1、第三讲数列1已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为_【答案】，就是在时单调递增,其最小为,所以，故实数的最大值为,故答案为考点：1、等差数列列的通项公式及前项和公式；2、不等式恒成立问题【方法点晴】本题主要考查等差数列列的通项公式及前项和公式以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；数形结合（ 图象在 上方即可）；讨论最值或恒成立；讨论参数本题是先求出的通项公式再利用方法将求得的最大值2用表示不超过的最大整数，例如，.已知数列满足，则_.【答案】0试题分析：由已知所以数列为正项数列，且，则数列
2、为正项递增数列。对条件两边取倒数得：，所以，由于数列为正项递增数列，所以，所以。考点：1.数列的单调性；2.数列裂项相消求和。3设数列是首项为0的递增数列，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_【答案】【解析】试题分析：，当时，又因为对于任意的总有两个不同的根，所以，所以，又，对于任意的总有两个不同的根，所以，由此可知，用累加法求得.考点：数列求通项.【思路点晴】本题考查数列与三角函数的结合问题，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性.考查合情推理与演绎推理.形如的递推公式，我们可以采用累加法来求通项，即来求解.形如的递推公式，我们可以采用累乘法类求通项.4已知数列的前项和为
3、，当数列的通项公式为时，我们记实数为的最小值，那么数列，取到最大值时的项数为 .【答案】34【解析】试题分析：因为，设，则，所以单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以，当时，当时，所以数列取到最大值时的项数为34考点：1、递推数列；2、数列的单调性5已知数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：所以，又，当且仅当时取等号，所以考点：数列通项，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会
4、出现错误.6已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_ .【答案】【解析】试题分析：，两式相减得又，因此为以2首项，3 为公比的等比数列，即，叠加法得，从而，因此对恒成立，即解得考点：和项求通项，等比数列定义，不等式恒成立【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an（n2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.7在数列中，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为 .
5、【答案】1或2或4【解析】试题分析：因为，所以，则， ，以上式子相加，得，所以（经验证时也成立），所以，即数列是等比数列，其前项和为，由，得当时，式可化为，此时；当时，式可化为，此时或；当时，所以，即式不成立；即的所有可能取值为1或2或4；故填1或2或4考点：1等比数列.；2.数列的递推公式；3.累加法【方法点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式、数列的递推公式、不等式的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题；解决本题的关键有三个：一是对数列的递推公式合理变形，采用累加法求出数列的通项公式，二是对的取值进行分类讨论，三是利用放缩法和不等式的性质进行证明.8若数列满足，则称数列为“差递减”
6、数列若数列是“差递减”数列，且其通项与其前n项和满足，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：当时，当时，依题意是一个递减数列，所以.考点：数列与不等式.【思路点晴】这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示差递减实际上就是为递减数列.9已知数列中，.设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：，.当时，当时，也满足上式，数列的通项公式为.令，则，当时，恒成立，在上是增函数，故当时，即当时，要使对任意的正整数，当时，不等式恒成
7、立，则须使，即对恒成立，解得或，实数t的取值范围为.考点：不等式恒成立，叠加法求通项，裂项相消法求和，基本不等式求最值【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n2）或.10把正整数排成如图的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图三角形阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 【答案】【解析】试题分析：假设第行列的数字为，仔细观察第一列数字与行数
8、的关系可知.从图可知每行数字从左到右组成首项为，公差为的等差数列，所以有，即，因为，所以在第行，则有，可求得，所以在第行列，在数列中，其对应的项数为考点：数阵，数列的通项.【思路点睛】对于数阵问题的解决，关键在于通过观察数阵，能够建立一个二维数列，表示数阵中的任意一个数字。观察数阵，可知每行的数字个数与行数相同，每行数字从左到右构成等差数列，公差为，所以只要求得数阵中第一列的数字，便可很容易的求得数阵中任一位置的数字，而在已知数字的情况下，求该数字的行列位置，可先确定行数，在确定列数，最后再确定其序数11已知数列的前项和为且，则_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以考点：数列的求和【方法
9、点晴】本题主要考查了数列的求和及数列的递推式的化简、运算，其中正确化简数列的递推关系，合理裂项是解得此类问题的关键，试题思维量大，运算量大，难点多，有一定的难度，属于难题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，正确、合理化简数列的通项公式是解答的关键12已知等差数列的前n项和为，若,，则 【答案】2011【解析】试题分析：因为,，所以两式相加并整理得，由可得所以所以.考点：等差数列的性质.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、选择题13已知函数的定义域为，当时，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，设，
10、所以为增函数，考点：抽象函数、递推公式求通项14设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析:因为且,所以在第行,第个数,因此根据数表的数据的规律可知,应填.考点：归纳猜想等合情推理及运用【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为,然后再确定数列中的项是第行,第个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数.15已知三个数
11、，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三项，则能使不等式成立的自然数的最大值为（ ）A9 B8 C7 D5【答案】C【解析】试题分析：因为三个数等比数列，所以，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列的前三项，为，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则不等式等价为，整理，得，故选C考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式16设等差数列满足:,公差, 若当且仅当时，的前项和取得最大值,则首项的取值范围是（ ）A B C D. 【答案】A【解析】试题分析：将化简可得 ，其对称轴方程为：，有题意可知当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，解得考点：数列的应用17公差不
12、为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，则为（ ）A20 B22 C24 D28【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列的公差为成等比数列,即，,所以等比数列的公比，,又,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式及性质.18定义为个正数的“均倒数”，已知各项均为正数的数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：因为正数数列的前项的“均倒数”为，所以正数数列的前项和为，所以正数数列的前项和为，所以，又因为，满足上式，所以，所以，所以，所以，故选B.考点：数列的递推公式；数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式、数列的裂项求和，
13、解答中根据正数数列的前项的“均倒数”为，求得，进而得到，由此是求解数列和的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.19已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 。 A B C D【答案】C【解析】试题分析：由得，则，所以数列是等比数列，公比为2，于是有，所以()由得，当时，由得，综上。故选C。考点：数列的单调性。【名师点睛】本题考查数列的单调性数列作为特殊的函数可以利用函数的性质来研究其单调性，但是数列与函数也有不同，就是数列作为函数时其定义域是或其子集，数列单调性也有其特殊的判断法，即由可判断其是递增的，由能判断其是递减的，而
14、要求数列的最大项，可以通过解不等式组得出。20设数列首项，为的前项和，若，当取最大值时，（ ）A 4 B2 C 6 D 3【答案】D【解析】试题分析：由题意得，所以当且仅当时取等号，选D.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）A B3 C D【答案】B【解析】试题分析：因,故，则，进而可得,所以由基本不等式可得,应选B.考点：数列的知识和基本
15、不等式的综合运用22已知函数的定义域的，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，（），且，则下列结论成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：恒成立，令x=-1，y=0，则，当x0时，数列是以3为周期的周期数列，故选：B考点：抽象函数的应用【方法点睛】1. 换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；2. 方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；3. 待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；4. 赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；5.
16、转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；6. 递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；7. 模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f（x）=kx （k0）f（x+y）=f（x）+f（y）幂函数 f（x）=xnf（xy）=f（x）f（y）或指数函数 f（x）=ax （a0且a1）f（x+y）=f（x）f（
17、y） 或对数函数 f（x）=logax （a0且a1）f（xy）=f（x）+f（y）或 23已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由得两式相减得，故，两式相减得又由得，所以，因为对任意恒成立，所以，解得选A.考点：数列通项，不等式恒成立【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an（n2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.24如
18、图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且，.（）若A是等差数列 B是等差数列 C是等差数列 D是等差数列【答案】A【解析】试题分析：表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，作差后：，都为定值，所以为定值故选A【考点】等差数列的定义【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列评卷人得分三、解答题（题型注释）25已知数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明： 【答案】（1）；（2）证明见
19、解析【解析】试题分析：（1）已知和与项的关系，要求通项公式，可在已知（）基础上，用代（），得，两式相减得（）的递推式，求得，注意的值与的表达式的关系；（2）由（1）是分段函数形式，时，考虑到证明和，因此可放缩以求和，从而得，可证得不等式试题解析：（1）当时，解得；当时，解得当时，以上两式相减，得，（2）当时，考点：已知与的关系求数列通项，放缩法证明不等式26已知数列是递增的等比数列，满足，且是、的等差中项，数列满足，其前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，用基本
20、元的思想，化为，的，解方程即可求出，从而.同样用基本元的思想，将化为，即，求出，进而求得；（2）先求出，对题目的不等式进行分离参数得对一切恒成立，然后利用基本不等式可求得.试题解析：（1）设等比数列的公比为，则，是的等差中项，即.，.依题意，数列为等差数列，公差，又，（2），.不等式化为，对一切恒成立.而，当且仅当即时等号成立，.考点：数列.27已知数列的前项和为，且满足（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由，先令，得出的值，由， 两式相减，整理得，于是数列是首项为，公比为的等比数列，可得；（2）由于，
21、所以可用“裂项求和”的方法求得前项和为，即证原式试题解析：（1），令，得， ，两式相减，得，整理 ， 数列是首项为，公比为的等比数列 ， （2） 考点：1、等比数列的通项；2、利用“裂项求和法”求数列前项和；3、不等式的证明28已知数列为等差数列，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立（）求数列、的通项公式；（）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和【答案】（）；（）存在满足条件；（）【解析】试题分析：（）因为对任意的恒成立，所以取，又知为等差
22、数列，为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（）由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值，因，利用知单调递增，求的最小值，再根据求解；（）特殊情况时，成立，当d0时，由等比中项知，化简得，整理得：，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为试题解析：（）法1：设数列的公差为，数列的公比为因为令分别得，又所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去所以 法2：因为 对任意的恒成立则（） 得，又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则，因为为等比数列，则（为常数），即对于恒成立，所以又，所以，故（）由，得，设，则不等式等价于，且，数列单调递增假设存在这样的实数，使得
23、不等式对一切都成立，则当为奇数时，得； 当为偶数时，得，即综上，由是非零整数，可知存在满足条件（）易知d=0，成立 当d0时， ，又，所以公差d的所有可能取值之和为16分考点：1、等差数列通项；2、等比数列通项；3、等比中项；4、数列的单调性；5、恒成立问题【方法点晴】本题主要考查的是等差等比数列的通项公式求法，及运用等差等比数列的通项，等比中项，数列的单调性求恒成立问题、公差取值问题，属于难题解题时一定要注意方法的优化，第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值
24、，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高29在数列中，其中（1）求证：数列为等差数列；（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由（3）已知当且时，其中，求满足等式的所有的值【答案】（1）详见解析（2）不存在（3），【解析】试题分析：（1证明数列为等差数列，一般利用定义，即证明相邻两项的差为常数：，本题数列通项未知，其变形为消参数（2）先从三项构成等差数列出发，得到等量关系，再利用奇偶性否定存在：
25、设第，（）构成等差数列，则有，又为偶数，为奇数故不存在（3）条件的运用是本题难点，其结构是将一个数列放为等比数列，因此将等式调整为满足条件的结构：，这样就巧妙应用了条件，解出满足方程解限制在为，这五种情况，经验算，时等号成立试题解析：（1）证明：数列为等差数列（2）解：假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第，（）项，由（1）得，又为偶数，为奇数故不存在这样的三项，满足条件（3）由（2）得等式，可化为即，当时，当时，当，时，经验算，时等号成立满足等式的所以，考点：等差数列定义，等比数列求和，放缩法求方程解【名师点睛】数列中不等式的处理方法（1）函数方法:即构造函数,通过函数的单调性
26、、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.（2）放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.（3）比较方法:作差或者作商比较.（4）数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.30（本小题共13分）已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设,是数列的前项和，证明【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据题意，构造数列为等比数列，求其通项，进而求出；（2）利用错位相减法求，进而求出，作差证明数列为递减数列，可求得最值，即得的范围；（3）求出，利用裂项抵消法求和，进而证明不
27、等式成立试题解析：（1）由已知得，其中所以数列是公比为的等比数列，首项，所以 4分由（1）知所以所以 7分因此，所以，当即，即所以是最大项所以 9分（3） 12分又令，显然在时单调递减，所以故而 13分考点：1数列的递推公式；2错位相减法；3裂项抵消法31设正项数列an（n5）对任意正整数k（k3）恒满足：，且（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在整数，使得对于任意正整数n恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。（注：）【答案】（1）an=n （2）【解析】试题分析：（1）本题中求通项公式时首先由数列前几项猜测数列的通项公式，然后用数学归纳法证明对于任意正整数都成立（2）中首先由求得
28、的值，再由数学归纳法证明恒成立试题解析：（1）当k=3时，a1=1；当k=4时，a2=2；当k=5时，a3=3； 猜想：an=n 2分当n=1时，a1=1，成立；假设当n=k时结论成立，即有ak=k， 则当n=k+1时，由于 所以而，ak=k，得ak+1=k+1，所以当n=k+1时，结论成立；由可知： an=n 8分（2）若存在整数，使得对于任意正整数n恒成立，则当n=1，n=2时有13=1，得。猜想， 10分当n=1时，成立；假设当n=k时，结论成立，则当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论成立；由可知：，使得命题成立。 16分考点：1数学归纳法；2归纳推理32（附加题，本小题满分10分，
29、该题计入总分）已知数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）令，是否存在，使得成等比数列若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）不存在，使得、成等比数列【解析】试题分析：（1）首先利用得到数列的递推公式，采用累积的方法求通项；（2）由成等比数列得到关系式代入通项公式求解的值试题解析：（1）当时， 2分 3分，符合的表达式 4分数列的通项公式为 5分（2）假设存在，使得、成等比数列，则 6分， 8分 这与矛盾不存在，使得、成等比数列 10分考点：1数列求通项公式；2等比数列性质33（本题满分15分）已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和
30、为，证明（）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，从而可得，即可得证.试题解析：（1）由题意得，即，由得，由得，即；（2）由题意得，由和得，因此，由得.考点：数列与不等式结合综合题.34（本小题满分13分）设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上（1）求归纳数列的通项公式（不必证明）；（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（）， ；，；， ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（3）设为数列的前项积，若不等式对一切 都成立，其中，求的取值范围【答案】
31、（1）（2）（3）【解析】试题分析：第一问根据点在函数的图像上，得到与的关系，分别将带入求得的值，从而猜想出，第二问分析括号里的数的特点，找出关系，从而求得相应的项的结果，作和即可求得所要的值，关于第三问，将式子转化为恒成立问题，最后从最值的角度去解决即可试题解析：（1）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想：； 分（2）因为（），所以数列依次按 项、 项、 项、 项循环地分为 每一次循环记为一组由于每一个循环含有个括号， 故 是第组中第个括号内各数之和由分组规律知，由各组第个括号中所有第个数组成的数列是等差数列，且公差为同理，由各组第括号中所有第个数、所有第个数、所有第个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为故各组第个括号中各数之和构成等差数列，且公差为注意到第一组中第个括号内各数之和是，所以 又，所以； 分（3）因为，故，所以又，故对一切都成立，就是对一切都成立 分设，则只需即可由于，所以，故是单调递减，于是令， 分即 ，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是 13分考点：点在函数图像上的条件，数列的项与和的关系，归纳法，数列的问题，恒成立问题31 / 31
