1、第七章学习目标第七章学习目标 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较第七章第七章 FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计但相位非线性FIR数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多一、线性相位FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位冲激响应：()01h nnN10()()NnnH zh n z系统函数：在 z 平面有N 1 个零点在 z=0 处是N 1 阶极点 h(n)为实序列时，其频率响
2、应：1、线性相位条件()()jjH ee 即群延时 是常数()dd 0()第二类线性相位：()第一类线性相位：10()()Njj nnH eh n e()()jHe 线性相位是指 是 的线性函数 ()()jjH ee 10()()Njj nnH eh n e()第一类线性相位：()jjH ee 10()coscosNjnH eh nn 10()sinsinNjnH eh nn 1010sinsincoscosNnNnh nntgh nn 1100sincoscossin0NNnnh nnh nn 10sin0Nnh nn 要使上面的公式成立必须有：()(1)01h nh NnnN 12Nn=(
3、N 1)/2 为h(n)的偶对称中心 10sin0Nnh nn 第二类线性相位 的充要条件：0()()(1)01h nh NnnN 12N0/2 n=(N 1)/2 为h(n)的奇对称中心2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点1100()()(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)0()NNmmh m z(1)1()NzH z 1mNn 令系统函数：()(1)01h nh NnnN 由1(1)0()NNmmzh m z(1)11()()()2NH zH zzH z得11(1)001()()2NNnNnnnh n zzh n z1(1)01()2NnNnnh nzzz111221
4、20()2NNnnNNnzzzh n(1)1()NH zzH z 由11221cos 221sin 2jNNnnz eNnzzNjn 11122120()2NNnnNNnzzH zzh n112011201()cos2()()1()sin2jNNjnjz eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn cos2jxjxeex 频率响应：()(1)h nh Nn 11201()()()cos2jNNjjz enNH eH zeh nn12N1）h(n)偶对称为第一类线性相位1()2N 相位函数：频率响应：()(1)h nh Nn 11201()()()sin2jNNjjz enNH eH zj
5、eh nn12N112201()sin2NNjjnNeh nn0/22）h(n)奇对称1()22N 相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数11cos(1)cos22NNNnn 11cos22NNn对呈偶对称101()()cos2NnNHh nn幅度函数：1cos2Nn-32011()2()cos22NnNNHhh nn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120()()cos()NnHa nn1(0)2Nah其中：11,.,2Nn1()22Na nhn120()()cos()NnHa nn1(0)2Nah11,.,2Nn其中：1()22Na n
6、hn()0,2 H对呈偶对称cos()0,2 n对，呈偶对称120()()cos()NnHa nn2）h(n)偶对称，N为偶数12012()cos2NnNh nn101()()cos2NnNHh nn幅度函数：2112cos22NmNhmm2Nnm令/211()()cos2NnHb nn()22Nb nhn1,.,2Nn 其中：1201()2()cos2NnNHh nn/211()()cos2NnHb nn()22Nb nhn1,.,2Nn 其中：()H对呈奇对称()01Hz 则是零点1 cos02n时 1z 为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器 ()0,2H对呈偶对称/211()()cos2
7、NnHb nn3）h(n)奇对称，N为奇数11sin(1)sin22NNNnn 11sin22NNn对呈奇对称101()()sin2NnNHh nn幅度函数：1sin2Nn-3201()2()sin2NnNHh nn12112sin()2NmNhmm12Nnm令121()()sin()NnHc nn1()22Nc nhn11,.,2Nn其中：1()02Nh nNh奇对称且 为奇数121()()sin()NnHc nn1()22Nc nhn11,.,2Nn其中：()0,2H故对，呈奇对称()01Hz 则是零点0,2 sin()0n时 121()()sin()NnHc nn sin()0,2 n因
8、对，呈奇对称4）h(n)奇对称，N为偶数101()()sin2NnNHh nn幅度函数：12012()sin2NnNh nn1201()2()sin2NnNHh nn2112sin22NmNhmm2Nnm令/211()()sin2NnHd nn()22Nd nhn1,.,2Nn 其中：/211()()sin2NnHd nn()22Nd nhn1,.,2Nn 其中：()01Hz 则是零点10,2 sin02n时 ()0,2H对呈奇对称 h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时()H对呈偶对称/211()()sin2NnHd nn4、零点位置
9、()0iH z*,1/iizz即 也是零点(1)1()()NH zzH z 得：由1）若 z=zi 是H(z)的零点，则 z=zi-1 也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对(1)1()()0NiiiH zzH z 11()(1)(1)iijjiiiH zrezrez111111iijjiiezezrr1222112 cosiiiirzr zr2122 cosiiirrzz1522NN10ijiiiizrer 或1）11iiiijjjjiiiirereeerr零点：12221()12 cosiiiiiH zrzr zr2122 c
10、osiiirrzz11()11iijjiH zezez1212 cosirzz 1312NN10ijiiiizrer 或2），即零点在单位圆上iijjee零点：111()11iiiH zrzzr1211iirzzr 1312NN i负实轴上 0 i正实轴上10ijiiiizrer 或3），即零点在实轴上1iirr零点：1()(1)iH zz11222NN 1 01iizz 10ijiiiizrer 或4）即零点既在实轴上，又在单位圆上1零点：二、窗函数设计法 1、设计方法10()()()Njj njdnH eh n eHe1()2jj nddh nHeed()()()dh nw n h nw(
11、n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：()0,jjccdcceHe 1sin()()2()ccjj nccdcnh needn其理想单位抽样响应：中心点为 的偶对称无限长非因果序列 取矩形窗：()()Nw nRn 1sin201 120cccNnnNh nNnn其它()01()()()0ddh nnNh nh n w nn其它则FIR滤波器的单位抽样响应：12N按第一类线性相位条件，得sin()()()ccdcnh nn 加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积1()2jjjdH eHeW ed 1120sin2()()sin2
12、NNjjj nRnNW ew n ee而矩形窗的频率响应：()()()dh nh n w nsin2()sin2RNW其幅度函数：理想滤波器的频率响应：12()()NjjddHeHe11()221()()()2NNjjjdRH eHeWed 121()()2NjdReHWd1()0cdcH其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应：1()()2dRHHWd其幅度函数：(0)()RHW近似于的全部积分面积()0.5(0)cHH2cHN为最大值，正肩峰2cHN为最小值，负肩峰()H随，绕零值波动()(0)HH随，绕波动0 c 2cN 2cN 2cN 2cN 1()()()2dRHHWd幅度函数：加窗函数
13、的影响：不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少2cN 改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应sinsinsin22()sin22RNNxWNNxN幅度函数：2、各种窗函数 窗函数的要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹()()Nw nRn 矩形窗4N主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大 1120()()NNjjj nRRnWew n eWe窗谱：sin2()sin2
14、RNW幅度函数：三角形（Bartlett）窗21012()212112nNnNw nnNnNN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小 12()NjjW eWe窗谱：2sin24()sin2NWN幅度函数：1N 汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）12()1cos()21Nnw nRnN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度小22()0.5()0.25RRRWWWWNN幅度函数：1N 海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）2()0.540.46cos()1Nnw nRnN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小22()0.54()0.23RRRWWWWNN幅度函数：1N 布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）24()0
15、.420.5cos0.08cos()11Nnnw nRnNN12N主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小22()0.42()0.25RRRWWWWNN440.04RRWWNN幅度函数：1N 凯泽（Kaiser）窗 ：第一类变形零阶 贝塞尔函数0()I 2002111()()nINw nI01nN改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度 旁瓣幅度 但主瓣宽度窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80/2/N/2/N
16、7.865阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关3、窗函数法的设计步骤 给定理想的频率响应函数及技术指标()jdHe2,求出理想的单位抽样响应()dh n 根据阻带衰减选择窗函数()w n 计算频率响应 ，验算指标是否满足要求()jH e/NA 根据过渡带宽度确定N值()()()dh nh nw n 求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：()jdHe()dh n,()()dMMNh nhn当时IFFT法：1()2jj nddh nHeed()()Mdrhnh nrM计算其IFFT，得：对 M点等间隔抽样：()jdHe2()jkMdHe4、线性相位FIR低通滤波器的设计
17、/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，421.5 10(/sec)srad 321.5 10(/sec)prad通带截止频率为 ，323 10(/sec)strad 阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11()22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 2()0.540.46cos()1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）确定N
18、 值250dB3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）6.6N海明窗带宽：5）确定FIR滤波器的h(n)()()()dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos()1616nnRnn6）求 ，验证()jH e若不满足，则改变N或窗形状重新设计5、线性相位FIR高通滤波器的设计()()1()2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通滤波器全通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：12N()0jjcdeHe其它理想高通的频响：6、线性相位FIR带通滤波器的设计1221()()1()2jnjndh neded21211sinsin1nn
19、nnn1221(,)=()()带通滤波器低通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：120()0jjdeHe其它理想带通的频响：12N7、线性相位FIR带阻滤波器的设计2112()()()1()2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()带阻滤波器，高通滤波器+低通滤波器其单位抽样响应：12N120,()0jjdeHe 其它理想带阻的频响：三、频率抽样设计法 1、设计方法 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值2()()()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN()h n()H z()jH e1101()()1NN
20、kkNzH kH zNWz 102NjkH eH kkN12sin12()sin2NjNeN 11(1)20sin21sin2kNNjNjjNkkNNH eeH kekNN内插公式：抽样点上，频率响应严格相等 抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小1、线性相位的约束1）h(n)偶对称，N为奇数 12NjjH eHe()(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH幅度偶对称：1 2112kNkkNN 相位函数：2kN2）h(n)偶对称，N为偶数12()()NjjH eHe()(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 幅度奇对称：
21、11kkN 相位函数：2kN2、频率抽样的两种方法1）第一种频率抽样 2jddkNH kHkHe0,1,.,1kN1101()()1NNkkNzH kH zNWz系统函数：1120sin12sin2kNNjjjNkNH eeH k ekNN频率响应：2）第二种频率抽样 2jdkNNH kHe0,1,.,1kN 1210121()1N NjkkNH kzH zNez 121120cos21sin22jkNNNjjkNH k eH eeNjkN系统函数：频率响应：3、线性相位第一种频率抽样h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称*H kHNk又线性相位：12jNe kNk H kH Nk即：2N
22、对称中心：当N为奇数时：2110,.,22211,.,122NNkkNkNNNkkNN 210,.,12202211,.,122NNkkNNkkNNNkkNN当N为偶数时：21221210,.,21,.,12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN 2122120,.,12021,.,12NjkNNjN kNNH k ekNH kkNH Nk ekN当N为奇数时：当N为偶数时：频率响应：12(0)sin2sin2NjjNHH eeN 1sinsin22sinsin22MkkkNNH kNNkkNNN 12NM当N为奇数时：12NM 当N为偶数时：4、线性相位第二种频率抽样h(
23、n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称*()(1)H kHNk 又线性相位：12jNe()(1)kNk ()(1)H kH Nk 即：12N 对称中心：2110,.,1222211,.,1222NNkkNkNNNkkNN 21130,.,2221022111,.,1222NNkkNNkkNNNkkNN当N为奇数时：当N为偶数时：21122211220,.,121,.,12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN 211222112230,.,2112211,.,12NjkNNjN kNNH k ekNNH kHkNH Nk ekN 当N为奇数时：当N为偶数时：频率响应：当N为
24、奇数时：121cos22cos2NNNHHN 121021sin221sin22NMjjNkNkH kNH eeHNkN1sin221sin22NkNkN32NM当N为偶数时：120NH12NM 例 用频率抽样法设计一个低通FIR DF，其截止频率为 ，滤波器长度N=20。解 要求设计的滤波器长度N为偶数，截止频率 如果按照第一种抽样方式来设计滤波器，则有：抽样点为2.0cw2.0cw19,.,1,0,102022kkkkNwk 又因为截止频率为 ，k=2时，2k10时，k2时，我们看到，按照第一种抽样方式抽样时，抽样点恰好能够落在截止频率点上，所以这种抽样方式是合适的。2.0cwcw2102
25、ckww ckww 具体的频率抽样如下图所示 按照第一种抽样方式抽样，FIR DF的相位为线性相位，长度为偶数，则此时有：1,.,12,)(2,012,.,0,)()()21)(2)21(2NNkekNHNkNkekHkHNkNNjNkNj 根据上面的结论，可以得到：对以上H(K)求IDFT，可得h(n)如下：201920191)120()19(18,.,3,2;0)(;)1(;1)0(jjeHHkkHeHH14877.0)10()9(;1391.0)11()8(12071.0)12()7(;0954.0)13()6(0656.0)14()5(;03436.0)15()4(0046.0)16(
26、)3(;0207.0)17()2(0391.0)18()1(;04877.0)19()0(hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh 得到h(n)后，就可以根据实际工程的需要，按照第五章的理论选择合适的滤波器实现结构，来实现上面的FIR滤波器。所设计滤波器的幅频响应如下图所示 上面得到的幅频响应可以由h(n)的DTFT得到，也可以直接用公式计算121)21()2sin()2(sin)2sin()2(sin)()2sin()2sin()0()(NkwNjjwkNwkNwNkNwkNwNNkHwNwNHeeH增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减5、过渡带抽样的优化设计不加过渡抽样点：220dB 加一点：
27、240 54dB 加两点：260 75dB 加三点：280 95dB 102NjkH eH kkN 增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽 增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量 优点：频域直接设计 缺点：抽样频率只能是 的整数倍或 的整数倍+，截止频率 不能任意取值2/Nc/N2/N110Int824()10Int191622ccNNkH kNNk 例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。解：100cjdHe理想低通频率特性其它按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点得线性相位FIR滤波
28、器的频率响应：816133sin 33sin 33sin233233233sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk2/33过渡带宽：阻带衰减：-20dB 增加一点过渡带抽样点令H(9)=0.54/33过渡带宽：阻带衰减：-40dB 增加两点过渡带抽样点且增加抽样点数为N=65令H(17)=0.5886 H(18)=0.10656/65过渡带宽：阻带衰减：-60dB五、IIR和FIR数字滤波器的比较IIR滤波器FIR滤波器 h(n)无限长 h(n)有限长 极点位于z平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位 递归结构 不能用FFT计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频滤波器 极点固定在原点 滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用FFT计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器本章作业练习本章作业练习 P370:1
