1、易拉罐的最优设计1 问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐（易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1、取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果
2、数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2、设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3、设易拉罐是一旋转体，上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。例如说，半径和高之比，等等。4、利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5、用你们做本题以及以前学习和实践数学模型的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及
3、难点。2 评阅要点 饮料罐(易拉罐)的最优设计涉及多方面的问题：怎样的制造过程可以降低材料耗损(减少边角料等)、能源、用更少的部件来制作、改换材料以减重量或更为廉价、变更形状更便于制造和灌装、甚至换一种加工次序等等，其目的就是既要满足用户的需求又要降低成本。据命题人的了解（包括询问可口可乐公司有关人员），该公司的易拉罐都是铝制的，罐的形状和尺寸有一个演变过程，现在用的两片罐的中心端面形状大致如下：这种罐的制作过程大致如下：先做成一个直圆柱(正圆柱)的杯子，再利用铝的延性，在加热条件下，把罐的侧边拉到一定的高度，略为收口等，便于和较厚的同质圆片焊接，内外涂层，灌装、测试、打包、外运等。在美国，这
4、种形状易拉罐各部分(以千分之一英寸为单位)的厚度大致如下：底部厚：811,侧壁厚：4,颈部厚：6,顶盖厚：9。据说在其他地方生产的易拉罐，各部分的厚度可以略有变化。本题主要测试学生在测量或间接获得数据的基础上，经过观察、分析做出合理的简化假设，形成数学模型，正确、合理并简捷地求解相应的数学问题，合理地验证自己的数学模型（合理地解释所测量的易拉罐的形状和尺寸）。特别是希望学生根据自己的想象力做出有自己特色的建议。更重要的是，这种最优设计的数学建模也许是关键（或重要）的一步，但决不是全部，在有些情况下物理、工程等考虑可能更重要（或不可忽略），希望同学了解真正的最优设计是一个相当复杂的过程，数学不可
5、能单打独斗。1、共15分，考察学生的动手能力，自己测量的10分以上，体积有错应该扣2分），从网上抄的最多12分。能够说明自己是怎么测量的，并列表说明（尽管有的数据可能误差较大），应该说相当好；能够从网上查到比较准确的数据，并说明出处，表明了一种能力，也是相当好的；照抄其他文章就不太好了。2、共15分，要求模型表述清晰，其中假设4分，模型与计算9分，验证2分。无二阶导数大于零的验证不扣分。根据如下的中心端面的形状，可以计算出易拉罐所用材料的总体积(目标函数)。罐内的体积已知(大于355立方厘米)为约束条件之一。还应该有其他的约束条件，例如，顶盖有拉环，从而顶盖的直径也是有限制的，要能够用手握住，
6、因此，罐的直径是有限制的，等等。3、共30分，其中假设（大、小半径）、建模占15分，计算、验证、分析占15分。目标函数考虑材料的体积是最好的，若考虑面的价格也可以。对于中心端面形状为如图所示的情形，如果还考虑材料的体积的话，可以有如下的做法。设饮料罐侧壁材料的厚度为 ，顶盖材料的厚度为 ,底部材料的厚度为 ，饮料罐内的体积为 。圆台内部上底的半径为 ,下底的半径为 ,高为 。圆柱内部的半径为 ，高为 。这里 为自变量，为参数。饮料罐所用材料的总体积(目标函数)为：约束条件和 2 中的类似。22(,)()()()(2)SV r R h H a b d Vba b rd b Rh b rRbR H
7、 babdbVrhRRHHhRr,Vdba,这部分要求学生能正确、合理和简捷地求解，能够分析所得计算结果。如果还能够从多元函数无约束极值的判定的充分条件，Hesse 矩阵的正定性等方面进行分析，然后给出合理的结论和解释，这就相当好了。如果能够从其他角度考虑，而且目标函数、约束条件清楚，能够正确、合理和简捷地求解，给出合理的结论和解释，应该说更好了。4、共15分，其中假设、建模5分，计算、验证、分析占10分，要求说明比2和3好在哪里。要求学生想象力做出自己的最优设计。从材料总体积的角度考虑，可能有同学会研究中心端面形状为或更复杂的形状的易拉罐。也可以从顶盖圆片下料的角度研 究，或者两者结合起来研
8、究，甚至从其他角度来考虑问题。5、共10分，短文中若只谈参赛体会最多5分。答题中的难点应该突出以下三个方面：怎样出发作出合理的假设；怎样求解模型中出现的数学问题；怎样的模型是正确、可行的。另外的15分是：摘要占10分（底分5分,中等8分，好10分），摘要的评分与后面的论文中模型的正确性无关，仅看其本身表述的清晰程度。对整篇文章的印象5分。4 符号说明 符号含义单位易拉罐的表面积cm2所用材料的总体积cm3罐体圆柱体部分圆的半径cm圆柱体的高度cm易拉罐圆柱部分的壁厚mm易拉罐的罐内体积cm3表示圆台面的倾斜角度SVSrbhV 5 模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 需要数据的确定 经过分
9、析发现，模型中可能用到的数据种类有罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。具体说明如下：(1)罐直径：易拉罐圆柱体部分（罐体最胖部 分）横截面圆的直径(2)罐高：从易拉罐的顶盖到底面的高度(3)罐壁厚：圆柱体回转面部分的瓶壁厚度(4)顶盖厚：易拉罐的上顶盖厚度(5)罐内体积：易拉罐内部的体积(6)罐底厚：易拉罐的下底面厚度(7)顶盖直径：圆台的上表面圆的直径即罐 顶盖的直径(8)圆台高：从罐的顶盖到圆柱体部分的高度(9)圆柱体高：圆柱体部分的高度5.1.2 各数据的测量方法(1)直接测量 经过分析可得，罐桶直径、罐高、圆台高、顶盖直径、圆柱直径这几种数据类
10、型属于外部属性，可以直接进行测量。测量时可选用以下两种方法：用一条非常窄的薄纸条,环绕易拉罐相关部位一圈测得周长,然后再换算求得直径、半径、面积等。用游标卡尺（50分度）对相关部位进行直接测量，计算出直径和高等。(2)间接测量 由现实情况可知，易拉罐的罐壁、顶盖和罐底有一面是在易拉罐的内部，不能直接进行测量，因此就需要对他们进行处理后再进行测量。对于厚度的测量都可用下面第一种方法，体积的测量可用第二种方法。首先用剪刀和钳子对易拉罐进行刨切，由于易拉罐厚度和顶盖厚度较小，可利用螺旋测微器进行测量。取一个量筒(500ml)和空的易拉罐，首先将清水倒入易拉罐中直至与罐口相平；然后将易拉罐中的水倒入量
11、筒中进行读数，即得到了易拉罐的体积。5.1.3 数据 为确保数据的精确性，需要对所有数据进行多次测量求平均值，经多次测量求得所需的数据如下表：数据种类实测数据平均值单位罐高12.0612.0412.0612.0812.0612.06cm罐桶直径6.626.606.586.586.666.61cm 罐壁厚0.1120.1060.0990.1010.0950.103mm顶盖厚0.2950.2980.3050.3040.3110.306mm罐底厚0.3030.2890.3050.2940.3100.300mm圆台高1.011.011.000.981.021.01cm顶盖直径6.026.006.025
12、.986.006.01cm圆柱体高11.0411.0211.0611.0811.0611.05cm罐内体积364.9365.2364.5364.0365.6364.8cm3表1 易拉罐(可口可乐)各项尺寸列表5.2 问题二5.2.1 模型分析第一种方案：用手捏一下发现易拉罐非常的薄，可认为最理想的情况即看作易拉罐的壁厚均匀。在这种情况下主要考虑易拉罐的表面积来建立数学模型求解。第二种方案：用手往下按顶盖能够感觉到它的硬度要比其它部位的用料要硬,相比之下,硬度体现在同样用料的厚度上；根据测量的数据可知，顶盖厚度大约是其他部分的用料厚度的3倍(参考)。因此可以假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同。在
13、这种情况下制作易拉罐的用料就要通过各个部位体积来考虑,为求制作需要用料最省，通过建立数学模型求解。5.2.2 各方案模型目标与约束条件的确定第一种方案第一种方案(1)目标目标：假设易拉罐是一个正圆柱体，易拉罐各处厚度均匀且非常薄(可忽略其厚度)时。就不用具体考虑易拉罐用料的体积，只以易拉罐的表面积最小为目标就可使用料最省。设易拉罐罐高为 ，罐体圆柱体部分圆的半径为 。即 2(,)22MinS r hrhrhr(2)主要约束主要约束：易拉罐的容积是一个固定的常量。在忽略罐壁厚的情况下我们可以认为易拉罐的体积与它的容积等价。设易拉罐的罐内体积为 ，即 2(,)365V r hr hV 第二种方案第
14、二种方案(1)目标目标：本方案以易拉罐的用料体积最小为目标，可使制造易拉罐的用料最省。下面是对易拉罐三部分用料体积的确定：易拉罐侧面所用的用料体积为：易拉罐顶盖所用的用料体积为：易拉罐底所用的用料体积为：22223()(1)22(1)(1)rbrhk brhbrk bh bk b2r kb12r b设顶盖厚度为罐壁厚度的 倍k综上可得易拉罐用料的总体积为：因为 ,为简化模型求解，所以 ，的项可以忽略。所以：2223(,)2(1)2(1)(1)VSr hrhbrk brk bh bk bbr2b3b2(,)(,)2(1)VSr hS r hrhbrk b(2)主要约束主要约束：同第一种方案的约束
15、条件一样，易拉罐内部的体积V 为一常量。在忽略罐壁厚的情况在此处键入公式。下我们可以认为易拉罐的体积与它的容积相等。2(,)365V r hr h5.2.3 模型建立第一种方案第二种方案 2(,)22MinS r hrhr2(,)365.00V r hr hS Trh2(,)22(1)VMinSr hrhbrk b2(,)365.00V r hr hS Trh5.2.4 模型求解模型求解第一种方案(1)极值法 模型中共有两个变量 和 ,体积的限制为一等式，即 通过等式变换可得:将上面的表达式代入到目标函数中可得：此时目标函数中只含变量 ，对 求导可得：rh02Vhr2022(0,)VSrrr0
16、224Vdsrdrrrr20vr h 03202322030300320 24 40,0 02,2VdsrdrVd srdrrd srVdrVrVrSVVhhrrr 由可得对 求二阶导数可得由可得即时，取极小值，且是唯一极值点。2所以时，取最小值。2由可以确定：(2)结果检验 求得的易拉罐的罐高和半径相同，求得的目标是2 cm2，罐高约为7.74 cm 罐的半径约为3.0cm。因此可得易拉罐的直径同罐高之比为1：1关系，由此发现通过模型计算出来的数据同我们实际测量的数据罐直径和罐高之比1：2相差甚远。第二种方案(1)Lagrange 乘子法 于是将问题化为求三元函数L的无条件极值的问题。202
17、02,)0(,)2(1),)0,)(,)(,)Vr hg r hr h VS r hrhbrk bg r hLagrangeL r hS r hg r h将目标中的主要限制条件设为(要找目标函数在条件(下的极点，可以先作函数 (2200203003222000323032(1)220(1)2(2)0(2)0(3)2231(1)(1)1)(1)(1)Lbk rhrhrLbrrrbrhVr hbrVhrVrkVVrhkrVkVVhkVk根据（）解得 根据（）解得 将上面的二式代入（）可得将代入 中得：（3(1)1)(1)k rkhrhk r即高度 与半径 的关系式为(2)结果检验 经过以上方法推导
18、得到易拉罐的罐高 ,罐的半径为 ,因此易拉罐的半径与罐高之比 ，又因测量数据易拉罐的顶盖厚大约是罐壁厚的3倍，即k=3。代入 可得罐的半径与罐高之比为1:4，而实际测量的数据大概也是这个比例，根据半径与高度的比值能够说明易拉罐的形状符合用料省的最优设计。03(1)(1)Vhkk03(1)Vrk/1/(1)r hk/1/(1)r hk5.3问题三5.3.1解题思路 根本的最优仍然是用料最少，不过在求解的过程中还要考虑到，上顶盖和底盖的强度要求，并且在最后还要兼顾到美观的因素。在求解的时候，先建立一个最广泛的模型，然后根据假设的不同，分别利用此模型进行求解实现模型的逐步改进，以达到最优的设计尺寸。
19、5.3.2模型建立 对于易拉罐的简化形状，可将其分成两部分考虑，上部分为一正圆台，下部分为一正圆柱体。(1)正圆台部分体积的确定 求解图中圆台部分的体积时，可先求出图中小圆锥的体积，再求出大圆锥的体积，则圆台的体积即为大圆锥体积减去小圆锥的体积。根据圆锥的体积公式：223111(tan)tan333vr hrrrr1r2如图中所示，其中小圆锥的体积为：大圆锥的体积为：则圆台的体积为：(2)正圆柱部分体积的确定：综上可得：易拉罐结构的总体积为：根据测量数据，易拉罐壁厚 因此在确定易拉罐的容积 时可近似看成体积，即 3221tan3vr3111tan3vr3312112()tan()3rrVvv2
20、21Vr h33212121()tan3rrVVVr h33212121()tan3prrVVVVr h12,;br br bhpV2、易拉罐用料体积 的确定 易拉罐用料主要包括四部分：上顶面 、圆台面 、圆柱回转面 、下底面 。根据问题二可知，并且由于易拉罐壁厚 为简化计算，在求易拉罐的体积 时，可近似看成表面的面积与其厚度乘积之和，忽略各个面由于相交产生的体积偏差。在求各个面的面积时，以外表面的测量值为准。设圆柱回转面的厚度 为一单位，上顶面、圆台回转面、下底面分别是圆柱回转面厚度的 倍。12,;br br bhVS1VS2VS3VS4VSVSb123,k k k上顶面的用料体积为：圆台回
21、转面的用料体积为：下底面的用料体积为：圆柱回转面的用料体积为：综上可得，易拉罐用料体积为：2121VSr k b221222()cosVrrk bS2313VSr k b412VSrhb121234(,)VVVVVSr r hSSSS222212221131()2cosrrk br k br k brhb于是，可根据易拉罐容积一定，用料体积最省的最优化设计建立以下模型：符号说明：表示圆台上顶面的半径 表示圆柱的半径 表示圆台面的倾斜角 表示圆柱体的壁厚 表示各面厚度与圆柱体 壁厚比值 1212012(,)(,),002VpMinSr r hVr r hVr r h 1r2rkb5.3.3 模型
22、求解 根据问题一中的数据，取易拉罐体积V0365cm3，根据问题一数据和问题二的求解过程，设上顶面、圆 台回转面、下底面分别是圆柱回转面厚度的 倍。1233,1,1kkk方法一：Lingo 软件求解可利用 Lingo 软件直接求解，得到 上顶盖半径 圆柱体半径 圆台倾斜角圆柱体高度 所用材料04.2cm41.805.9cm2.76cm31r2rpSh方法二：Lagrange 乘子法和 Matlab 软件求解首先构造 Lagrange函数：121212(,)(,)(,)VPL r r hSr r hVr r h222221212131332121()2cos1tan()3653k brrk b
23、rb rhk b rrrr h分别对 求偏导，并使之为零，与 联立得到如下方程组：12,r r h12(,)3650pVr r h221311122212233221221222211332121222tan20cos22tan0cos()sin()0cos3cos201tan()36503k brk b rbhrhrk b rk b rrrrk brrb rrrrr h把上述方程组，利用 Matlab 软件中的 fsolve 函数求解得到 上顶盖半径 圆柱体半径 圆台倾斜角圆柱体高度 乘子所用材料04.0154cm41.705.8112cm-0.49812.7053cm32r1rpSh结果验
24、证通过观察数据，两种方法求得的结果基本一样，各项取其算数平均值，得到上顶盖半径 ，圆柱体半径 圆台倾斜角 圆柱体的高度 此时所用材料 。根据以上两种求解方法所求数据相同，但与易拉罐的实际形状和尺寸相差很大。需要对模型作出进一步改进。20r 14.1,rcm41.75,o5.86,hcm32.73pScm 5.3.4 模型改进通过对易拉罐的观察发现，易拉罐顶盖实际上并不是平面的,略有上拱,顶盖实际半径为3+0.4+0.2=3.6厘米的材料冲压而成的,从顶盖的斜率为0.3,这些要求也保证了和易拉罐的薄的部分的粘合很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求，单通过求材料最省是得不到满
25、意的结果的，所以要对模型进行修改。假设易拉罐的上顶盖半径是已知的，通过问题一数据分析得到 ，将此值代入本题模型，并利用两种方法，求得易拉罐形状的各项尺寸如下表所示：上顶盖半径 圆柱体半径圆台倾斜角圆柱体高度所用材料3.0cm3.25cm73.9010.2cm4.12cm323.005rcm2r1rhpS 利用上表数据，观察上表数据和所得图形，再与实测数比较，发现理论与实际之间的差值已经非常小，因此可以说明易拉罐形状和尺寸在满足一定的设计要求下是符合用料最省的。5.4 问题四5.4.1 解题思路 本题仍以用料最少为最优设计进行分析计算，首先提出自己设计的易拉罐形状，然后对这种易拉罐用料及体积进行
26、分析计算建立数学模型，并与问题三中简化的易拉罐进行比较，最终用两种方法对模型进行求解，得出自己易拉罐的尺寸标准。2 提出自己易拉罐的最优设计 通过对所测量易拉罐的观察分析，发现这种易拉罐还不是最省材料的，根据多面体中球体的表面积与其体积的比值最小的原理，提出将易拉罐中的圆台设计成球台，其形状简图如下：球台部分的求解 设球台的边缘弧线的半径为 ，球台下表面半径为 ，球台上表面半径为 ，上边缘端点与中轴线的夹角为 ，下边缘端点与中轴线的夹角为 ，球台边缘弧形部分壁厚等于圆柱体的壁厚为 ，球台上顶盖的厚度为 。2r3r1rbkb根据图可以看出球台体积是半径为 ，圆面以上部分 与半径为 的圆面以上部分
27、 的体积之差。1r2r1v2v首先确定出 、的大小，的大小为图中所示的半径 绕竖直轴线的旋转体上部与锥形体的体积之差，运用对球面坐标积分的方法可求出 的体积为：同理可求得体积 为：333223110002sin(1 cos)33tanrrrvrdrd d 333223220002sin(1 cos)33tanrrrvrdrd d 1v2v1v1v3r2v所以可求得球台体积 为：球台上表面的面积 为：球台弧形部分表面积 ，根据二重积分用球面坐标对其表面积积分可求得球台部分表面积 3333211122(coscos)()33 tantanrrrVvv212VSr22230sin2(coscos)V
28、Sd dr 1V1VS2VS 圆柱体部分的求解设圆柱体的高为 ，底面半径为 ，圆柱体的壁厚为 ，底面厚度为 。圆柱体的体积 为：侧面表面积 为：圆柱体的底面积 为：221Vr h312VSrh241VSr1rbkbh2V4VS3VS 易拉罐的容积 由于 ，所以易拉罐的整体体积看成易拉罐的容积，所以总的易拉罐容积 为：1231233322131(,)21(coscos)()33tantanVr r r hVVrrrr h Vdr 易拉罐所用材料的体积由于薄片的体积等于面积乘以厚度，所以易拉罐所用材料的体积 为：12312342222311(,)2(coscos)2VVVVVSr r r hkbS
29、bSbSkbSk brb rb rhkb r VS综上所述，在易拉罐体积一定的条件下，以总用料最少为目标建立最优化模型如下：12312302313123(,)(,)sin()sin(),00,2VMinSr rrhVr rrhVrrrrr rrh 5.4.4模型求解：模型简化 在本模型中有不少数据是不能通过材料最省来确定的，它们的尺寸与其他方面（如焊缝长度、工时少、运输方便等）有关系，所以通过以上模型不能对其求解，要进行简化，如下：（1）k 值的确定是根据易拉罐顶盖和底盖所需要的强度来确定的不能因为材料省而使 k 值变小，通过问题一的测量数据可以得到k=2.9881；（2）顶盖其实不是完全的平
30、面形，而是向上拱起的，是由薄片挤压而成，并且考虑到罐体的美观、实用性、运输方便等，其大小不能通过求材料最省得到，根据问题一的测量数据 ；（3）对于本题假设易拉罐所要满足的容量 23.005rcm30365Vcm 求解方法方法一 Lingo 软件求解本模型属于最优化模型，所以在求解时可利用 Lingo 软件编程求解。所得结果，圆柱体半径 ，球台的半径 ，圆柱体高 ，与弧形部分有关角 ，此时所用的材料为 13.24rcm33.24rcm1.571.179.77hcm34.10cm方法二 Langrange乘子法和 Matlab 软件求解 123222231133322131(,)2(coscos)
31、221(coscos)()36533tantanLr r r hkbrb rb rhkb rrrrr h 分别对 求偏导，并使之为零，得到如下方程组：323233232313322111222233211332322sinsin033sin22sinsin033sin2220tan20tan4(coscos)2(coscos)02021(coscos)(33tanrb rrrb rrrb hkb rrhrkb rb rrb rrrr32110)0tanrr hV123,r r r h ，带入以上方程组，利用 Matlab 中的 fsolve 函数,圆柱体的半径 ，球台所在球体的半径 ，圆柱体的
32、高 ，与弧形部分有关的两个角度 ，所用材料为 。0.0103b 2.9881k 23.005rcm9.7679hcm1.168930365Vcm33.2465rcm13.2463rcm1.570034.0979cm对两种方法所得结果，求算术平均值易拉罐各项尺寸，圆柱体半径为3.24cm，圆柱体的高度为9.77cm，圆柱体上顶盖为0.31mm，球台上顶盖半径为3cm，球台弧形壁厚为0.1mm，圆柱体底面厚度为0.31mm.5.4.5 结果检验cm31、与原来的设计相比较 此种设计易拉罐所用的总材料体积为4.10cm3,实际所用材料总体积为4.12cm3（问题三已 求），所以这种设计能节省0.49%的材料，虽 然每个节省的材料并不是很多，但当大量生产 的时候，能够节省的经济价值也是相当可观的。2、验证该设计符合审美标准 通过几个求解发现这种设计，得到的圆柱体的高为9.77cm，直径为6.48cm，直径与高度的比值为0.66，这也是基本符合“黄金分割”的。
