1、三棱锥外接球相关6类习题小全一.正三棱锥外接球1各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD2已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）ABCD二.可以补成直三棱柱(注:一个侧棱垂直底面)3在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为（）ABCD4已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PAABAC2，BAC120，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）ABCD三.矩形变形(对角线是直径的应用)5在矩形中，.将沿对角线BD翻折，得到三棱锥，则该三棱锥
2、外接球的表面积为_；三棱锥体积的最大值为_.6已知矩形,将沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中,有下列结论:1)三棱锥的体积最大值为;2)三棱锥的外接球体积不变;3)三棱锥的体积最大值时,二面角的大小是60;4)异面直线AB与CD所成角的最大值为90其中正确的个数是（）A3B1C2D4四.已知外接球半径求解问题7三棱锥的外接球为球，球的直径，且、都是等边三角形，则三棱锥的体积是（）ABCD8若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（）ABCD五.折叠问题9在中，是的中点，.将沿折起得到三棱锥，使得，则该三
3、棱锥的外接球的表面积为_.10如图，已知的外接圆为圆，为直径，垂直圆所在的平面，且，过点作平面，分别交于点，则三棱锥的外接球的体积为_.11已知四边形是边长为3的菱形且一个内角为，把等边沿折起，使得点到达点，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为_12在菱形中，为的中点，将沿直线翻折成，如图所示，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积是_.六.顶点放在长方体顶点转化为公式求解13在正三棱锥中，分别是棱，的中点，且，设三棱锥外接球的体积和表面积分别是和若，则（）ABCD14已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥体积取最大值时，则三棱锥外接球的体积为_.三棱锥外接
4、球相关6类习题小全1各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】D【详解】因为侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4 =3a2故答案为D点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过
5、圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径2已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）ABCD【答案】B【分析】根据正三棱锥底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，求出三棱锥的高和侧高，利用勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可.【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
6、则有，也即，解得：，正三棱锥的体积，也即，解得：，所以，故选：B.【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半径乘以正三棱锥的表面积就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径.3在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值【详解】设，在等腰中，设的外心是，外接圆半径是，则，设外接球球心是，则平面，平
7、面，则，同理，又平面，所以，是直角梯形，设，外接球半径为，即，则，所以，在直角中，令，则，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是故选：D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题4已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PAABAC2，BAC120，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】由平面，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，三棱柱上下两个底面的外心连线的中点就是
8、球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，为的中点，为底面外接圆的半径，由余弦定理得由正弦定理得，由，得，所以球的表面积为故选：C5在矩形中，.将沿对角线BD翻折，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为_；三棱锥体积的最大值为_.【答案】 #0.25【分析】空1：作出相应的图象，求出三棱锥的外接球的半径，由球的表面积公式求解外接球的表面积即可；空2：若最大，则需点A到平面的距离d最大，利用等面积法求出点A到BD的距离为为定值，然后确定d的最大值，即可得到三棱锥体积的最大值.【详解】解：作出图象如图所示
9、，在矩形中，则，连接AC，BD交于点O，则，设该三棱锥的外接球的半径为R，则，所以该三棱锥外接球的表面积因为中，BD边上的高为，所以点A到BD的距离为，若最大，则需点A到平面的距离d最大，所以，当且仅当平面平面时取等号，此时，所以三棱锥体积的最大值为.故答案为：；.6已知矩形,将沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中,有下列结论:三棱锥的体积最大值为;三棱锥的外接球体积不变;三棱锥的体积最大值时,二面角的大小是60;异面直线AB与CD所成角的最大值为90其中正确的个数是（）A3B1C2D4【答案】C【分析】在翻折过程中,平面平面时,三棱锥的体积最大,可判断的正误,取中点为,可得,所
10、以为棱锥的外接球圆心,故体积不变,可判断的正误,平面平面时,三棱锥的体积最大,找到二面角的大小所对应的角,求出余弦值,可判断的正误,假设,由线面垂直的判断和性质,可判断的正误.【详解】解:关于,画图如下:由题知,当平面平面时,三棱锥的体积最大,过点D向AC做垂线,垂足为E,在中可得,平面平面,平面平面,是三棱锥的高,三棱锥的体积最大值为,故错误;对于,记中点为,如图所示和均为直角三角形,为中点,为棱锥的外接球圆心,半径为,三棱锥的外接球体积不变,故正确;关于,当平面平面时,三棱锥的体积最大,由知,平面,过做,交于,连接,平面,平面,故即为二面角的大小,为的四等分点,为的四等分点,故错误;关于,
11、当沿对角线AC进行翻折,使得时,在中,平面,平面,平面,此时,故异面直线AB与CD所成角的最大值为90正确,故正确;故选:C7三棱锥的外接球为球，球的直径，且、都是等边三角形，则三棱锥的体积是（）ABCD【答案】C【分析】取外接圆圆心，连接的中点即球心与，由球的性质可知与平面垂直，求出、，由勾股定理求出，即可得到到平面的距离，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】解：取外接圆圆心，连接的中点即球心，由球的性质可知与平面垂直，因为，且为等腰直角三角形，所以，在中，故，又，故到平面的距离，因此；故选：C.8若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，
12、则三棱锥的外接球的体积为（）ABCD【答案】D【分析】根据给定条件，求出外接圆直径，结合锥体体积公式及球面的性质求出球半径即可计算作答.【详解】如图，设的中心为，连接，的延长线交球面于点D，连SD，显然CD是外接圆的直径，则，而平面ABC，则平面ABC，因正边长为3，则，又，而，解得，在中，球O的直径，球O的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.故选：D9在中，是的中点，.将沿折起得到三棱锥，使得，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【分析】先求出，设外接圆圆心为，外接球球心为，由正弦定理求得外接圆半径，再结合，由勾股定理求得外接球半径，即可求解.【详解】解：如图，易得，则，设外接圆圆心为，外
13、接圆半径为，三棱锥外接球球心为，外接球半径为，连接，由，易得几何体中，由正弦定理得，解得，.又，平面，则平面，又平面，则.又，则，则，则三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：10如图，已知的外接圆为圆，为直径，垂直圆所在的平面，且，过点作平面，分别交于点，则三棱锥的外接球的体积为_.【答案】【分析】由线面垂直性质可知为中点，由此可得三棱锥的高；根据，可证得平面，得到，由线面垂直的判定和性质可证得，由此可得外接圆半径，由此可得所求外接球半径，代入球的体积公式可求得结果.【详解】平面，平面，；平面，平面，又，为中点，；为圆的直径，又，平面，平面，又平面，平面，平面，平面，的外接圆半径，三棱锥外接球半
14、径，三棱锥外接球体积.故答案为：.11已知四边形是边长为3的菱形且一个内角为，把等边沿折起，使得点到达点，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为_【答案】【分析】三棱锥体积最大时平面平面，由四边形是边长为3的菱形且一个内角为，求出相应的边，再由球截面的性质确定球心，根据几何性质求出相应的边，再由勾股定理求出球的半径.【详解】如图，取中点G，连接当三棱锥体积最大时，平面平面，此时平面，从而又四边形是边长为3且一个内角为的菱形，为等边三角形所以与是边长为3等边三角形，所以，设分别为与的外接圆圆心，圆的半径为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥的外接球球心，设球的半径为，且此
15、时分别为等边与等边的中心，所以由此得到四边形为正方形，所以所以，所以外接球半径，所以三棱锥的体积最大时，其外接球半径.故答案为：.12在菱形中，为的中点，将沿直线翻折成，如图所示，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积是_.【答案】#【分析】易得平面平面时三棱锥的体积最大，要求三棱锥外接球体积，利用长方体外接球，求出球的半径，即可求解【详解】易得平面平面时三棱锥的体积最大，由题意知，故，当平面平面时，平面，因为，所以.如图所示，要求三棱锥外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积，由已知得长方体的长、宽、高分别为4，2，则长方体外接球半径，则球的体积是.故答案为：13在正三棱锥中，分别是
16、棱，的中点，且，设三棱锥外接球的体积和表面积分别是和若，则（）ABCD【答案】C【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明，将三棱锥补成以为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.【详解】如图，取AC的中点D，连接PD、BD，则，由，得，因为三棱锥为正三棱锥，所以，而D是AC的中点，所以，又平面，所以平面，由平面，得，又，平面，所以平面，由平面，所以，根据正三棱锥的特点可得，故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图，所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球.由，可得正方体的棱长为，所以，即正方体的外接球的半径为，即三棱锥的外接球半径为，所以外接球的体积为，表面积为.故选：C14已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥体积取最大值时，则三棱锥外接球的体积为_.【答案】#【分析】根据正方体的性质可知进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为EF的中点O，从而得到球的半径，利用球的体积公式即得.【详解】取EF的中点O，连接，由正方体的性质可得平面，又，即，同理，由直角三角形的性质可得，O为的外接球的球心，为外接球的直径，的外接球的半径恒为1，三棱锥外接球的体积恒为，故答案为：.19
