(ii)n 为奇数时为奇数时,不是极值点不是极值点.0 x00()()().nnf xxxx 其中其中 它在某邻域它在某邻域 ()0()()(1),!nnfxxon 0(;)U x(
10、)0(i)()0,nnfx 当为偶数,而时 有当为偶数,而时 有()0()nfx内恒与内恒与 同号同号.00()()0,(;),nnxxxxU x000()(),(;),;f xf xxU xx 故即是极小值点故即是极小值点()0()0,nfx 又当时 有又当时 有00()()0,(;),nnxxxxU x000()(),(;),.f xf xxU xx 故即是极大值点故即是极大值点(ii),n当当为为奇奇数数时时 有有000000,(,),()0,(,).nxxxxxxxx 00()(),nnxxxx 从而在左右两侧异号从而在左右两侧异号这就说明这就说明了了 不是极值点不是极值点.0 x例例
11、 443()(1).f xxx求函数的极值求函数的极值),287)(1(6)(22 xxxxxf,074,0)1()0(fff所以由第二判别法所以由第二判别法,解解32()(1)(74)0,fxxxx 由由10,x 求得求得2341,.7xx是稳定点又因是稳定点又因46912.7823543f 求得极小值为求得极小值为),4306035(6)(23 xxxxxf(0)0,(1)1,ff 因此因此 x=1 不是极值点不是极值点(n=3 是奇数是奇数).又因又因而对于稳定点而对于稳定点 却无法知道结果却无法知道结果,我们尝试我们尝试12xx与与用用第三充分条件来进行判别第三充分条件来进行判别.由于
12、由于,)1154535(24)(23)4(xxxxf(4)(0)0,f(n=4是偶数是偶数).(0)0f 所以是极大值所以是极大值21e,0()0,0 xxf xx 注注 第三充分条件并不是万能的第三充分条件并不是万能的.例如例如 x=0 是是,的极小值点 但是因为的极小值点 但是因为1,2,k ,0)0()(kf所以无法用定理所以无法用定理 6.12 来判别来判别.二、最大值与最小值 由连续函数的性质由连续函数的性质,若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,那那只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得.一定是极大一定是极大(小小)值值.这也就告诉
13、我们这也就告诉我们:最大最大(小小)值值区间内部区间内部(不是端点不是端点)取得最大取得最大(小小)值值,那么这个值那么这个值因为极大因为极大(小小)值是局部的最大值是局部的最大(小小)值值,故若函数在故若函数在值提供了强有力的保证值提供了强有力的保证.么一定有最大、最小值么一定有最大、最小值,这对求函数的最大这对求函数的最大(小小)(1)().f x求求出出的的稳稳定定点点(2)().fx 求出不存在的点求出不存在的点下面具体介绍求函数最大下面具体介绍求函数最大(小小)值的方法值的方法.(3)设设(1)和和(2)的点为的点为 由前面的分析由前面的分析,.,21nxxx可知可知 f(x)在在
14、a,b上有上有:1max(),(),(),(),nMf af xf xf b最最大大值值1min(),(),(),().nmf af xf xf b最最小小值值例例 5|1292|)(23xxxxf 求求函函数数在区间在区间 25,41上的最大、最小值上的最大、最小值.解解 .)(2541值值存存在在小小故故最最大大上上连连续续，在在 xff xxxx2()(2912),250,)1292(041,)1292(22 xxxxxxxx所以所以xxfxxx2261812()61812 16(1)(2),04.56(1)(2),02xxxxxx fff x(00)12,(00)12,()容易计算并且
15、容易计算并且在在 x=0 连续，由导数极限定理推知连续，由导数极限定理推知故在故在 x=0 不可导不可导.,12)0()0(12 ff所以所以 这样就得到不可导点为这样就得到不可导点为 0,稳定点为稳定点为 1,2.又因又因(1)5,(2)4,(0)0,fffff5(1)5,2最大值为最大值为f(0)0.最小值为最小值为51115,5,2324ff上无极小值点上无极小值点.所以最小值只能在端点取到所以最小值只能在端点取到,故故 例例 6 证明不等式：证明不等式：221,01.xxx证证xF xxF x2()21.()0,设设要要证证也也就是要证就是要证 F(x)的最小值非负的最小值非负.xxF
16、xx Fx2()2 ln22,()2(ln2)2.FxF x(0,1)()0,()(0 1)因因为为在在内内这这就就说说明明在在，mFFmin(0),(1)0.于是证得于是证得 221,0,1.xxx(见下图见下图)y10.050.10.15Ox221xyx 例例 7 如图所示如图所示,剪去正方形剪去正方形axx时时,盒子的容积最大盒子的容积最大.去的小正方形的边长为何值去的小正方形的边长为何值 制成一个无盖的盒子制成一个无盖的盒子,问剪问剪 四角同样大小的小正方形后四角同样大小的小正方形后 解解 设正方形的边长为设正方形的边长为 a,每一个小正方形的边长每一个小正方形的边长aV xx axx
17、2()(2),0,.2().62aaxx所以稳定点为是端点又所以稳定点为是端点又,046 aaVaaVxx xx()6,26 因为因为为为 x，则盒子的容积为，则盒子的容积为 仅有唯一的极值仅有唯一的极值,那么这个极那么这个极(大大)值一定是最大值一定是最大32.()0,6272aaaVV x 推知为极大值 因为在上推知为极大值 因为在上例例8 设某商店每天向工厂按出厂价每件设某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一元购进一2723a小正方形后，得到最大容积为小正方形后，得到最大容积为 的无盖盒子的无盖盒子.6a值值.所以问题的解为所以问题的解为:在四个角上截取边长为在四个角上截取边长为 的的
18、为为 400 件件.若零售价每降低若零售价每降低 0.05元元,可多售可多售 40 件件,批商品零售批商品零售.若零售价定为每件若零售价定为每件 4 元元,估计销售量估计销售量解解 设每件定价为设每件定价为 p，购进，购进 x 件件(应该全部卖完应该全部卖完),问每件定价多少和从工厂购进多少时才能获得最问每件定价多少和从工厂购进多少时才能获得最,80005.040495.34004404400px3600800.xp即即所所以以()(3)(3600800)L ppp大利润大利润.Lpx(3).则利润为由条件则利润为由条件 p 与与 x 的关系为的关系为,1080060008002 ppL pp
19、()16006000.结论：结论：(1)定价为定价为 3.75 元元/件时可获最大利润件时可获最大利润 450 元元;(2)应从工厂购进应从工厂购进 36008003.75600().x 件件()0,3.75.(3.75)16000,LppL 令令则则L(3.75)=450(元元)是极大值是极大值.因为因为 L(p)在所讨论的在所讨论的区间上仅有一个极值，所以区间上仅有一个极值，所以 L(3.75)就是最大值就是最大值.复习思考题1.若若 f(x)在在 x0 取极大值，是否可断定在取极大值，是否可断定在 x0 充分充分2.若若 f(x)在区间在区间 I 上连续，且仅有惟一的极值点上连续，且仅有惟一的极值点 .0,2,0),1sin2(2)(2xxxxxf考察例子考察例子:小邻域内小邻域内,f(x)在在 x0 的左侧递增，右侧递减？试的左侧递增，右侧递减？试 必为必为 I 上的最大上的最大(小小)值？值？x0。试问当试问当 f(x0)为极大为极大(小小)值时，为什么值时，为什么 f(x0)
