1、x y o 3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题 引例引例 某工厂有某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产两种配件生产甲、乙两种产 品，每生产一件甲产品使用品，每生产一件甲产品使用4个个A配件耗时配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4个个B配件耗时配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得16个个A 配件和配件和12个个B配件，按每天配件，按每天8h计算，该厂计算，该厂 所有可能的日生产安排是什么？所有可能的日生产安排是什么？ 解决问题 （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品 分别生产x、y件， 由已知条件可得二 元
2、一次不等式组： 28 416 412 0 0 xy x y x y 解决问题 （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影如图，图中的阴影 部分的整点（坐标部分的整点（坐标 为整数的点）就代为整数的点）就代 表所有可能的日生表所有可能的日生 产安排。产安排。 O x y x y = 6 解决问题 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利万元，生产一件乙产品获利3万元，万元， 采用哪种生产安排利润最大？采用哪种生产安排利润最大？ 解决问题 （4）尝试解答： 设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z，则，则z = 2x + 3
3、y， 求求z的最大值。的最大值。 的直线表示 3 , 3 2 , 33 2z bk z xy 几何画板几何画板 解决问题 （5）获得结果： 每天生产甲产品每天生产甲产品4件，乙产品件，乙产品2件时，件时， 工厂可获得最大利润工厂可获得最大利润14万元万元 相关概念相关概念 y x 4 8 4 3 o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解满足线性约束的解 （x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函
4、数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束的一次不等式，称为线性约束 条件。条件。 由所有可行解组成由所有可行解组成 的集合叫做可行域。的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫 做这个问题的最优解。做这个问题的最优解。 可行域可行域 可行解可行解 最优解最优解 例例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06k
5、g的蛋白质，的蛋白质，0.06kg 的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg 蛋白质，蛋白质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1食物食物B含有含有 0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，脂肪， 花费花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少 kg？ 食物kg 碳水化合物kg 蛋白质/kg 脂肪kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105
6、0.14 0.07 分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格 解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z， 那么那么 0 0 6714 6147 577 0 0 06.007.014.0 06.014.007.0 075.010.0105.0 y x yx yx yx y x yx yx yx 目标函数为：目标函数为：z28x21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为 x y o 5/7 5/7 6/7 3/7 3/7 6/7 283 4
7、z xy 它表示斜率为它表示斜率为 随随z变化的一组平行直变化的一组平行直 线系线系 3 4 是直线在是直线在y轴上轴上 的截距，当截距最的截距，当截距最 小时，小时，z的值最小。的值最小。 28 z M 如图可见，当直线如图可见，当直线 z28x21y 经过可经过可 行域上的点行域上的点M时，截距时，截距 最小，即最小，即z最小。最小。 M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组 6714 577 yx yx 得得M点的坐标为：点的坐标为： 所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约 571g，能够满足日常饮食要
8、求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为最低成本为16元。元。 1 4 ( , ) 7 7 例例6 6 在上一节例在上一节例3 3中中, ,各截得这两种钢板多少各截得这两种钢板多少 张可得所需张可得所需A,B,CA,B,C三种规格成品三种规格成品, ,且使所用钢且使所用钢 板张数最少板张数最少? ? 例例3 要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板 可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： A规格 规格 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要三种规格的
9、成品分别为今需要三种规格的成品分别为15，18，27块，块， 用数学关系式和图形表示上述要求。用数学关系式和图形表示上述要求。 0 2 4 8 10 14 18 6 12 16 2 6 12 14 22 4 10 8 16 18 20 解：设需要截第一种钢板解：设需要截第一种钢板x张，第二种张，第二种 钢板钢板y张，则张，则 2x+y 15 X+2y 18 X+3y 27 x 0,xN y 0,yN 2x+y=15 X+2y= 18 24 X+3y=2 7 x=3,y=9;x=4,y=8 89.例 六.gsp 例例7 7 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，
10、生产1 1车车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产 1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐 15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设解：
11、设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件： x y o 0y 0x 6615y18x 10y4 x 解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产 生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：，可行域如图： 把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为 2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。 x y o 由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时
12、， 截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。 故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润， 最大利润为最大利润为3万元。万元。 M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为 （2，2），则），则Zmin3 解线性规划问题的步骤： （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； 巩固练习巩固练习 1.设x,y满足约束条件 0, , 21, x xy xy 则 32zxy 的最大值是
13、_. 2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别 为为3000元、元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A、B两种设两种设 备上加工，在每台备上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h、 2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为两种设备每月有效使用台数分别为400h和和 500h。如何安排生产可使收入最大？。如何安排生产可使收入最大？ 解：设每月生产甲产品解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收 入为入为z，目标函数为，目标函数为Z3x2y，满足的条件是，满
14、足的条件是 0 0 5002 4002 y x yx yx Z 3x2y 变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。 22 3z xy 2 3 X Y O 400 200 250 50 0 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大。最大。 M 解方程组解方程组 5002 4002 yx yx 可得可得M（200，100） Z 的最大值的最大值Z 3x2y800 故生产甲产品故生产甲产品200 件，乙产品件，乙产品100件，件， 收入最大，为收入最大，为80万万 元。元。 线形目标函数目标函数是关于变量的一次 解析式 目标函数把要求的最大值的函数 线形规划在线性约束条件下求线性目标函 数的最大值或最小值问题 可行解满足线形约束条件的解叫做可行解 可行域由所有可行解组成的集合 小结: 四、作业四、作业 习题习题3.3 B组：组：2、3
