1、蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一1二、典型例题二、典型例题一、一、主要内容主要内容 第二章 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一2求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容一、主要内容蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一3基本导数公式基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等
2、函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一4基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx2
3、22211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一5例例1.1.).0(),100()2)(1()(fxxxxxf求设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100二、二、典型例题典型例题蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一6例例2.设求,1111ln411arctan21222xxxy.y y22)1(1121x21xx)11ln()11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x2
4、31)2(1xxx蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一7例例3.,45202 tdxdytttyttx求求设设解解分析分析:,0导导数数不不存存在在时时当当tt ,0不存在不存在时时当当dtdydtdxt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt .0.00 tdxdy故故蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一8.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例4.解解 两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy 即即,1ln)ln1(
5、xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一9).(,)2()(xfxxxxf 求求设设例例5.解解先去掉绝对值先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0时时当当 x,0)0()0(ff;0)0(f,20时时当当 x;43)(2xxxf ,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一10,2时时当当 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4
6、2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf ,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或或蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一11.,)(sincosyxxyx 求求设设例例6.解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一12.,114)(22nyxxy求求设设 例例7.解解13441142222 xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)
7、(nnnxnx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx.)1(1)1(1!)1(2311)(nnnnxxny蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一13.03 .833dxdyyxyyx的导数所确定的隐函数求由例解等式两端求微分，由微分的形式不变性,得到,0)3(33xyyxd,0)3()()(33xydydxd,0)(333 22xdyydxdyydxx 得到两端同时除以，dx,03333 22dxdyxydxdyyx.22yxyxdxdy蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一14.,.9yaaxybxbxba求设例解 y 1 babxa)(bax)(xba)(bxa)ln(
8、aaxb)ln(bbx)ln(aabx).(1bxb.,)(sin .10cosyxyx求设例解)(sinlncosxxey y).sincossinlnsin()(sin2cosxxxxxxxxsinlnsin()cossin1cosxxx蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一15.为非零常数其中求 可导,在点设,)()(lim )(.110 hhafhafaxfh例解)()(lim 0 hhafhafh)()()()(lim 0 hafhafafhafh)()()(lim)()(lim 0 0 hafhafhafhafhh).()(af 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期
9、一16.0)0()0()(.12ffxf存在证明为偶函数，且 设例证明),()()(xfxfxf为偶函数，所以因为xfxffx)0()0(lim)0(0 xfxfx)0()0(lim0).0(f,0)0(2f.0)0(f即蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一17处可导.在使选设1)(,1,1,)(.132xxfbaxbaxxxxf例解,1lim)01(21xfx)(lim)01(1baxfx,ba,1)1(f 处连续，数在若这三个值相等，则函1x又1)1()(lim)1(1xfxffx11lim21xxx .1ba;21)1()(lim)1(1xfxffx11)(lim1xbaxx.
10、a.2)1()1(1 )(affxxf即 处可导，必须在要使，处可导.在时,于是当1 )(12 xxfba，蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一18.),(cos)(sin)(.1422dxdyxfxfyxf求可导,设例解)(cos)(sin22xfxfdxdy)(cos)(sin22xfxf)(sin(sin22xxfxxf2sin)(sin2).(cos)(sin2sin22xfxfx)(cos(cos22xxf)2sin)(cos2xxf蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一19为偶函数.可导的奇函数的导函数 ；函数的偶函数的导函数为奇证明：可导例.15证明hxfhxf
11、xfh)()(lim)(0hxfhxfh)()(lim0hxfhxfh)()(lim0).(xf .数为奇函数即可导的偶函数的导函由导数定义可导且设，)()()(xf,xf-xf .的导函数为偶函数同理可证可导的奇函数蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一20？导数连续；可导；连续处在满足什么条件，问设例)3()2()1(0 )(,0 ,00,1sin)(.16xxfkxxxxxfk解为有界函数.xf1sin,0)0()1(时，当0k)(lim0 xfxxxkx1sinlim00),0(f处连续；在即 0 )(xxf)2(，时当1k0)0()(lim0 xfxfxxxkx1sinlim
12、10.0.0)0(0 )(fxxf处可导，且在即蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一21(3)时及当 0 2 kkxxxkxxfkk1cos1sin)(21)1cos1sin(lim)(lim 210 0 xxxkxxfkkxx0),0(f 处连续.在 于是 0 )(xxf蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一22)(1)()1()()1()()()()1(1 lim afnafnafafnafafnafafnaf)(1)(afafe.)()(afafe.)()1(lim,0)()(.17nnafnafafaxf求可导,在点设且例nnafnaf)()1(lim 解蚌埠学院 高
13、等数学2022年11月14日星期一23).(,)(),()()(.18afaxxxaxxf求连续在点其中设例axafxfafax)()(lim)(解axxaxax0)()(lim)(limxax).(a 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一24).1(),1004(tan)24)(tan14(tan)(.191002fxxxxf求设例解1)4(tan xx12)4(sec4xx.21)1()(lim)1(1xfxffx)1004(tan)24(tan114tanlim10021xxxxx)1001()31)(21(2!99)1(299!992蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星
14、期一25作业中的问题：作业中的问题：1、第、第15页页 二、二、2、,)ln(2222yaxaxxxy求)1(1)ln(222222axxaxxxaxxy22axx222222)ln(axxaxxaxx)ln(22axx)1(12222axxaxxy221ax 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一262、第、第16页页 二、二、1、22,1dxydxeyy求 两边分别对两边分别对 x 求导，求导，,yxeeyyyyyxeey12)1()()1(yyyyyyxeyxeeexeyey22)1(yyyxeyee32)1()2(yyyxexeeyey22)2()()2(yyeyyeyyy32
15、2)2()3()2()3(yyeyyyeyy蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一273、第、第16页页 三、三、1、54)1()3(2xxxy两边取对数：两边取对数：54)1ln()3ln(2lnlnxxxy)5ln(5)3ln(4)2ln(21xxx两边对两边对 x 求导：求导：515314)2(211xxxyy1534)2(21)1()3(254xxxxxxy4、第、第16页页 一、一、2、22lnarctanyxxy)ln(2122yx 两边对两边对 x 求导：求导：22222221)(11yxyyxxyxyxy,yyxyxyyxyxy)()(212222yxyxx蚌埠学院 高
16、等数学2022年11月14日星期一285、第、第17页页 五、五、1、)1ln(arctan2tytx)(arctan)1ln(2ttdtdxdtdydxdytttt2111222)2(22tdxddxyddtdxtdtd1)2()1(2112)(arctan)2(22ttttttdtddxdy2)(arctan)1ln(2)1(2)(arctan)2(222ttdtddxyd蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一29练习：求下列函数的导数或微分练习：求下列函数的导数或微分 xxyxxxyxxyxxxyxyx11arctan.51ln.4arctan)1(.3cottan.23ln3.
17、12233ln332xxyxxxxxy22csccot2sectan1arctan2xxy2)1(ln1xxxy22211)1(11)11(11xxxxxxy蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一30,.8,2.7),ln(22.61sin222222yyxdyyyaxxaaxxyxyx求求求2222,axxyaxydxxxxddyxx1sin221sin2222sin2ln)1(sin2ln2)ln()ln(,ln1ln,lnlnxxyxyyxyyyyxyyxxyyxxy蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一31,tan.9ydyyxy求10、设设 )()()(tfttfyt
18、fx，其中，其中 存在且不为零，求存在且不为零，求 )(tf22dxyd11、设设 ttytxarctan)1ln(2，求，求 的值的值 122tdxyd两边微分得两边微分得 dydxydy2secydxdxydy22cot1sec1yydxyd2322csccot2)(111,)()()()(22tfdtdxdxydttftfttftfdxdy2141,212122ttttdxydtdxdy蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一3212、设、设 )(2xxfy，其中，其中 二阶可导，求二阶可导，求 f22dxyd13、设、设 0,00,cos1sin)(2xxxxxxf，求，求 )0
19、(f14、设、设 ,max)(2xxxf，在区间，在区间(0,2)内，求内，求 )(xf)(4)(6),(2)(232222xfxxxfyxfxxfy2220000()(0)1sin(0)lim21 cos/2limlimlimxxxxf xfxxxfxxxx)1(,21,210,1)(,21,1,110,)(2fxxxxfxxxxxxf不存在不存在 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一3315、设设 )(2,231nyxxy求解解 1121)2)(1(1xxxxy11)1()2(xx22)1)(1()2(xxy3232)1(!2)1()2(!2)1(xxy4343)1(!3)1()
20、2(!3)1(xxy)1()1()()1(!)1()2(!)1(nnnnnxnxny)1(1)2(1!)1(11nnnxxn蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一34二、导数的概念问题二、导数的概念问题 导数是增量之比的极限导数是增量之比的极限 xyx0limhxfhxfxxfxxfxfhx)()(lim)()(lim)(00000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx)()()(000 xfxfxf蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一35例例1 讨论讨论 0sin0)(xxxxxxf在在 x=0 处的连续性处的连续性 与可导性与可导性
21、解解 ,0)0(,0sinlim)00(,0lim)00(00fxxfxfxx所以该函数在 x=0 处连续 可见可见 )0()00()00(fff1lim)0()(lim)0(00 xxxfxffxxxxxxfxxsinlimsinlim)0(00不存在不存在 所以该函数在 x=0 处不可导 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一36)(xf例2.设 对任意的实数 a,b 有 ，)()()(bfafbaf且 ,1)0(f求证 )()(xfxf证 依题意，有 ),()()(xfxfxxf)0()()0()()(lim0fxfxfxfxfx而 1)0(f)()(xfxf)0()()(fxf
22、xfxxfxxfxfx)()(lim)(0蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一37三、简单应用三、简单应用 求切线、速度、加速度等求切线、速度、加速度等 例例4 证明：双曲线证明：双曲线 2axy 上任一点处的切线与两坐标轴上任一点处的切线与两坐标轴 构成的三角形面积都等于构成的三角形面积都等于 22a证证 设设 M(x,y)为曲线上任一点为曲线上任一点 xyyxyy0过曲线上过曲线上M点的切线方程为点的切线方程为 )(xXxyyY即即 122yYxX2222221axyyxS蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一38例例5 一球在斜面上向上滚动，已知在一球在斜面上向上滚动，
23、已知在 秒时，球与起始位置的秒时，球与起始位置的 t距离为距离为 23)(ttts（单位：米），问其初速度为多少？（单位：米），问其初速度为多少？何时开始下滚？何时开始下滚？解解 t 时刻的速度为时刻的速度为 tdtdstv23)(初速度为初速度为 300tvv（米（米/秒）秒）当当 23,023,0ttv即（秒）时，（秒）时，球开始下滚球开始下滚 作业：第作业：第20页、第页、第21页页 蚌埠学院 高等数学2022年11月14日星期一39练习：练习：1、求曲线、求曲线 1lnyxy在点（在点（1，1）处的切线方程）处的切线方程 2、证明曲线、证明曲线 ayx上任一点处的切线在两坐标轴上上任一点处的切线在两坐标轴上 的截距之和是常数的截距之和是常数 a 211)1,1(2xyyk032yx切线方程：切线方程：证证 设设 ),(00yxM为曲线上任一点，为曲线上任一点，,02121xyyyyx00 xyk过过M点的切线方程为点的切线方程为 ),(0000 xxxyyy即即 100ayyaxx所求截距之和为所求截距之和为 ,00aaaayax证毕证毕
