1、第二十讲 最值问题知识点梳理知识点梳理一、积最大的规律（一）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相 等时，它们的积最大。用字母表示，就是：如果a1+a2+an=b（b为一常数），那么，当a1=a2=an时，a1a2an有最大值。由由“积最大规律积最大规律”，可以推出以下的结论：，可以推出以下的结论：结论（1）：所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n 边形）的面积为最大。结论（2）：在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为 最大。（二）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然 数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的
2、积最大，而且不要出现1。例如：当和是14时 （1）14=2+2+2+2+2+2+2 2222222=128 （2）14=3+3+3+5 3335=135 （3 3）14=3+3+3+3+214=3+3+3+3+2 3 33 33 33 32=1622=162 （4 4）14=5+5+2+214=5+5+2+2 5 55 52 22=1002=100二、和最小的规律二、和最小的规律 几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达就是：如果a1a2an=c（c为常数），那么，当a1=a2=an时，a1+a2+an，有最小值。例如：面积为64的长方形和正方形 88=64 322=64 1
3、64=64推论：由“和最小规律”可以推出，在所有面积相等的封闭图形中，以圆 的周长为最小。典型例题精讲典型例题精讲例1.外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级 决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民 警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙 丁相距4000米，那么至少要增加_位民警解解 析析 现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民
4、警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（500080004000）5001=35（名）。例例2.如图所示，在一个正方体表面上，三 只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，它们爬行的速度相等。若要求它们同 时出发会面，那么，应选择哪点会 面最省时？(小学数学奥林匹克预赛试题）解解 析析我们可将正方体表面展开，如图，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O
5、；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。例例3.有三条线段a、b、c，并且abc。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？解解 析析 三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（abc）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（ab）c这组数的值最接近。故图（3）的面积最大。例4.某商店有一天，估计将进货 单价为90元的某商品100元 售出后，能卖出500个。已 知这种商品每个涨价1元，其 销售量就减少10个。为了使 这一天能赚得更多利润，售 价应定为每个
6、_元。解解 析析 卖价110时，利润为110-90=20元，售出500-1010=400个，盈利20400=8000元；卖价120时，利润为120-90=30元，售出500-2010=300个，盈利30300=9000元；卖价130时，利润为130-90=40元，售出500-3010=200个，盈利40200=8000元；卖价150时，利润为150-90=60元，售出500-5010=0，可以盈利600=0；综上所述得，当售价为120时，获得最大利润9000元。例例5.有10个人各拿一只水桶，同时到 一个水龙头下接水。水龙头注满 第一、第二、九、十个人的 桶，分别需要1、2、3、9、10分钟。
7、问：如何安排这10个人 的排队顺序，可使每个人所费时 间的总和尽可能少？这个总费时 至少是多少分钟？解解 析析第一个人接水时，包括他本人在内，共有10个人等候，第二个人接水时，有9个人等候；第三个人接水时有8个人等候 第10个人接水时，只有他1个人等候。可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少。因此，应当把接水时间按从少到多顺序 排列等候接水。每人水桶注满时间从少到多排序：1分，2分，3分，4分，5分，6分，7分，8分，9分，10分。110+29+38+47+56+65+74+83+92+101 =（110+29+38+47+56）2 =220（分）例例6.自
8、行车的前轮胎行驶9000千米 后报废，后轮胎行驶7000千米 后报废，前后轮胎可在适当时候 交换位置，一辆自行车同时换上 一对新轮胎，最多可行驶多少千 米？解解 析析例例7.8个互不相等的非零自然数的和为56，如果去掉最大的数和最小的数，那么剩下的数的和为44。问剩下的数中，最小的数是多少？解解 析析 8个不相同的非零自然数之和为56，平均数是568=7，2个数和为14。去掉最大数和最小数的和44，大数和小数之和是 56-44=12，所有自然数在1-12之间,即可能是:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 以上11个数中，8个数加起来和为56,并且和为12，小数和大数只能是1 和11
9、，446=72 ,就是说其它的6个数平均为7点多,2个数和为14的有：10和4，9和5，8和6 ，它们的和是42，比44少2，把5换7 即可，这8个数是：1 4 6 7 8 9 10 11。例例8.A、B两人在沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，问：其中一人最远可深入沙漠多少千米后返回出发地？解解 析析243=8（天)24+8=32(天）322=16（天）1620=320（千米）两人共同走8天后，一人将8天的水和食物给另一人并携带8天的水和食物返回。则另一人共用24+8=32天的水和食物去探险。最远走16天后返回，所以最远可以深入沙漠320千米。课后作业课后作业 一种货物有六个货站，4辆汽车先后经过这6个货站进行循环运输，每个货站所需装卸工人数如图所示，分别有4人、6人、4人、8人、5人、3人。为节省人力，装卸工可随车到各货站，有些工人固定在各站，有些随车流动，怎样安排使工人总数最少？最少多少人？
