1、第2课时 简单线性规划的应用 【题型探究题型探究】 类型一类型一 实际问题中的最小值问题实际问题中的最小值问题 【典例典例】1.1.铁矿石铁矿石A A和和B B的含铁率的含铁率a a，冶炼每万吨铁矿石，冶炼每万吨铁矿石 的的COCO2 2的排放量的排放量b b及每万吨铁矿石的价格及每万吨铁矿石的价格c c如下表：如下表： 某冶炼厂至少要生产某冶炼厂至少要生产1.91.9万吨铁，若要求万吨铁，若要求COCO2 2的排放量的排放量 不超过不超过2 2万吨，则购买铁矿石的最少费用为万吨，则购买铁矿石的最少费用为_百百 万元万元. . a a b(b(万吨万吨) ) c(c(百万元百万元) ) A A
2、 50%50% 1 1 3 3 B B 70%70% 0.50.5 6 6 2.2.某公司租赁甲、乙两种设备生产某公司租赁甲、乙两种设备生产A A，B B两类产品，甲两类产品，甲 种设备每天能生产种设备每天能生产A A类产品类产品5 5件和件和B B类产品类产品1010件，乙种设件，乙种设 备每天能生产备每天能生产A A类产品类产品6 6件和件和B B类产品类产品2020件件. .已知设备甲已知设备甲 每天的租赁费为每天的租赁费为200200元，设备乙每天的租赁费为元，设备乙每天的租赁费为300300元元. . 现该公司至少要生产现该公司至少要生产A A类产品类产品5050件，件，B B类产品
3、类产品140140件，所件，所 需租赁费最少为多少元？需租赁费最少为多少元？ 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中体现不等关系的关键词有哪些？中体现不等关系的关键词有哪些？ 提示：提示：“至少要生产至少要生产1.91.9万吨铁万吨铁”中的中的“至少至少”； “COCO2 2的排放量不超过的排放量不超过2 2万吨万吨”中的中的“不超过不超过”；“购购 买铁矿石的最少费用买铁矿石的最少费用”中的中的“最少最少”. . 2.2.典例典例2 2中的条件较多，如何把约束条件准确地列出来？中的条件较多，如何把约束条件准确地列出来？ 提示：提示：把相应的条件分类、分条目，放入到一个表格中，把相应的条
4、件分类、分条目，放入到一个表格中， 直观体现直观体现. . A A类类( (件件) ) B B类类( (件件) ) 费用费用( (元元) ) 甲设备甲设备( (台台) ) 5 5 1010 200200 乙设备乙设备( (台台) ) 6 6 2020 300300 产品量产品量( (件件) ) 5050 140140 【解析解析】1.1.可设需购买可设需购买A A铁矿石铁矿石x x万吨，万吨，B B铁矿石铁矿石y y万吨，万吨， 则根据题意得到约束条件为则根据题意得到约束条件为 x0 y0 0.5x0.7y1.9 x0.5y2 ， ， ， ， 目标函数为目标函数为z=3x+6yz=3x+6y，
5、画出不等式组表，画出不等式组表 示的平面区域如图示的平面区域如图. . 当目标函数经过点当目标函数经过点(1(1，2)2)时目标函数时目标函数 取最小值，最小值为取最小值，最小值为z zmin min=3 =31+61+62=15.2=15. 答案：答案：1515 2.2.租赁甲、乙两种设备生产租赁甲、乙两种设备生产A A，B B两类产品情况如下表：两类产品情况如下表： A A类产品类产品( (件件) ) B B类产品类产品( (件件) ) 租赁费租赁费( (元元) ) 甲设备甲设备( (台台) ) 5 5 1010 200200 乙设备乙设备( (台台) ) 6 6 2020 300300
6、产品量产品量( (件件) ) 5050 140140 设租赁甲设备设租赁甲设备x x台，乙设备台，乙设备y y台，租赁费为台，租赁费为z z元，元， 根据题意得根据题意得 z=200x+300yz=200x+300y， 作出可行域如图作出可行域如图( (阴影部分的整数点阴影部分的整数点) )所示：所示： 5x6y50 10x20y140 x0xN y0yN ， ， ， ， 作直线作直线l0 0：2x+3y=02x+3y=0，平移该直线，平移该直线l0 0，过，过A A时时z z取最小值，取最小值， 由由 得得A(4A(4，5)5)，符合实际意义，符合实际意义， 则则z zmin min=4 =
7、4200+5200+5300=2300(300=2300(元元).). 答：所需租赁费最少为答：所需租赁费最少为23002300元元. . 5x6y50 x2y14 ， 【方法技巧方法技巧】有关成本最低，费用最少问题的解题技有关成本最低，费用最少问题的解题技 巧巧 (1)(1)最优解的常见位置：线性目标函数的最大值、最小最优解的常见位置：线性目标函数的最大值、最小 值一般在可行域的顶点处取得值一般在可行域的顶点处取得. .线性目标函数的最大值、线性目标函数的最大值、 最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的 最优解有无数多个最优解有无数多个.
8、 . (2)(2)四舍五入：在解决实际问题时，若最优解要求满足四舍五入：在解决实际问题时，若最优解要求满足 一定的精确度，则要注意不可随意将所求结果进行四一定的精确度，则要注意不可随意将所求结果进行四 舍五入，否则有可能使近似值对应点超出可行域，而舍五入，否则有可能使近似值对应点超出可行域，而 导致所求解无意义导致所求解无意义. . 【拓展延伸拓展延伸】解答线性规划应用题的技巧解答线性规划应用题的技巧 (1)(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多， 因此认真审题非常重要因此认真审题非常重要. . (2)(2)线性约束条件中有无等号要依据
9、条件加以判断线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断. . (3)(3)结合实际问题，分析未知数结合实际问题，分析未知数x x，y y等是否有限制，如等是否有限制，如 x x，y y为正整数、非负数等为正整数、非负数等. . (4)(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件 一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式. . 【变式训练变式训练】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙 两种不同型的汽车，若两种不同型的汽车，若A A厂每小时可完成厂每小时可完成1 1辆甲型车和辆甲
10、型车和2 2 辆乙型车；辆乙型车；B B厂每小时可完成厂每小时可完成3 3辆甲型车和辆甲型车和1 1辆乙型车辆乙型车. . 今欲制造今欲制造4040辆甲型车和辆甲型车和4040辆乙型车，问这两家工厂各辆乙型车，问这两家工厂各 工作几小时，才能使所用的总工作时数最少工作几小时，才能使所用的总工作时数最少. . 【解析解析】设设A A厂工作厂工作x x小时，小时，B B厂工作厂工作y y小时，总工作时小时，总工作时 数为数为T T小时，则它的目标函数为小时，则它的目标函数为T=x+yT=x+y且且 可行域如图可行域如图. . x3y40 2xy40 x0 y0 ， ， ， ， 由图知当直线由图知当
11、直线l：y=y=- -x+Tx+T过过Q Q点时，纵截距点时，纵截距T T最小，最小， 解方程组解方程组 得得Q(16Q(16，8)8)， 答：答：A A厂工作厂工作1616小时，小时，B B厂工作厂工作8 8小时，可使所用的总工小时，可使所用的总工 作时数最少作时数最少. . x3y40 2xy40 ， 类型二类型二 实际问题中的最大值问题实际问题中的最大值问题 【典例典例】1.(20151.(2015陕西高考陕西高考) )某企业生产甲、乙两种某企业生产甲、乙两种 产品均需用产品均需用A A，B B两种原料，已知生产两种原料，已知生产1 1吨每种产品需原吨每种产品需原 料及每天原料的可用限额
12、如表所示，如果生产料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1 1吨甲、吨甲、 乙产品可获利润分别为乙产品可获利润分别为3 3万元、万元、4 4万元，则该企业每天万元，则该企业每天 可获得最大利润为可获得最大利润为( ( ) ) A.12A.12万元万元 B.16B.16万元万元 C.17C.17万元万元 D.18D.18万元万元 甲甲 乙乙 原料限额原料限额 A(A(吨吨) ) 3 3 2 2 1212 B(B(吨吨) ) 1 1 2 2 8 8 2.2.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产 品搭载实验，计划搭载新产品品搭载实验，计划搭载新产
13、品A A，B B，要根据该产品的，要根据该产品的 研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益 来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 产品产品 A(A(件件) ) 产品产品 B(B(件件) ) 研制成本与搭载实验研制成本与搭载实验 费用之和费用之和( (万元万元/ /件件) ) 2020 3030 计划最大资金计划最大资金 额额300300万元万元 产品质量产品质量( (千克千克/ /件件) ) 1010 5 5 最大搭载质量最大搭载质量 110110千克千克 预计收益预计收益( (万元万元/ /件件)
14、 ) 8080 6060 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使 总预计收益达到最大？总预计收益达到最大？ 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中应按照怎样的思路求出最大利中应按照怎样的思路求出最大利 润？润？ 提示：提示：设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、乙两种产品分别为x x吨，吨，y y吨，吨， 利润为利润为z z万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到 目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平 移法求出移法求出z z的最大值的
15、最大值. . 2.2.典例典例2 2中如何根据表格分析约束条件和目标函数？中如何根据表格分析约束条件和目标函数？ 提示：提示：在表格横行观察第一行得到研制新产品在表格横行观察第一行得到研制新产品A A，B B所所 需费用的资金限制条件；第二行得到研制新产品需费用的资金限制条件；第二行得到研制新产品A A，B B 搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数. . 【解析解析】1.1.选选D.D.设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、乙两种产品分别为x x 吨，吨，y y吨，利润为吨，利润为z z万元，则万元，则 目标函数为目标函数为 z=3x+
16、4y.z=3x+4y. 作出二元一次不等式组所表示的作出二元一次不等式组所表示的 平面区域平面区域( (阴影部分阴影部分) )即可行域即可行域. . 3x2y12 x2y8 x0y0 ， ， ， 由由z=3x+4yz=3x+4y得得y= y= 平移直线平移直线y= y= 由图象可知当直线由图象可知当直线y= y= 经过经过 点点A A时，直线时，直线y= y= 在在y y轴上的截距最大，此时轴上的截距最大，此时z z最大，最大， 解方程组解方程组 即即A A的坐标为的坐标为(2(2，3)3)， 所以所以z zmax max=3x+4y=6+12=18. =3x+4y=6+12=18. 3z x
17、 44 ， 3z x 44 ， 3z x 44 3z x 44 3x2y12x2 x2y8y3 ， 得 ， 即每天生产甲、乙两种产品分别为即每天生产甲、乙两种产品分别为2 2吨，吨，3 3吨，能够产吨，能够产 生最大的利润，最大的利润是生最大的利润，最大的利润是1818万元万元. . 2.2.设搭载产品设搭载产品AxAx件，产品件，产品ByBy件，预计总收益件，预计总收益z=80x+60y.z=80x+60y. 作出可行域，如图作出可行域，如图. . 20x30y3002x3y30 10x5y1102xy22 xNyNxNyN x0y0x0y0 ， ， 即 ， ， 作出直线作出直线l0 0：4
18、x+3y=04x+3y=0并平移，并平移， 由图象得，当直线经过由图象得，当直线经过M M点时点时z z能取得最大值，能取得最大值， 即即M(9M(9，4)4)， 即搭载产品即搭载产品A9A9件，产品件，产品B4B4件，可使得总预计收益最大件，可使得总预计收益最大. . 2x3y30x9 2xy22y4 ， 由解得 ， 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(改变问法改变问法) )典例典例1 1中的所有条件不变，则每天生产甲、中的所有条件不变，则每天生产甲、 乙两种产品的吨数分别是多少时，该企业每天可获得乙两种产品的吨数分别是多少时，该企业每天可获得 最大利润，并求此最大利润最大利润，并求此最大利润
19、. . 【解析解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、乙两种产品分别为x x吨，吨，y y吨，吨， 利润为利润为z z万元，万元， 则则 目标函数为目标函数为z=3x+4y.z=3x+4y. 3x2y12 x2y8 x0y0 ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域作出二元一次不等式组所表示的平面区域( (阴影部分阴影部分) ) 即可行域即可行域. . 由由z=3x+4yz=3x+4y得得y= y= 平移直线平移直线y= y= 由图象可知当直线由图象可知当直线y= y= 经过经过 点点A A时，直线时，直线y= y= 在在y y轴上的截距最大，此时轴上的截距最大，此时z z最
20、大，最大， 解方程组解方程组 即即A A的坐标为的坐标为(2(2，3)3)，故每天生产甲、乙两种产品分别为，故每天生产甲、乙两种产品分别为 2 2吨和吨和3 3吨时，该企业每天可获得最大利润，此时最大利吨时，该企业每天可获得最大利润，此时最大利 润为润为z zmax max=3x+4y=3 =3x+4y=32+42+43=18(3=18(万元万元).). 3z x 44 ， 3z x 44 ， 3z x 44 3z x 44 3x2y12x2 x2y8y3 ， 得 ，. 2.(2.(变换条件变换条件) )典例典例1 1中若将“生产中若将“生产1 1吨甲、乙产品可获吨甲、乙产品可获 利润分别为利
21、润分别为3 3万元、万元、4 4万元”改为“生产万元”改为“生产1 1吨甲、乙产品吨甲、乙产品 可获利润分别为可获利润分别为4 4万元、万元、3 3万元”，其他条件不变，结万元”，其他条件不变，结 果如何？果如何？ 【解析解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、乙两种产品分别为x x吨，吨，y y吨，吨， 利润为利润为z z万元，万元， 则则 目标函数为目标函数为z=4x+3y.z=4x+3y. 3x2y12 x2y8 x0y0 ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域作出二元一次不等式组所表示的平面区域( (阴影部分阴影部分) ) 即可行域即可行域. . 由由z=4x+3y
22、z=4x+3y得得y= y= 平移直线平移直线y= y= 由图象可知当直线由图象可知当直线y= y= 经过经过 点点A A时，直线时，直线y= y= 在在y y轴上的截距最大，此时轴上的截距最大，此时z z最大，最大， 解方程组解方程组 即即A A的坐标为的坐标为(2(2，3)3)， 即每天生产甲、乙两种产品分别为即每天生产甲、乙两种产品分别为2 2吨，吨，3 3吨，能够产生吨，能够产生 最大的利润最大的利润. . 4z x 33 ， 4z x 33 ， 4z x 33 4z x 33 3x2y12x2 x2y8y3 ， 得 ， 【方法技巧方法技巧】解答线性规划应用题的一般步骤解答线性规划应用
23、题的一般步骤 (1)(1)审题审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准 确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变 量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理 顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺. . (2)(2)转化转化设元设元. .写出约束条件和目标函数，从而将写出约束条件和目标函数，从而将 实际问题转化为数学上的线性规划问题实际问题转化为数学上的线性规划问题. . (3)(3)求解求解解这个纯数学
24、的线性规划问题解这个纯数学的线性规划问题. . (4)(4)作答作答对应用题提出的问题作出回答对应用题提出的问题作出回答. . 【补偿训练补偿训练】某公司计划某公司计划20162016年在年在A A，B B两个电视台做两个电视台做 总时间不超过总时间不超过300300分钟的广告，广告总费用不超过分钟的广告，广告总费用不超过9 9万万 元元.A.A，B B两个电视台的广告收费标准分别为两个电视台的广告收费标准分别为500500元元/ /分钟分钟 和和200200元元/ /分钟，假定分钟，假定A A，B B两个电视台为该公司所做的两个电视台为该公司所做的 每分钟广告，能给公司带来的收益分别为每分钟
25、广告，能给公司带来的收益分别为0.30.3万元和万元和 0.20.2万元万元. .问公司在问公司在A A，B B两个电视台做广告的时间分别两个电视台做广告的时间分别 为多少分钟时，公司能获得最大收益？为多少分钟时，公司能获得最大收益？ 【解题指南解题指南】设公司在设公司在A A，B B两个电视台做广告的时间两个电视台做广告的时间 分别为分别为x x分钟和分钟和y y分钟，由题意列出分钟，由题意列出x x，y y的约束条件和的约束条件和 目标函数，然后利用线性规划的知识求解目标函数，然后利用线性规划的知识求解. . 【解析解析】设公司在设公司在A A，B B两个电视台做广告的时间分别两个电视台做
26、广告的时间分别 为为x x分钟和分钟和y y分钟，总收益为分钟，总收益为z z元，元， 由题意得由题意得 目标函数目标函数z=3000x+2000y.z=3000x+2000y. 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于 xy300 500x200y90 000 x0y0 ， ， ， xy300 5x2y900 x0 y0 ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域， 如图阴影部分如图阴影部分. . 作直线作直线l：3000x+2000y=03000x+2000y=0，即，即3x+2y=03x+2y=0， 平移直线平移直线l，
27、从图中可知，当直线，从图中可知，当直线l过过M M点时，目标函数点时，目标函数 取得最大值取得最大值. . 所以点所以点M M的坐标为的坐标为(100(100，200).200). 答：该公司在答：该公司在A A电视台做电视台做100100分钟广告，在分钟广告，在B B电视台做电视台做 200200分钟广告时，公司的收益最大分钟广告时，公司的收益最大. . xy300x100 5x2y900y200. ， 联立解得 ， 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(改变问法改变问法) )若本题的条件不变，求分配在两个电视若本题的条件不变，求分配在两个电视 台做广告的时间应分别为多少时，公司能获得最大收台做
28、广告的时间应分别为多少时，公司能获得最大收 益，最大收益为多少？益，最大收益为多少？ 【解析解析】设公司在设公司在A A，B B两个电视台做广告的时间分别两个电视台做广告的时间分别 为为x x分钟和分钟和y y分钟，总收益为分钟，总收益为z z元，元， 由题意得由题意得 目标函数目标函数z=3000x+2000y.z=3000x+2000y. 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于 xy300 500x200y90 000 x0y0 ， ， ， xy300 5x2y900 x0 y0 ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行
29、域， 如图阴影部分如图阴影部分. . 作直线作直线l：3000x+2000y=03000x+2000y=0，即，即3x+2y=03x+2y=0， 平移直线平移直线l，从图中可知，当直线，从图中可知，当直线l过过M M点时，目标函数取点时，目标函数取 得最大值得最大值. . 则则z zmax max=3000 =3000100+2000100+2000200=700000.200=700000. 答：该公司在答：该公司在A A电视台做电视台做100100分钟广告，在分钟广告，在B B电视台做电视台做200200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益为分钟广告，公司的收益最大，最大收益为700000
30、700000元元. . xy300x100 5x2y900y200. ， 联立解得 ， 2.(2.(变换条件变换条件) )若将本题中的“能给公司带来的收益分若将本题中的“能给公司带来的收益分 别为别为0.30.3万元和万元和0.20.2万元”，改为“能给公司带来的收万元”，改为“能给公司带来的收 益分别为益分别为0.40.4万元和万元和0.20.2万元”，又如何求解？万元”，又如何求解？ 【解析解析】设公司在设公司在A A，B B两个电视台做广告的时间分别两个电视台做广告的时间分别 为为x x分钟和分钟和y y分钟，总收益为分钟，总收益为z z元，元， 由题意得由题意得 目标函数目标函数z=4
31、000x+2000y.z=4000x+2000y. 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于 xy300 500x200y90 000 x0y0 ， ， ， xy300 5x2y900 x0 y0 ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域， 如图阴影部分如图阴影部分. . 作直线作直线l：4000x+2000y=04000x+2000y=0，即，即2x+y=02x+y=0， 平移直线平移直线l，从图中可知，当直线，从图中可知，当直线l过过M M点时，目标函数取点时，目标函数取 得最大值得最大值. .联立联立 所以点所以点M
32、M的坐标为的坐标为(100(100，200)200)， 所以所以z zmax max=4000 =4000100+2000100+2000200=800000.200=800000. 答：该公司在答：该公司在A A电视台做电视台做100100分钟广告，在分钟广告，在B B电视台做电视台做200200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是分钟广告，公司的收益最大，最大收益是8080万元万元. . xy300x100 5x2y900y200. ， 解得 ， 类型三类型三 线性规划的整数解问题线性规划的整数解问题 【典例典例】1.1.某公司用两种机器来生产某种产品，第一某公司用两种机器来生产某种产品
33、，第一 种机器每台需花种机器每台需花3 3万日元及人民币万日元及人民币5050元的维护费；第二元的维护费；第二 种机器则需种机器则需5 5万日元及人民币万日元及人民币2020元的维护费元的维护费. .第一种机第一种机 器的年利润每台有器的年利润每台有9 9万日元，第二种机器的年利润每台万日元，第二种机器的年利润每台 有有6 6万日元，但政府核准的外汇日元为万日元，但政府核准的外汇日元为135135万元，并且万元，并且 公司的总维护费不得超过公司的总维护费不得超过18001800元，为了使年利润达到元，为了使年利润达到 最大值，第一种机器应购买最大值，第一种机器应购买_台，第二种机器台，第二种机
34、器 应购买应购买_台台. . 2.2.某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家 电需要在电器方面加工电需要在电器方面加工6 6小时，装配加工小时，装配加工1 1小时，每件小时，每件 甲种家电的利润为甲种家电的利润为200200元；每件乙种家电需要在外壳配元；每件乙种家电需要在外壳配 件方面加工件方面加工5 5小时，在电器方面加工小时，在电器方面加工2 2小时，装配加工小时，装配加工 1 1小时，每件乙种家电的利润为小时，每件乙种家电的利润为100100元元. .已知该工厂可用已知该工厂可用 于外壳配件方面加工的能力为每天于外壳配件方面加工的能力为
35、每天1515小时，可用于电小时，可用于电 器方面加工的能力为每天器方面加工的能力为每天2424小时，可用于装配加工的小时，可用于装配加工的 能力为每天能力为每天5 5小时小时. .问该工厂每天制造两种家电各几件，问该工厂每天制造两种家电各几件， 可使获取的利润最大？可使获取的利润最大？( (每天制造的家电件数为整数每天制造的家电件数为整数) ) 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中对于两种机器的取值有何限制？中对于两种机器的取值有何限制？ 提示：提示：两种机器数的取值应为整数两种机器数的取值应为整数. . 2.2.典例典例2 2应从哪几个方面列出约束条件？应从哪几个方面列出约束条件？
36、提示：提示：应从每天外壳配件方面加工的能力，每天电器应从每天外壳配件方面加工的能力，每天电器 方面加工的能力，每天装配加工的能力三个方面列约方面加工的能力，每天装配加工的能力三个方面列约 束条件束条件. . 【解析解析】1.1.设第一种机器购买设第一种机器购买x x台，第二台，第二 种机器购买种机器购买y y台，总的年利润为台，总的年利润为z z万日元，万日元， 则则 目标函数为目标函数为z=9x+6y.z=9x+6y. 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点. . 3x5y135 50x20y1 800 xyN ， ， ， 当直线当直线z=9x+
37、6yz=9x+6y经过点经过点 即到达即到达l1 1位置时，位置时，z z 取得最大值，但题目要求取得最大值，但题目要求x x，y y均为自然数，故进行调均为自然数，故进行调 整，调整到与整，调整到与M M邻近的整数点邻近的整数点(33(33，7)7)，此时，此时z=9x+6yz=9x+6y取取 得最大值，即第一种机器购买得最大值，即第一种机器购买3333台，第二种机器购买台，第二种机器购买7 7 台较好台较好. . 答案：答案：3333 7 7 630 135 M() 1919 ， 2.2.设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x x件、件、y y件，件，
38、获取的利润为获取的利润为z z百元，则百元，则z=2x+yz=2x+y，满足，满足 作出可行域如图阴影部分的整点：作出可行域如图阴影部分的整点： 6x2y24 xy5 5y15 xyN ， ， ， ， 由图可得由图可得O(0O(0，0)0)，A(0A(0，3)3)，B(2B(2，3)3)， D(4D(4，0)0) 平移直线平移直线y=y=- -2x+z2x+z，当直线过，当直线过(3(3，2)2)或或(4(4，0)0)时时z z有最大有最大 值值. . 答：工厂每天制造甲种家电答：工厂每天制造甲种家电3 3件，乙种家电件，乙种家电2 2件或仅制造件或仅制造 甲种家电甲种家电4 4件，可获利最大
39、件，可获利最大. . 7 3 C() 2 2 ， ， 【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中，若将甲种家电的利润改为中，若将甲种家电的利润改为 “100100元”，乙种家电的利润改为“元”，乙种家电的利润改为“200200元”，又如何元”，又如何 求解？求解？ 【解析解析】设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x x件，件， y y件，获取的利润为件，获取的利润为z z百元，则百元，则z=x+2yz=x+2y，满足，满足 目标函数变形为目标函数变形为 由可行域知当目标函数过点由可行域知当目标函数过点 B(2B(2，3)3)时目标函数取最大值，工厂每天制造甲种家电
40、时目标函数取最大值，工厂每天制造甲种家电 2 2件，乙种家电件，乙种家电3 3件时利润最大，件时利润最大，W Wmax max=8( =8(百元百元).). 6x2y24 xy5 5y15 xyN ， ， ， ， 1z yx 22 ， 【方法技巧方法技巧】寻找整点最优解的三种方法寻找整点最优解的三种方法 (1)(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l l，最，最 先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法 应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，
41、 当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将 整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解. . (2)(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整 点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最 大大( (小小) )值值. . (3)(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整 最优值，最后筛选出整点最优解最优值，最后筛选出整点最优解. . 【变式训练变式训练】(
42、2015(2015张家界高二检测张家界高二检测) )我市某玩具公我市某玩具公 司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备 每天生产每天生产A A，B B，C C三种玩具共三种玩具共100100个，且个，且C C玩具至少生产玩具至少生产 2020个个. .每天生产时间不超过每天生产时间不超过1010小时，已知生产这些玩具小时，已知生产这些玩具 每个所需工时每个所需工时( (分钟分钟) )和所获利润如下表：和所获利润如下表： (1)(1)用每天生产用每天生产A A玩具个数玩具个数x x与与B B玩具个数玩具个数y y表示每天的利表示每天的利 润润(
43、 (元元).). (2)(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利 润是多少？润是多少？ 玩具名称玩具名称 A A B B C C 工时工时( (分钟分钟) ) 5 5 7 7 4 4 利润利润( (元元) ) 5 5 6 6 3 3 【解析解析】(1)(1)由题意由题意=5x+6y+3(100=5x+6y+3(100- -x x- -y)=2x+3y+300.y)=2x+3y+300. (2)(2)由题意，约束条件为由题意，约束条件为 5x7y4 100xy600x3y200 xy80 100xy20 x0 xN x0 xN y0 yN y
44、0 yN ， ， ， 即 ， ， ， ， 可行域如图中的整点所示可行域如图中的整点所示. . 解方程组得解方程组得 点点M M的坐标的坐标 为为(20(20，60)60)， 所以所以max max=2x+3y+300=520( =2x+3y+300=520(元元).). 答：每天生产答：每天生产A A玩具玩具2020个，个，B B玩具玩具6060个，个，C C玩具玩具2020个，才个，才 能使每天的利润最大，最大利润是能使每天的利润最大，最大利润是520520元元. . x3y200 xy80 ， ， 【补偿训练补偿训练】某公司招收男职员某公司招收男职员x x名，女职员名，女职员y y名，名，
45、x x和和 y y需满足约束条件需满足约束条件 求目标函数求目标函数z=10x+10yz=10x+10y 的最大值的最大值. . 5x 11y22 2x3y9 2x11 ， ， ， 【解析解析】画出不等式组画出不等式组 表示的平面区域表示的平面区域 如图：如图： 5x 11y22 2x3y9 2x11 ， ， ， 而由题意知而由题意知x x和和y y必须是正整数必须是正整数. .直线直线y=y=- -x+ x+ 由由A A点向下点向下 平移经过的第一个整点为平移经过的第一个整点为(5(5，4).4). 所以所以z=10x+10yz=10x+10y的最大值为的最大值为90.90. 11 x11 9 A()2 2 2 5x 11y22 ， 由解得， ， z 10 规范解答规范解答 线性规划解决实际应用问题线性规划解决实际应用问题 【典例典例】(12(12分分)(2015)(2015南昌高二检测南昌高二检测) )某玩具生产公某玩具生产公 司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100100个，个， 生产一个卫兵需生产一个卫兵需5 5
