1、函数概念与图像知识知识结构结构概念概念三要素三要素图象图象性质性质指数函数指数函数应用应用大小比较大小比较方程解的个数方程解的个数不等式的解不等式的解实际应用实际应用对数函数对数函数函函数数一个物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9X。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离么？此问题中含有两个变量x和y，当一个变量x的取值确定后，另一个变量y的值随之唯一确定。根据初中知识，每一个问题都涉及一个确定的函数，这就是他们的共同特点。定定 义义 给定两个给定两个非空数集非空数集A和和B,如果按如果按照某个照某个对应法则对应法则f,对于对于A中的任何一中的
2、任何一个数个数x,在集合在集合B中都存在中都存在唯一确定的唯一确定的数数 y 与之对应与之对应,那么就把对应关系那么就把对应关系f叫做定义在叫做定义在A的的函数函数.记作记作:f:AB其中其中,x叫做叫做自变量自变量,y 叫做叫做函数值函数值,集合集合A叫做叫做定义域定义域,y的集合叫做的集合叫做值域值域.或或 y=f(x)xA.所有输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。对A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域。函数的三要素：定义域值域对应法则（解析式）判断是否为函数的方法：是否有共同的对应法则A中是否有剩余元素给定函数时要指明函数的定
3、义域，对于给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式函数表达式有意义有意义的的输入值的集合输入值的集合。例3 下列函数中哪个与 函数是同一个函数?xy 解：;)(2xy;33xy.2xy（1）（2）（3）（1）这个函数与函数 虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以这两个函数不是同一个函数.),0()(2xxxy)(Rxxy（2）这个函数与函数 不仅对应关系相同，而且定义域也相同.所以这两个函数是同一个函数.),(33Rxxxy)(Rxxy（3）这个函数与函
4、数 的定义域都是实数R，但当时它的对应关系与函数不相同，所以这两个函数不是同一个函数.0,0,|2xxxxxxy)(Rxxy映射概念：一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:AB例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？1.设A=1,2,3,4，B=3,5,7,9，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A2.设A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是A中的元素开平方3.设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A4.设A=R
5、,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。练习3判断下列各组函数是否同一函数？0)(,1)()1(xxgxf与1)(,1)()2(2xxxgxxf与|1|)(,1)()3(xxgxxf与答案：（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数（2）定义域不同，不是同一函数（3）对应关系不同，不是同一函数判断两函数是否为同一函数只要判断它们的定义域定义域和对应关系对应关系是否相同即可.使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围。的取值范围。求定义域的
6、主要依据求定义域的主要依据1 1、分式的分母不为零、分式的分母不为零.2 2、偶次方根的被开方数不小于零、偶次方根的被开方数不小于零.3 3、零次幂的底数不为零、零次幂的底数不为零.4 4、对数函数的真数大于零、对数函数的真数大于零.5 5、指、对数函数的底数大于零且不为、指、对数函数的底数大于零且不为1.1.6、实际问题中函数的定义域、实际问题中函数的定义域32)1(xxy1.求自变量的取值范围：求自变量的取值范围：32xx且02 x03x233)2(xxy32 x03 x02 x例例5 画出函数画出函数y=|x|的图象的图象.解：由绝对值的概念，我们有解：由绝对值的概念，我们有y=x,x0
7、,-x,x0时向左，时向左，k0时向下，时向下，k0,k0,向负方向平移；向负方向平移；k0k0，向，向正方向平移。正方向平移。画出下列函数的图象画出下列函数的图象,并并基础练习基础练习说明它们的关系说明它们的关系:(1)y=x2x(2)y=2xxy=x2xy=x2x (x0或或x1)y=2xx小结小结(翻折变换）翻折变换）：1.将函数将函数y=f(x)图像图像保留保留x轴轴上上方的部方的部分并且把分并且把x轴下方的部分关于轴下方的部分关于x轴作对轴作对称就得到函数称就得到函数y=|f(x)|的图像的图像2.将函数将函数y=f(x)图像图像去掉去掉y轴轴左左方的部方的部分，分，保留保留y轴轴右
8、右方的部分并且把它关于方的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图像的图像函数图象的变换函数图象的变换画出下列函数的图象画出下列函数的图象:(1)y=x2+2 +1(2)y=x22xx待定系数法、换元法、配凑法待定系数法、换元法、配凑法1,已知已知 求求f(x).xxxf3)1(2,已知已知f(x)是一次函数，且是一次函数，且ff(x)=4x+3求求f(x).函数的表示方法函数的表示方法列表法：用列表来表示两个变量之间函数的关系的方法。解析法：用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。图像法：用图像表示两个变量之间
9、函数关系的方法。例题购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x（x1,2,3,4）的函数，并指出该函数的值域。例题1 画出f(x)=丨x丨的图像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值例题2某是出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费。试写出收费额关于路程的函数解析式由上述例题中观察 函数具有相同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。像这样的函数通常叫做分段函数标题x 1 2-2 -1o 1 2oyx-2 -1321-1-2前面我们学习了函数，你能作出下列函数
10、的图象吗？前面我们学习了函数，你能作出下列函数的图象吗？(1)y=2x+2 (2)y=x2 (3)y=1xx 1 2-2 -1oy321-1-2y321-1-2观察图象变化趋势观察图象变化趋势在在(-,)上上y 随随x的增的增大而增大大而增大在在(-,0上，上，y 随随x的增大而减少的增大而减少在在0,)上，上，y 随随x的增大而增大的增大而增大在区间在区间(-,0)上上及及(0,)上上y 随随x的增大而减少的增大而减少复习引入复习引入一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A:如果对于如果对于区间区间 内的内的任意任意两个值两个值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x
11、1)f(x2),那么就说那么就说y=f(x)在在区间区间 上是上是单调增函数单调增函数 称为称为y=f(x)的的单调增区间单调增区间.说明：说明：(1)定义域定义域(2)区间区间(3)任意任意(4)自变量的大小与函数值大小的关系自变量的大小与函数值大小的关系单调性概念单调性概念 如果对于如果对于区间区间 内的内的任意任意两个值两个值x1,x2,当当x1 f(x2),那么就说那么就说y=f(x)在在区间区间 上是上是单调减函数单调减函数 称为称为y=f(x)的的单调减区间单调减区间.如果函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数在某个区间是增函数或减函数,那么就说该函数那么就说该函数 y
12、=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有单调性单调性增函数和减函数统称为单调函数。单调增区间和单调减区间统称增函数和减函数统称为单调函数。单调增区间和单调减区间统称为单调区间为单调区间有关的概念有关的概念一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A，区间，区间I A如果对于区间如果对于区间I内的任意两个值内的任意两个值X1，X2，当，当X1X2时，都有时，都有f(X1)f(X2），那么就说），那么就说y=f(x)在区在区间间I上是上是单调增函数单调增函数，I称为称为y=f(x)的的单调增区间单调增区间。如果对于区间如果对于区间I内的任意两个值内的任意两个值X1，X2，当，当
13、X1X2时，都有时，都有f(X1)f(X2），那么就说），那么就说y=f(x)在区在区间间I上是上是单调减函数单调减函数，I称为称为y=f(x)的的单调减区间单调减区间。一般地，设y=f(x)的定义域为A如果存在x。A，使得对于任意的xA，都有 f(x)f（x。),那么称f（x。）为f(x)的最大值，记为ymax=f(x。)；如果存在x。A，使得对于任意的xA，都有 f(x)f（x。),那么称f（x。）为f(x)的最小值，记为ymin=f(x。)；例1.下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数y=f(x)的单调区间并指出哪些是增区间哪些是减区间x 1 2-2 -10
14、y321-1-2-5 -4 -3 3 4 5函数函数y=f(x)的的单调区间单调区间有：有：-5,-2,-2,1,1,3,3,5增区间增区间有：有：-2,1,3,5减区间减区间有有：-5,-2,1,3单调区间的判断单调区间的判断单调区间的判断单调区间的判断练习：练习：已知函数已知函数y=f(x)及及y=g(x)的图象的图象(包括端点），根据图象包括端点），根据图象写出函数的单调区间，并指出在每一单调区间上，函数写出函数的单调区间，并指出在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数 1 2x -2 -1oy321-1-2x -/2oy321-1-2 /2 单调区间的判断单调区间的判
15、断例例2.写出函数的单调增区间及单调减区间写出函数的单调增区间及单调减区间 (1)y=x+1 (2)y=-x2+2x (3)y=2x增区间增区间 减区间减区间(-,1 1,+)(0,)(-,0)，无无(-,+)无无2x(1)y=-x+2(2)y=x2+2x(3)y=-练习：练习：写出下列函数的单调增区间及单调减区间写出下列函数的单调增区间及单调减区间-1,)(-,-1(-,0)，(0,)无无(-,)无无增区间增区间减区间减区间单调区间的判断单调区间的判断思考：思考：怎样判断函数的单调性？怎样判断函数的单调性？单调性的证明单调性的证明例3.证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数证明：设证明：设
16、x1,x2是是R上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2，则则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)因为因为x1x2，所以所以x1-x20所以所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)所以，所以，f(x)=3x+2在在R上是增函数上是增函数(1)设数设数(2)作差作差(3)因式分解因式分解(4)判断符号判断符号(5)对比定义对比定义(6)得出结论得出结论证明：设证明：设x1,x2是是(0,+)上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2，因为因为0 x10且且x1x20所以所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)(1)设数设数(2)作
17、差作差(3)因式分解因式分解(4)判断符号判断符号(5)对比定义对比定义(6)得出结论得出结论例4.证明函数f(x)=在（0，+）上是减函数1x则则f(x1)-f(x2)=-1x11x2=x1x2x2 x1所以，所以，f(x)=在（在（0，）上是减函数）上是减函数1x单调性的证明单调性的证明例：证明f（x）=x在（-，+）上是增函数单调性的证明单调性的证明 2 证明函数证明函数f(x)=在（在（-，0）上是减函数）上是减函数3x练习练习 1 判断函数判断函数f(x)=-x2+1在（在（0，）是增函数还是减）是增函数还是减 函数，并证明你的结论函数，并证明你的结论思考：怎样证明函数的增减性？思考
18、：怎样证明函数的增减性？3.若函数若函数f(x)在区间在区间a,b单调单调且且 f(a)f(b)0,则方程则方程f(x)=0在区在区.间间a,b上上().A.至少有一实根至少有一实根;B.至多有一实根至多有一实根;C.没有一实根没有一实根;D.必有唯一实根必有唯一实根.D4.函数函数f(x)=2x+1,(x1)5 x,(x1)则则f(x)的递减区间为的递减区间为()A.1,)B.(,1)C.(0,)D.(,1Bx 1 2 -2 -1oy321-1-2x 1 2 -2 -1oy321-1-2特点：特点：图象关于图象关于 y轴轴 对称对称自变量自变量相反相反，函数值，函数值相等相等图象关于图象关于
19、原点原点对称对称自变量自变量相反相反，函数值，函数值相反相反函数：函数：y=x2 y=1x结论：结论：偶偶函数函数奇奇函数函数图象图象函数的奇偶性函数的奇偶性一般地：一般地：如果对于函数如果对于函数y=f(x)的的定义域定义域内内任意任意一个一个x,都有都有f(-x)=f(x),那么称函数那么称函数y=f(x)是是偶偶函数函数 如果对于函数如果对于函数y=f(x)的的定义域定义域内内任意任意一个一个x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么称函数那么称函数y=f(x)是是奇奇函数函数说明：说明：（1）定义域）定义域（2）任意）任意（3）f(x)与与f(-x)的关系的关系奇、偶函数的定义奇、偶函
20、数的定义一般地：一般地：奇奇函数的图象关于函数的图象关于原点原点对称，反过来，如果一个函数对称，反过来，如果一个函数的图象关于的图象关于原点原点对称，那么这个函数是对称，那么这个函数是奇奇函数函数 偶偶函数的图象关于函数的图象关于y轴轴对称，反过来，如果一个函数对称，反过来，如果一个函数的图象关于的图象关于y轴轴对称，那么这个函数是对称，那么这个函数是偶偶函数函数如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我是奇函数或偶函数，我们说们说f(x)具有奇偶性。具有奇偶性。奇偶图象的性质奇偶图象的性质例例5.判断下列函数是否具有奇偶性判断下列函数是否具有奇偶性(1)f(x)=x3+2x (2)f(x)
21、=2x4+3x2(3)f(x)=1(4)f(x)=(5)f(x)=x2+x(6)f(x)=g(x)+g(-X)(g(x)的定义域为R)(7)f(x)=0 x2+2x x+2奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数偶函数偶函数既是奇函数既是奇函数又是偶函数又是偶函数奇偶性的判断奇偶性的判断奇偶性的判断奇偶性的判断练习：练习：判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x-2 (2)f(x)=2x+(3)f(x)=0 x-2,2)(4)f(x)=x+(5)f(x)=x-4-x-2(6)f(x)=(7)f(x)=|x+2|-|x-2|1 x3x
22、 x(x-1)x0-x(x+1)x0思考：思考：怎样判断函数怎样判断函数的奇偶性？的奇偶性？证明：函数f(x)=x3+x为奇函数证明：f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x)函数f(x)=x3+x为奇函数(1)定义域定义域思维过程思维过程(2)计算计算f(-x)(3)f(-x)与与f(x)及及-f(x)进行比较进行比较(4)结论结论奇偶性的证明奇偶性的证明例例6.已知函数已知函数y=f(x)是定义在是定义在R上奇函数，而且在上奇函数，而且在(0，)是增函数，证明是增函数，证明y=f(x)在在(-，0)上也是增函数上也是增函数证明：任取证明：任取0 x1-x1-x
23、2 f(x)在（在（0，）为增函数为增函数 f(-x1)=-f(x1)f(-x2)=-f(x2)f(-x1)f(-x2)f(x)为奇函数为奇函数-f(x1)-f(x2)f(x1)f(x2)即即y=f(x)在（在（-，0）上也是增函数）上也是增函数奇偶性的应用奇偶性的应用奇偶性的应用奇偶性的应用 已知函数已知函数y=f(x)在在R上偶函数，而且在上偶函数，而且在(-,0)上是增上是增 函数，函数，判断判断y=f(x)在在(0，)是增函数还是减函数？并加以证明是增函数还是减函数？并加以证明.证明：任取证明：任取x1x2-x20 f(x)在（在（-,0）为增函数为增函数 f(-x1)=f(x1)f(-x2)=f(x2)f(-x1)f(-x2)f(x)为偶函数为偶函数f(x1)f(x2)y=f(x)在（在（-，0）上也是减函数）上也是减函数答：答：y=f(x)在在(0，)是减函数是减函数练习练习奇偶性的应用奇偶性的应用结论：结论：奇奇函数在对称区间上具有函数在对称区间上具有相同相同的单调性的单调性偶偶函数在对称区间上具有函数在对称区间上具有相反相反的单调性的单调性
