1、2.3 微分中值定理及其应用(89)32.3.1 微分中值定理微分中值定理)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf2.3 微分中值定理及其应用(89)4点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC2.3
2、 微分中值定理及其应用(89)5证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则.0)(xf由由此此得得),(ba .0)(f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在),()(fxf,0)()(fxf2.3 微分中值定理及其应用(89)6,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存
3、在在 f).()(ff.0)(f只只有有2.3 微分中值定理及其应用(89)7注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,2一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的不存在外不存在外上除上除在在f .0)(xf但在内找不到一点能使但在内找不到一点能使;0)0(,1,0(,1 fxxy.1,0,xxy又例如又例如,2.3 微分中值定理及其应用(89)8例例 1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连
4、续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为小于即为小于1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设另有设另有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)10(,0 x矛盾矛盾,.实根唯一实根唯一2.3 微分中值定理及其应用(89)9)1()2().()()(fabafbf结结论论亦亦可可写写成成注意注意:2.3 微分中值定理及其应用(89)10ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM
5、几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线两端点的函两端点的函所得曲线所得曲线ba,.数数值值相相等等2.3 微分中值定理及其应用(89)11作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbf
6、f即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2.3 微分中值定理及其应用(89)12,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称
7、有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf2.3 微分中值定理及其应用(89)13例例 2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx2.3 微分中值定理及其应用(89)14例例 3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证)
8、,1ln()(xxf 设设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即2.3 微分中值定理及其应用(89)15)1()2()3(2.3 微分中值定理及其应用(89)16几何解释几何解释:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证 作辅助函数作
9、辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba2.3 微分中值定理及其应用(89)17,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf2.3 微分中值定理及其应用(89)18例例4 4).0()1(2)(),1,0(:
10、,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即2.3 微分中值定理及其应用(89)192.3.4 2.3.4 小结与思考题小结与思考题1 1Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()
11、()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2.3 微分中值定理及其应用(89)20思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.2.3 微分中值定理及其应用(89)21思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的
12、条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.2.3 微分中值定理及其应用(89)22课堂练习题课堂练习题2.3 微分中值定理及其应用(89)232.3 微分中值定理及其应用(89)24课堂练习题答案课堂练习题答案2.3 微分中值定理及其应用(89)25例如例如,tanlim0 xxx0lnsinlim.lnsinxaxbx)00()(2.3.2 2.3.2 洛必达法则洛必达法则2.3 微分中值定理及其应用(89)26定理定理1，2（LHospital法则）法则）2.3 微分中值定理及其应用(89)27在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来
13、确定未定式的值的方法称为来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则.,该该法法则则仍仍然然成成立立时时以以及及时时当当 xxx证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf1(),(),0,g xxagxxa ,),(xaUo内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa2.3 微分中值定理及其应用(89)28)()()()()()(111111aFxFafxfxFxf )()()()(11 FfFf )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(lim)()(lim11A
14、FfxFxfxFxfaaxax 2.3 微分中值定理及其应用(89)29例例 5 5解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例 6 6解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(2.3 微分中值定理及其应用(89)30例例 7 7解解arctan2lim.1xxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例 8 8解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.
15、1)00()(axbxxcoscoslim0 2.3 微分中值定理及其应用(89)31例例 9 9解解2tanlim.tan3xxx求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(2sincos3limsin3 cosxxxxx 2cos3lim3cosxxx )00(2.3 微分中值定理及其应用(89)32注意：注意：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，并非最好方法！法，并非最好方法！
16、例例1010解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 2.3 微分中值定理及其应用(89)33000,0,1,型型未未定定式式极极限限例例1111解解2lime.xxx 求求)0(elim2xxx 原原式式elim2xx.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或2.3 微分中值定理及其应用(89)34例例1212解解).1sin1(lim0 x
17、xx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式.0 型型 .2步骤步骤:20sinlimxxxx xxx2cos1lim0 xxx221lim20 2.3 微分中值定理及其应用(89)35步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例1313解解.lim0 xxx 求求)0(0ln0lim exxx 原原式式0limlnexxx 021lim1exxx 0e.1 0lnlim1exxx 2.3 微分中值定理及其应用(89)36例例1414解解.lim111xxx 求求)1(1ln11limexxx 原原式式1lnlim1exxx
18、 11lim1exx 1e.例例1 15 5解解 取对数得取对数得.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 11ln(cot)lnln(cot)e,xxxx )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 1e.原原式式2.3 微分中值定理及其应用(89)37例例1 16 6解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件2.3 微分中值定理
19、及其应用(89)382.3 微分中值定理及其应用(89)39洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 2.3.4 2.3.4 小结与思考题小结与思考题2 22.3 微分中值定理及其应用(89)40思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.2.3 微分中值定理及其应用(89)41思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(
20、limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在2.3 微分中值定理及其应用(89)42课堂练习题课堂练习题2.3 微分中值定理及其应用(89)432.3 微分中值定理及其应用(89)44课堂练习题答案课堂练习题答案2.3 微分中值定理及其应用(89)45一、问题的提出一、问题的提出1 1.设设)(xf在在0 x处处连连续续,则则有有2 2.设设)(xf在在0 x处处可可导导,则则有有 )()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(0 xfxf)()()(000 xxxfxfxf
21、2.3.3 2.3.3 泰勒公式泰勒公式2.3 微分中值定理及其应用(89)46xey xy 1oexy oxy )1ln(xy 2.3 微分中值定理及其应用(89)47不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 2.3
22、 微分中值定理及其应用(89)480 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x2.3 微分中值定理及其应用(89)49),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn 2.3 微分中值定理及其
23、应用(89)50三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 2.3 微分中值定理及其应用(89)51证证 由由假假设设,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,且且nnxnR)(1()(011 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(01之间之间与与在在xx 2.3 微分中值定理及其应用(89)52如如此此下下去去,经经过过)1(n次次后后,得得 0)(1()
24、()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 2.3 微分中值定理及其应用(89)53 ).()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则则由由上上式式得得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 2.3 微分中值定理及其应用(89)54拉格朗日型余项拉格朗日型余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf ).()(!1)()(010)1(之之间间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺型
25、余项皮亚诺型余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即2.3 微分中值定理及其应用(89)55注意注意:2.3 微分中值定理及其应用(89)56)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf四、麦克劳林四、麦克劳林(Maclaurin(Maclaurin)公式公式 常用函数的麦克劳林公式：常用函数的麦克劳林公式：2.3 微分中值定理及其应用(89)57).(!21e2nnxxonxxx 2.3 微分中值定理及其应用(89)5
26、8五、简单的应用五、简单的应用解解()()()()e,nxfxfxfx1)0()0()0()0()(nffff(1)()enxfx 注注意意到到代入公式代入公式,得得21ee1(01).2!(1)!nxxnxxxxnn 2.3 微分中值定理及其应用(89)59由公式可知由公式可知2e12!nxxxxn估计误差估计误差)0(x设设111,e112!xn 取取.)!1(3 n其误差其误差e(1)!nRn 1ee()(01).(1)!(1)!xxnnRxxnn 2.3 微分中值定理及其应用(89)60解解22441e1()2!xxxo x)(!4!21cos542xoxxx 24411e2cos3(
27、2)()2!4!xxxo x127)(127lim4440 xxoxx原式原式2.3 微分中值定理及其应用(89)61xy xysin 播放播放1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;2.3.4 2.3.4 小结与思考题小结与思考题3 32.3 微分中值定理及其应用(89)62xy xysin 1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;2.3 微分中值定理及其应用(89)63xy xysin!33xxy o1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用
28、用;2.3 微分中值定理及其应用(89)64xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;2.3 微分中值定理及其应用(89)65xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;2.3 微分中值定理及其应用(89)66xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;
29、2.3 微分中值定理及其应用(89)67xy xysin 播放播放1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;2.3 微分中值定理及其应用(89)68播放播放2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)692 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)702 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)712 2.T Taylo
30、raylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)722 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)732 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)742 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)752 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)762
31、 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)772 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)782 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)792 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)802 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及
32、其应用(89)812 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)822 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)832 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)842 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)85播放播放2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2.3 微分中值定理及其应用(89)86思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sinlimxxxxxx e2.3 微分中值定理及其应用(89)87思思考考题题解解答答)(!3!21332xoxxxx e)(!3sin43xoxxx 30)1(sinlimxxxxxxe3433320)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(!3!2limxxoxxx 31 2.3 微分中值定理及其应用(89)88课堂练习题课堂练习题2.3 微分中值定理及其应用(89)89课堂练习题答案课堂练习题答案
