1、1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 距离问题 【知识提炼知识提炼】 基线的概念与选择原则基线的概念与选择原则 1.1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确 定的线段叫做基线定的线段叫做基线. . 2.2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要 选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. .一般一般 来说，基线来说，基线_，测量的精确度越高，测量的精确度越高. . 越长越长 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题：思考下列问题： (
2、1)(1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个 内角能解出三角形的边长吗？内角能解出三角形的边长吗？ 提示：提示：不能不能. .要解一个三角形，至少要知道这个三角形要解一个三角形，至少要知道这个三角形 的一条边的长的一条边的长. . (2)(2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ 提示：提示：能能. .利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用 正、余弦定理求出两点间的距离正、余弦定理求出两点间的距离. . 2.2.如图，在河岸如图，在河岸ACAC测量河的
3、宽度测量河的宽度BCBC，测量下列四组数，测量下列四组数 据，较适宜的是据，较适宜的是( ( ) ) A.aA.a和和c c B.cB.c和和b b C.cC.c和和 D.bD.b和和 【解析解析】选选D.D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准在河的一岸测量河的宽度，关键是选准 基线，在本题中基线，在本题中ACAC可看作基线，在可看作基线，在ABCABC中，能够测量中，能够测量 到的边角为到的边角为b b， . . 3.3.设设A A，B B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，两点在河的两岸，要测量两点之间的距离， 测量者在测量者在A A的同侧，在河岸边选定一点的同侧，在河岸边选定一点C C
4、，测出，测出ACAC的距的距 离是离是100m100m，BAC=60BAC=60，ACB=30ACB=30，则，则A A，B B两点的两点的 距离为距离为( ( ) ) A.40mA.40m B.50mB.50m C.60mC.60m D.70mD.70m 【解析解析】选选B.B.如图所示，如图所示，ABCABC是直角三角形，是直角三角形，AB=AB= ACAC， 所以所以AB=50m.AB=50m. 1 2 4.4.如图，如图，A A，N N两点之间的距离为两点之间的距离为_._. 【解析解析】因为因为M=120M=120，MAN=30MAN=30，所以，所以MNA=30MNA=30， 所以
5、所以MN=MA=40MN=MA=40， 由余弦定理得由余弦定理得ANAN2 2=40=402 2+40+402 2- -2 2404040cos12040cos120=4 800=4 800， 解得解得AN=40 .AN=40 . 答案：答案：4040 3 3 【知识探究知识探究】 知识点知识点 距离问题距离问题 观察图形观察图形，回答下列问题：回答下列问题： 问题问题1 1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时， 利用正弦定理求解需要哪些条件？利用正弦定理求解需要哪些条件？ 问题问题2 2：测量两个不可到达的点：测量两个不可到达的点A A，B
6、B之间的距离问题，之间的距离问题， 利用余弦定理求解需要哪些条件？利用余弦定理求解需要哪些条件？ 【总结提升总结提升】 1.1.测量距离问题包括两种情况测量距离问题包括两种情况 (1)(1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距 离离. . (2)(2)测量两个不可到达点之间的距离测量两个不可到达点之间的距离. . 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题，用正弦定理即可解决形的问题，用正弦定理即可解决( (如图如图1)1)；对于第二种；对于第二种 情况，首先把求不可到达的两点情况，
7、首先把求不可到达的两点A A，B B之间的距离转化之间的距离转化 为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BCBC，ACAC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问 题题( (如图如图2).2). 2.2.解与三角形有关的应用题的基本思路解与三角形有关的应用题的基本思路 【题型探究题型探究】 类型一类型一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的测量一个可到达点到一个不可到达点之间的 距离距离 【典例典例】1 1. .在相距在相距1212海里的海里的A A，B B两个小岛处测量目标两个小岛处测量目标C
8、C 岛岛，测得测得CAB=CAB=7575，CBA=CBA=6060，则则A A，C C间的距离间的距离 为为( ( ) ) A A. .2 2 B B. .6 6 C C. .2 2 D D. .4 4 6622 2.2.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该 河段两侧河段两侧B B，C C两点间的距离，在河段的一岸边选取点两点间的距离，在河段的一岸边选取点A A， 观察对岸的点观察对岸的点C C，测得，测得CAB=75CAB=75，CBA=45CBA=45，且，且 AB=100m.AB=100m.求求B B，C C两点间的距离两点间的距离.
9、 . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中已知条件是什么？可用哪个定中已知条件是什么？可用哪个定 理解决？理解决？ 提示：提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理 可求解可求解. . 2.2.典例典例2 2中根据已知条件，可用哪个定理解决？中根据已知条件，可用哪个定理解决？ 提示：提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解已知两角和一边，可用正弦定理求解. . 【解析解析】1.1.选选B.B.如图所示，如图所示， 由题意知由题意知C=45C=45，由正弦定理得，由正弦定理得 所以所以 AC12 sin 60sin 45 ， 3 12 2 AC6
10、 6. 2 2 2.2.因为因为CAB=75CAB=75，CBA=45CBA=45， 所以所以ACB=180ACB=180- -CABCAB- -CBA=60CBA=60. . 由正弦定理，得由正弦定理，得 所以所以BC=BC= ABBC . sin ACBsin CAB ABsin 75 . sin 60 又因为又因为sin75sin75=sin(30=sin(30+45+45) ) =sin30=sin30cos45cos45+cos30+cos30sin45sin45 所以所以BC= (m).BC= (m). 即即B B，C C两点间的距离为两点间的距离为 m.m. 123262 . 2
11、2224 10062150 250 6 433 2 150 250 6 3 【延伸探究延伸探究】若典例若典例2 2中的题设条件不变，求河段的宽中的题设条件不变，求河段的宽. . 【解析解析】过点过点C C作作CDCD垂直于垂直于ABAB，垂足为点，垂足为点D D，则，则CDCD的长就的长就 是该河段的宽度是该河段的宽度. . 在在RtRtBDCBDC中，因为中，因为BCD=CBA=45BCD=CBA=45，sinBCD=sinBCD= BD BC ， 所以所以 所以该河段的宽度为所以该河段的宽度为 m.m. ABsin 75 BDBCsin 45sin 45 sin 60 62 100 250
12、(33) 4 m . 233 2 50(33) 3 【方法技巧方法技巧】求距离问题时应注意的两点求距离问题时应注意的两点 (1)(1)选定或确定所求量所在的三角形选定或确定所求量所在的三角形. .若其他量已知，若其他量已知， 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三 角形中求解角形中求解. . (2)(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理择更便于计算的定理. . 【变式训练变式训练】如图所示，为了测量水田的宽度，某观如图所示，为了测量水田的宽度，某观 测者在测者在A
13、A的同侧选定一点的同侧选定一点C C，测得，测得AC=8mAC=8m，BAC=30BAC=30， BCA=45BCA=45，则水田的宽度为，则水田的宽度为_._. 【解析解析】方法一：过点方法一：过点B B作作BDACBDAC，在，在RtRtBDABDA及及 RtRtBDCBDC中中 又又AC=AD+CD= =8AC=AD+CD= =8， 所以所以BD=BD= BDBD ADCD. tan 30tan 45 ， BDBD tan 30tan 45 8 4( 3 1) (m). 3 1 方法二：过点方法二：过点B B作作BDACBDAC，根据正弦定理得，根据正弦定理得 所以所以AB=AB= 所以
14、所以BD=ABsin30BD=ABsin30= = 8( 8( - -1)=4( 1)=4( - -1)(m).1)(m). 答案：答案：4( 4( - -1)m1)m ABAC sin ACBsin ABC ， ACsin ACB8sin 454 2 8( 3 1) sin ABCsin (1803045 )62 4 ， 1 2 33 3 【补偿训练补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东某船开始看见灯塔在南偏东3030方向，方向， 后来船沿南偏东后来船沿南偏东6060方向航行方向航行30n mile30n mile后，看见灯塔后，看见灯塔 在正西方向，则这时船与灯塔的距离为在正西方向，则这时船与
15、灯塔的距离为_n mile._n mile. 【解析解析】如图所示，如图所示，B B是灯塔，是灯塔，A A是船是船 的初始位置，的初始位置，C C是船航行后的位置，是船航行后的位置， 则则BCADBCAD，DAB=30DAB=30，DAC=60DAC=60， 则在则在RtRtACDACD中，中，DC=ACsinDAC=30sin60DC=ACsinDAC=30sin60= = 15 (n mile)15 (n mile)， 3 AD=ACcosDAC=30cos60AD=ACcosDAC=30cos60=15(n mile)=15(n mile)，则在，则在RtRtADBADB 中，中，DB=
16、ADtanDAB=15tan30DB=ADtanDAB=15tan30=5 (n mile)=5 (n mile)，则，则 BC=DCBC=DC- -DB=15 DB=15 - -5 =10 (n mile).5 =10 (n mile). 答案：答案：1010 3 33 3 3 类型二类型二 测量两个不可到达的点之间的距离测量两个不可到达的点之间的距离 【典例典例】1.1.如图，如图，CDCD是京九铁路线上的一是京九铁路线上的一 条穿山隧道，开凿前，在条穿山隧道，开凿前，在CDCD所在水平面上所在水平面上 的山体外取点的山体外取点A A，B B，并测得四边形，并测得四边形ABCDABCD中，
17、中，ABC= ABC= ， BAD= BAD= ，AB=BC=400AB=BC=400米，米，AD=250AD=250米，则应开凿的隧米，则应开凿的隧 道道CDCD的长为的长为_米米. . 3 2 3 2.2.如图，现要计算北江岸边两景点如图，现要计算北江岸边两景点B B与与C C的的 距离距离. .由于地形的限制，需要在岸上选取由于地形的限制，需要在岸上选取A A 和和D D两个测量点，现测得两个测量点，现测得ADCDADCD，AD=10kmAD=10km，AB=14kmAB=14km， BDA=60BDA=60，BCD=135BCD=135，求两景点，求两景点B B与与C C的距离的距离.
18、(.(假假 设设A A，B B，C C，D D在同一平面内，测量结果保留整数；参在同一平面内，测量结果保留整数；参 考数据：考数据： 1.414)1.414) 2 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中测量两个不可到达的点之间的中测量两个不可到达的点之间的 距离，一般是把距离如何转化？距离，一般是把距离如何转化？ 提示：提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. . 2.2.典例典例2 2中，求中，求BCBC的思路是什么？的思路是什么？ 提示：提示：
19、先由余弦定理求出先由余弦定理求出BDBD的值，然后由正弦定理求的值，然后由正弦定理求 出出BC.BC. 【解析解析】1.1.在在ABCABC中，中，AB=BC=400AB=BC=400米，米，ABC= ABC= ，所，所 以以ABCABC为等边三角形，为等边三角形，BAC= BAC= ，AC=AB=BC=400AC=AB=BC=400，又，又 BAD= BAD= ，故，故CAD= CAD= ，所以在，所以在ACDACD中，由余弦定中，由余弦定 理得理得CDCD2 2=AC=AC2 2+AD+AD2 2- -2AC2ACADcosCAD=400ADcosCAD=4002 2+250+2502 2
20、- - 2 2400400250cos =122500250cos =122500，所以，所以CD=350CD=350米米. . 答案：答案：350350 3 3 2 3 3 3 2.2.在在ABDABD中，设中，设BD=xBD=x， 则则BABA2 2=BD=BD2 2+AD+AD2 2- -2BD2BDADcosBDAADcosBDA， 即即14142 2=x=x2 2+10+102 2- -20xcos6020xcos60. .整理，得整理，得x x2 2- -10x10x- -96=0.96=0. 解得解得x x1 1=16=16，x x2 2= =- -6(6(舍去舍去).). 在在
21、BCDBCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得 所以所以BC= BC= sin30sin30=8 11(km).=8 11(km). BCBD sin CDBsin BCD ， 16 sin 135 2 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )典例典例1 1中若把条件“中若把条件“ABC= ”ABC= ”改为改为 “ABC= ”ABC= ”，其他条件不变，那么隧道，其他条件不变，那么隧道CDCD的长又该的长又该 是多少？是多少？ 3 6 【解析解析】如图：如图： 由题意，易得由题意，易得DAC= DAC= ， ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2- -2AB2A
22、BBCcosBCcos =400=4002 2+400+4002 2- -2 24004002 2 =400=4002 2(2(2- - ).). 4 6 3 2 3 CDCD2 2=AD=AD2 2+AC+AC2 2- -2AD2ADACcosACcos =250=2502 2+400+4002 2(2(2- - ) )- -2 2250250400400( ( - -1)1) =482 500=482 500- -260 000 260 000 ，所以，所以CD179CD179米米. . 4 3 3 22 22 3 2.(2.(改变问法改变问法) )典例典例1 1中，条件不变，试求中，条件
23、不变，试求ADCADC的余弦的余弦 值值. . 【解析解析】如图：在如图：在ABCABC中，中，AB=BC=400AB=BC=400米，米，ABC=ABC= 所以所以ABCABC为等边三角形，为等边三角形，BAC= BAC= 又又BAD= BAD= 故故 CAD= CAD= 所以在所以在ACDACD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， , 3 , 3 , 3 2 , 3 CDCD2 2=AC=AC2 2+AD+AD2 2- -2AC2ACADADcosCAD=400cosCAD=4002 2+250+2502 2- - 2 2400400250250cos =122500cos =122500
24、，所以，所以CD=350CD=350米米. . cosADC=cosADC= 3 222 ADCDAC 2AD CD 222 2503504001 . 2 250 3507 【方法技巧方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及测量不能到达的两点间的距离的方法及 关键关键 (1)(1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余 弦定理解斜三角形是一个重要的方法弦定理解斜三角形是一个重要的方法. . (2)(2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角， 用正、余弦定理进行计算用正、余弦定理进行计算.
25、 . 【补偿训练补偿训练】如图，某炮兵阵地位于如图，某炮兵阵地位于A A点，点， 两观察所分别位于两观察所分别位于C C，D D两点两点. .已知已知ACDACD为为 正三角形，且正三角形，且DC= kmDC= km，当目标出现在，当目标出现在B B 点时，测得点时，测得CDB=45CDB=45，BCD=75BCD=75，则炮兵阵地与，则炮兵阵地与 目标的距离是目标的距离是( ( ) ) A.1.1kmA.1.1km B.2.2kmB.2.2km C.2.9kmC.2.9km D.3.5kmD.3.5km 3 【解析解析】选选C.CBD=180C.CBD=180- -BCDBCD- -CDB=
26、60CDB=60. . 在在BCDBCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BD=BD= 在在ABDABD中，中，ADB=45ADB=45+60+60=105=105， 由余弦定理，得由余弦定理，得 ABAB2 2=AD=AD2 2+BD+BD2 2- -2AD2ADBDcos105BDcos105 CDsin 7562 . sin 602 2 ( 62)6262 3235 2 3. 424 所以所以AB= 2.9(km).AB= 2.9(km). 所以炮兵阵地与目标的距离约为所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.2.9km. 5 2 3 巧思妙解巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用图形
27、分析法在求距离问题中的应用 【典例典例】(2015(2015广州高二检测广州高二检测) )在某次军事演习中红在某次军事演习中红 方为了准确分析战场形势，在两个相距为方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事的军事 基地基地C C和和D D，测得蓝方两支精锐部队分别在，测得蓝方两支精锐部队分别在A A处和处和B B处，处， 且且ADB=30ADB=30，BDC=30BDC=30，DCA=60DCA=60， 3a 2 ACB=45ACB=45. .如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离 为为_._. 【常规解法常规解法】由题意知由题意知ADC=ADB+BDC=6
28、0ADC=ADB+BDC=60， 又因为又因为ACD=60ACD=60，所以，所以DAC=60DAC=60. . 所以所以AD=CD=AC=AD=CD=AC= 在在BCDBCD中，中，DBC=180DBC=180- -3030- -105105=45=45， 由正弦定理得由正弦定理得 3 a. 2 BDCD sin BCDsin DBC ， 所以所以BD=BD= 在在ADBADB中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ABAB2 2=AD=AD2 2+BD+BD2 2- -2 2ADADBDBDcosADBcosADB 所以所以AB= a.AB= a. 答案：答案： a a 62 sin BCD33
29、3 4 CDaa. sin DBC242 2 222 33333333 a(a)2aaa 442428 ， 6 4 6 4 【巧妙解法巧妙解法】在在BCDBCD中，中，CBD=180CBD=180- -3030- - 105105=45=45， 由正弦定理得由正弦定理得 则则BC=BC= 在在ACDACD中，中，CAD=180CAD=180- -6060- -6060=60=60， 所以所以ACDACD为等边三角形为等边三角形. . BCCD sin 30sin 45 ， CDsin 306 a sin 454 ， 因为因为ADB=BDCADB=BDC， 所以所以BDBD为正为正ACDACD的
30、中垂线，的中垂线， 所以所以AB=BC= a.AB=BC= a. 答案：答案： a a 6 4 6 4 【方法指导方法指导】 1.1.寻求特殊图形寻求特殊图形 分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形，分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形， 如等腰如等腰( (边边) )三角形、直角三角形，如果是则利用特殊三角形、直角三角形，如果是则利用特殊 图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的 解决更加简洁解决更加简洁. . 2.2.正确运用定理正确运用定理 明确正、余弦定理的实质和定理的内容形式，根据条明确正、余弦定理的实质和定理的内容形式，根据条 件正确选用定理及公式件正确选用定理及公式. .同时：注意将三角形内角和定同时：注意将三角形内角和定 理、诱导公式及两角和理、诱导公式及两角和( (或差或差) )的正余弦公式结合起来的正余弦公式结合起来 求值求值. .
