1、24.1.224.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径-2-1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对弧所对是弦的长是弦的长)为为 37 m,拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.23m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).创设情景创设情景-3-圆的对称性圆的对称性(一一)1 1、圆是轴对称图形吗？、圆是轴对称图形吗？2 2、如果是、如果是,它的对称轴是什它的对称轴是什么么?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？课堂探究课堂探究O-4-由操作
2、实验知：由操作实验知：圆是轴对称图形。圆是轴对称图形。经过圆心的每一条直线经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。都是它的对称轴。探究结论探究结论-5-AM=BM,由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.2、你能发现图中有哪些相等的线段、你能发现图中有哪些相等的线段 和相等的弧和相等的弧?1、右图是轴对称图形吗、右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对其对 称轴是什么称轴是什么?OABCDM探究三探究三AB是是 O的一条弦的一条弦.作直径作直径CD,使使 CDAB,垂足为垂足为M.-6-理由理由:连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM
3、和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.-7-垂径定理垂径定理定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对
4、的劣弧（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦-8-垂径定理推论垂径定理推论推论推论 平分弦平分弦(弦不是直径弦不是直径)的直径垂直弦的直径垂直弦,并且平分并且平分 弦所的两条弧弦所的两条弧OABCDMCDAB,如图如图 CD经过圆心经过圆心O,AM=BM,AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦-9-OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分，直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的
5、弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论:平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。CD-10-例例1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如如图图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.23m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).垂径定理的应用垂径定理的应用-11-解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱，
6、所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径，半径为为Rm，经过圆心，经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根据垂径定理，根据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.3（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.OABCRD377.23AB=37 CD=7.23AB=AD=37=18.52121OD=OCDC=R-7.23OA2=AD2+OD2即：即：R2=18.52+(R 7.23)2-
7、12-在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中中，已知其中任意两个量任意两个量,可以垂径可以垂径定理和勾股定理求出其定理和勾股定理求出其它两个量它两个量.EOABDCd+h=rd+h=r已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若圆的半径为若圆的半径为R，弦，弦AB的长为的长为a，垂径垂径 OE 的长为的长为d ，拱高，拱高DE的长为的长为h，你能得到什么结论？你能得到什么结论？(2)r2=d2+2)2(a-13-例例2 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的两个同心圆中，大圆的弦AB交交小圆于小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和
8、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，过圆心注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法也是一种常用辅助线的添法垂径定理垂径定理的应用的应用-14-2.已知：如图，在已知：如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，为互相垂直的两条相等的弦，ODAB,OEAC,D、E为垂足。为垂足。求证：求证：ADOE为正方形。为正方形。OABCDE课堂练习课堂练习证明：证明：
9、ODAB,OEAC CE=EA AD=DB AC=AB ACAB AE=AD ADOE为正方形为正方形-15-1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的的半径。半径。解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。.AEBO课堂练习课堂练习-16-课堂小结课堂小结本节课我们主要学习了本节课我们主要学习了、圆的对称性、圆的对称性、垂径定理与推论及应用、垂径定理与推论及应用直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧OABCDM如图如图 CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.-17-作业设计作业设计、P89习题习题24.1第第1、8小题小题、证明垂径定理的推论、证明垂径定理的推论-18-
