1、小学奥数解题方法“奥数”是奥林匹克数学竞赛奥林匹克数学竞赛的简称。1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒列宁格勒和莫斯科莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在罗马尼亚首都布加勒斯特布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiads简称IMO）竞赛。命题：命题：国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平难度：难度：大大超过大学入学考试。有关专家认为，只有5%的的智力超常儿童适合学奥林匹克数学。学校里学的数学学校里学的数学是学生必须学的数学基础知识，它
2、针对大多数学生编写，它的系统性较强，符合大多数学生的数学认知与逻辑思维能力，必须逐级学习。奥数奥数最初是为一些对数学有天分、学有余力的学生推出的，奥数比普通数学难，思维更为活跃，讲究思考时的难度与一定的趣味性。奥数知识大体由五部分组成：一是学校内容的延伸；二是后面的知识提到前面来学；三是纯数学原理知识；四是趣味数学知识；五是复杂的综合性应用题。学习奥数知识是开发智力和培养能力的一种很好的手段，是否参加学习奥数知识完全是一种自愿参加的行为。近年来，我国各种“奥数班”，凸显出泛大众化泛大众化的特征。大众特别是家长和小学生对奥数的态度也是众说纷纭是家长和小学生对奥数的态度也是众说纷纭，家长一部分认为
3、奥数可以锻炼学生的思维锻炼学生的思维，使学生变得比较聪明；有的则是一种无奈的选择无奈的选择，因为现在大城市好的学校基本上都将奥数视为选拔小升初的一个标准；当然也有可能一些家长是盲从性盲从性的。学生大部分是不喜欢上奥数的，因为不但奥数知识比课本的难难很多，公式、方法也特别多很多，公式、方法也特别多，使一些学生应接不暇，而且现在的学生课余时间很少，放假或是周末不断的要上各种补习班，剥夺了学生休息娱乐的时间时间。另外，不管是上奥数辅导班还是请家教，对家庭都是一个不小的开支开支。对奥数的差评：1.奥数绝大部分是要用初中方法做，用这些奥数题目去为难小学生，对学生的思维发展没有任何好处，只能使绝大部分学生
4、从此惧怕数学而远离数学。2.奥数难题会使小学生对数学没了兴趣。3.绝大部分奥数到初中高中都会忘记，况且实际生活中不会出现这样的问题，没有实际效果。4.学奥数会使小学生的童年失去乐趣，变成无奈的回忆，童年应该是美好的，奥数会让学生压力过多。5.有些知识连高中生都不会，小学生不可能真正掌握，只能懂表面。6.对家庭来说是一个不小的开支好评：1.培养理性思维，数学研究能力（解决数学问题-思维的体操）2.培养孩子的自信，3.学数学的热情，积极性提高4.小升初的敲门砖，升中学多一些选择5.可以获奖，这对以后的各种评选绝对有好处6.可以拿不懂的题在同学面前显摆奥数的题目错综复杂，繁琐异常，也没有统一的版本，
5、但是一般都可以归纳为以下几类：1、行程问题：（、行程问题：（多人行程 二次相遇、追及问题 多次相遇、追及问题 火车过桥 流水行船 环形跑道 简单的相遇、追及问题 基本行程问题 钟面行程 走走停停 接送问题 发车问题 电梯行程 猎狗追兔 平均速度）2、数论：（、数论：（数的整除 约数倍数 余数问题 质数合数、分解质因数 奇偶分析 中国剩余定理 位值原理 完全平方数 整数拆分 进位制）3、几何问题：（、几何问题：（巧求周长 勾股定理 圆与扇形 立体图形的表面积和体积 立体图形染色计数 其它直线型几何问题 格点与面积）4、计数：（、计数：（加法原理 乘法原理 排列组合 枚举法 标数法 捆绑法 插板法
6、 排除法 对应法 树形图法 归纳法 整体法 递推法 容斥原理 几何图形计数）5、应用题、应用题：（：（分数百分数应用题 工程问题 鸡兔同笼问题 盈亏问题 年龄问题 植树问题 牛吃草问题 经济利润问题 浓度问题 比例问题 还原问题 列方程解应用题）6、计算问题：（、计算问题：（数学计算公式 繁分数的计算 分数裂项与整数裂项 换元法 凑整 找规律 比较与估算 循环小数化分数 拆分 通项归纳 定义新运算）7、杂题、杂题：（：（逻辑推理 数阵图与数字谜 抽屉原理 操作与策略 不定方程 最值问题 染色问题）其中每个知识点又可以分为若干小的知识点和相应的公式。其中每个知识点又可以分为若干小的知识点和相应的
7、公式。奥数解题的几个常用方法方法 1.直观画图法：直观画图法：这个方法大家都比较熟悉，很多工程、行程类应用题工程、行程类应用题适合此法。这些题题目一般比较长，数量关系比较多题目一般比较长，数量关系比较多，而大多数学生不愿读长题，这样首先从心理上就对题目产生了厌倦感和恐惧感，而做这类题目最重要的前提恰恰是要把题意理解透彻，把过程分析清楚，把这前期工作做好了后，后面的解题过程就会变得简单了，通过画图，借助点、线、面、图、表通过画图，借助点、线、面、图、表等将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象等将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通化，可
8、使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知已知”与与“未知未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。的联系，抓住问题的本质，迅速解题。小青已经赛了 2 盘例题例题1.A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘？例题例题2：两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨？16-10=6吨吨4倍倍第二堆第二堆第一堆第一堆（16-10）（4-1）=2（吨）10-2=8（吨）例题例题3：有大小两个正方形，其中大正方形的边
9、长比小正方形的边长多4厘米，面积比小正方形的面积大96平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？（适于六年级程度）解：图中大正方形ABCD的面积比小正方形的面积大96平方厘米。这96平方厘米的面积是由两个长方形a及比长方形还小的正方形c构成。从96平方厘米减去正方形c的面积，再除以2就可求出长方形a的面积。（96-44）2=40（平方厘米）因为长方形a的宽是4厘米，所以长方形a的长是：404=10（厘米）因为10厘米也是小正方形的边长，所以小正方形的面积是：1010=100（平方厘米）大正方形的边长是：4+10=14（厘米）大正方形的面积是：:1414=196（平方厘米)aac44 2、
10、假设法、假设法 假设法即用假设来改变应用题的某些已知（或未知）数量的数值，或假设法即用假设来改变应用题的某些已知（或未知）数量的数值，或减少未知量的个数，让复杂的问题简单化，以简化应用题的结构，从而减少未知量的个数，让复杂的问题简单化，以简化应用题的结构，从而找出解题的方法。很多题可以用假设法找到解题的方法找出解题的方法。很多题可以用假设法找到解题的方法例题例题1、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题 假设小华全部答对：该得420=80（分），现在实际只得了56分，相差80-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，
11、这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：248=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17（题）417=68（分）（答对的应得分）43=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分）例例3：某校有某校有100名学生参加数学竞赛，平均得名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得分，其中男生平均得60分，女分，女生平均得生平均得70分，那么，男生比女生多多少名？分，那么，男生比女生多多少名？假设假设100名同学都是男生，那么应得分名同学都是男生，那么应得分 60100=6000（分）比实
12、际少得（分）比实际少得63100-6000=300（分）（分）原因是男生平均分比女生少原因是男生平均分比女生少70-60=10（分）（分）求出女生人数为求出女生人数为300 10=30（名）（名）例题例题2、鸡兔同笼，头数为、鸡兔同笼，头数为35，脚数为，脚数为94，求鸡、兔各有多少只？（较典型），求鸡、兔各有多少只？（较典型）假设鸡有假设鸡有35只，兔子的头数为只，兔子的头数为0，那么他们的脚数分别为，那么他们的脚数分别为70、.0实际上，脚数一共实际上，脚数一共94，共多，共多94-70=24只脚，多的脚数是咱们将兔子的脚数等同只脚，多的脚数是咱们将兔子的脚数等同于鸡的脚数，那么一只兔子比
13、鸡多两条腿，那么一共有兔子于鸡的脚数，那么一只兔子比鸡多两条腿，那么一共有兔子24/2=12只兔子，只兔子，有鸡有鸡35-12=23只鸡只鸡也可以假设有也可以假设有35只兔子，那么脚数应该为只兔子，那么脚数应该为35*4=140，而，而140-94=46，也就是咱，也就是咱们多算了们多算了46只脚，而这只脚，而这46只脚是兔子比鸡多的，一只兔子比一只鸡多两条腿，只脚是兔子比鸡多的，一只兔子比一只鸡多两条腿，那么一共有那么一共有46/2=23只鸡。只鸡。还可以假设兔子有还可以假设兔子有10只，只，15只，只，8只等等，只要比只等等，只要比35小都可以的。但是比较麻小都可以的。但是比较麻烦一点，同
14、学们可以自己下去计算一下。烦一点，同学们可以自己下去计算一下。例题例题4、小花上学从家里到学校每分钟走、小花上学从家里到学校每分钟走80米，放学回家时每分钟走米，放学回家时每分钟走60米，小米，小花往返一次平均每分钟走多少米？花往返一次平均每分钟走多少米？分析：本题既没有说明总路程是多少，也没有告知总时间是多少，不能用分析：本题既没有说明总路程是多少，也没有告知总时间是多少，不能用通常的求平均数的方法来解，应该另辟蹊径才能找到思路。通常的求平均数的方法来解，应该另辟蹊径才能找到思路。解：假设小花家到学校的距离是解：假设小花家到学校的距离是600米，米，那么他上学路上走的时间是那么他上学路上走的
15、时间是600/80分钟，放学回家的时间是分钟，放学回家的时间是600/60分钟，往返一次的总时间是分钟，往返一次的总时间是600/80+600/60分分钟，总路程是钟，总路程是600*2=1200米，于是平均速度为：米，于是平均速度为：600*2/（600/80+600/60）=1200/（7.5+10）=68 米（思考：当然可以假设的路程可以是米（思考：当然可以假设的路程可以是100,200，或是，或是单位单位1.为什么？这里也有一个化为质量为具体量的方法）为什么？这里也有一个化为质量为具体量的方法）例题例题5（简单）、某鞋厂把（简单）、某鞋厂把600双皮鞋分别装在双皮鞋分别装在4个木箱和个
16、木箱和12个纸箱里。已知个纸箱里。已知2个纸箱和一个木箱装的一样多，试问每个纸箱和每个木箱各装多少双鞋？个纸箱和一个木箱装的一样多，试问每个纸箱和每个木箱各装多少双鞋？解法一，假设把解法一，假设把4个木箱改装在纸箱里，因为个木箱改装在纸箱里，因为2个纸箱和一个木箱装的一样多，个纸箱和一个木箱装的一样多，所以可装纸箱所以可装纸箱8个，再加上原来的个，再加上原来的12个，共有纸箱个，共有纸箱20个，个，600/（2*4+12）=30双双 30*2=60双双假设二，假设把假设二，假设把12个纸箱改装成木箱，此时有木箱个纸箱改装成木箱，此时有木箱4+12/2=10个。个。（此题也可以认为是等量代换）（
17、此题也可以认为是等量代换）就是已知一个数量经过几次运算以后的结果，求原来的数量。一般适适用于事物经过一系列变化而形成的问题用于事物经过一系列变化而形成的问题。使用还原法时，要根据加法与减法，乘法与除法互为逆运算互为逆运算的关系将结果逐步倒推上去，原来加的还原时要用减，原来减得还原时要用加，乘的还原是要用除，原来除的还原要用乘，但必须注意，已知被减数及差，求减数仍用减法;已知被除数及商，求除数仍用除法。还原时要还原时要注意运算顺序，必要时须加括号注意运算顺序，必要时须加括号。3、还原法：（又叫倒推法）、还原法：（又叫倒推法）例题例题1、一个数加97除以25再乘以7，从所得的积中减去8等于20，求
18、这个数（简简单单）解：不防先把这个数设为x，按题意写出等式（x+97）/25*7-8=20然后用还原法求出这个数（20+8）/7*25-97=3例题例题2、（大家做）袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？解：运用倒推法，剩下的3个球，是第五次操作后的结果，（31）24（个），说明第四次操作后有4个球。以此类推，第三次后剩6球、第二次后剩10球、第一次后剩18球、未操作前有34球。例题例题3一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航思路导航】从“剩下48页”入手倒
19、着往前推，它占余下的1 。第一天看后还剩下48 120页，这120页占全书的1 ，这本书共有120 180页。即 48（1 ）（1 ）180（页）答：这本书共有180页。（用到转化法转化法）（相似题）（相似题）有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（242）48千克，当乙桶没有倒出给甲桶时，乙桶内有油24（1 ）30千克，这时甲桶内只有483018千克，而甲桶已倒出给了乙桶，可见甲桶原有的油为18（1 ）27千克，乙桶原有的油为482721千克。甲：【2422
20、4（1 ）】（1 ）27（千克）乙：2422721（千克）答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。513151315353523132313252例题例题4（简单）（简单）张、王、李、赵4个小朋友共有课外书200本，为了扩大阅读，张给王13本，王給李18本，李给赵16本，赵给张2本，这时4个人的书本数相同，问他们原来各有多少本书？分析：4个小朋友共有课外书200本，经过交换，总数不变，仍为200本；当4个人本书相同是，每人应有50本书，现把交换情况列出如下：张：给出13本，收回2本，现有50本 王：给出18本，收回13本，现有50本 李：给出16本，收回18本，现有50本 赵：给出2本，收
21、回16本，现有50本用倒推法，求每个人原有书多少本，可以从50本减去收回的，加上给出的即可。张原有书：50-2+13=61本 王原有书：50-13+18=55本 李原有书：50-18+16=48本 赵原有书：50-16+2=36本 4、抓不变量、抓不变量 数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。典型的是典型的是年龄问题、浓度问题年龄问题、浓度问题等等等等例题例题1、小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？解：首先，不管是今年或今年前、今年后
22、的若干年，小华和他妈妈年龄的差都是相同的，妈妈的年龄比小华大4812=36（岁）。当妈妈的年龄是小华的5倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的5份，比小华多51=4（份），所以那时小华是：364=9（岁），是在今年前129=3（年）。当妈妈的年龄是小华的3倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的3份，比小华31=2（份），所以那时小华是：362=18（岁），是在今年后1812=6（年）。答：3年以前，妈妈的年龄是小华的5倍，6年以后，妈妈的年龄是小华的3倍例题例题2、今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁？从年龄差上不变来找解题的“突破口”小明和小强的
23、年龄差是：14-8=6（岁）小明那一年是：（40-6）2=17（岁）是在几年之后呢？17-8=9（年）（40-22）/2=9（同学讨论）例题例题3、王进和张明计算甲、乙两个自然数的积（这两个自然数都比1大）。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少？91=713=191，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。抓住：一个因数（乙数）没有变，乙是91和175的公约数 917=13王进看错了的甲数175725张明看错了的甲数。157=105小宁告诉小兵：“我用了借来还去的方法”。原来，小宁一看19
24、998，1998，198，18分别接近20000，2000，200，20。她就先借来了4个2，分别加到19998，1998，198，18上得到 00+2000+200+2022220可是借来的4个2（=8）要“还”，也就是要从22220中减去，这样，正确的答案应该是：22220-822212小宁的思考方法可以从下面的式中看出来：199981998+19818=（199982）（19982）（1982）+（182）-（2222）=20000+200020020-24这种“借来还去”的思考方法不仅在计算上，而且在解决一些实际生活问题上也很有用！5、借来还去、借来还去例题例题1、小宁在计算19998
25、199819818这道计算题时，只用20秒钟就报出了得数是22212。她为什么算得这么快呢？【分析与解分析与解】如果他先用下面的方法来试分：那么，非把其中的两头牛宰了不可，这显然不符合老人的要求。即使允许这样分，弟兄三人能分得牛的头数之和只有8.55.671.89=16.06（头），为了把17头牛正好全部分完，就不能把“17头”看作单位“1”的量，而应想出了我们开始介绍的那个巧妙的方法。例题例题2、我国民间流传着这样一个故事，一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给三个儿子。其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好
26、分。后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了。他的方法是：先把自己家的一头牛加到17头牛上，变成18头。正好17头牛分完邻居又把自己家的一头牛牵走了。但是，聪明的邻居是怎么想到用“借来还去”法的呢？他一定经过了一番认真的分析和思考。例题例题3、某汽水厂规定：用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水？如果3个空瓶可换1瓶汽水，那么有2个空瓶就可喝到1瓶汽水。这是因为：有了2个空瓶，再到别人那里“借来”1个空瓶，就可换来1瓶汽水，喝完把空瓶给别人“还去”，这时不欠不余。10瓶汽水喝完后得10个空瓶，10个空瓶又可换来5瓶汽水，总共可喝到“10+5=15”瓶汽
27、水。提示：先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条 直线能把一个长方形分成几块？10条直线最多可把一个长方形分成多少块？第一条直线：分成 2 块第二条直线：分成 2+2=4 块第三条直线：分成 2+2+3=7 块10条直线最多可把一个长方形分成多少块？我们发现这样的规律：=2+（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=2+54=56（块）这就是说，10条直线可把长方形分为56块 6、化大为小找规律、化大为小找规律，也叫做归纳法，也叫做归纳法也是解数学题常用的一种方法也是解数学题常用的一种方法，对于一些较复杂或数目较大的问题较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单
28、化，在不改变问题性质的前提下，考虑问考虑问题最简单的情况题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。例题例题1、10条直线最多可把一个长方形分成多少块？【分析与解分析与解】我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。（分类思想）在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是：1+4=5（个）例题例题2、【例例2】数一数，图 2-1中共有多少个正方形？在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是：1+4+9=14（个）在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分
29、别有16个、9个、4个、1个，一共是：1+4+9+16=30（个）现在，我们发现了规律：当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是：12+22+32+n2根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是：1+4+9+16+25+36+49+64+81=285（个）【分析与解分析与解】上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。【例例3】计算写到这里，规律已经出现了：如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是
30、n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案 （此题还可以采用裂项的解法）不过，要提醒同学们注意的是注意的是：当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。条件说法不统一，将条件转化：每次取一个红球一个白球，红球取完，还剩50个白球 每次取一个红球3个白球，红球取完，白球要差150个。说法统一了，红球取法相同，白球每次取差2个，白球一共差150+50=200个 （50+150）/（3-1）=100次说明取了100次，红球-1*100=100个；白球-1*100+50=150个改变了第二个条
31、件的说法，使和第一种说法相同 7、转化法、转化法在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。换换一种角度考虑问题一种角度考虑问题。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。（换一种说法换一种说法更有用，使学生更容易的理解题目）例题例题1甲数=12345*6789，乙数=123456*789那么甲、乙两数比较（）A甲大于乙，B、甲等于乙 C、甲小于乙甲=12345*6789=123450*678.9乙=123456*789或者将乙数缩小到十分之一例题例题2、
32、若干个白求和红球，如果每次同时取出一个红球和一个白球，取到没有红球时，还剩50个白球，如果每次同时取出一个红球和3个白球，那么取到没有白球时，红球剩下50个，原来红球白球各有多少个？例题例题3、修一条公路，甲乙两队合修要15天才能完成，如果甲队先修4天，乙队接着再修7天，只能完成这条公路的5/12，甲队独修这条公路需几天完成？不知道甲乙的效率甲队先修4天，乙队接着再修7天 转化为：甲乙两队合修了4天以后，乙队又单独修了3天乙队三天完成的工作量为5/12-1/15*4=3/20 乙队的工作效率为3/20：（7-4）=1/20甲队独修所需天数为1/（1/15-1/20）=60天设1头牛一天吃的草为
33、1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。20015050（份），201010（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l05）20100（份）或（155）10100（份）。现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100205（天）。所以，这片草
34、地可供25头牛吃5天。例例4牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析与解：分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。我们还可以把牛吃草（牛顿）问题进行转化理解：把这片草地揉成一条长长的草带，牛在这一端吃，草在另一端以一定的速度不断
35、生长、延伸，等到牛从这一端吃到另一端，也就完成了吃草任务那么在这样的合理想象中，“牛吃草牛吃草”就转化为一道追及问题就转化为一道追及问题，这样分析解答就更加直观方便而且容易接受转化后的牛顿问题就是：甲(牛)乙(草)相距一定的路程，乙以不变的速度在前面走，甲从后面追赶乙，如果甲每分钟走10步，20分钟追上乙；如果每分钟走15步。10分钟后追上乙那么。当甲每分钟走25步时，几分钟追上乙?根据追及问题的思路分析，第一种情况：甲每分钟走10步，20分钟后追上乙，这时甲走的路程1020=200(步)；第二种情况：甲每分钟走15步，10分钟后追上乙，这时甲走的路程为1510=150(步)两者之所以相差20
36、0150=50步，是因为第一种情况中乙多走了2010=10分钟，由此可以求出乙的速度为5010=5(步分钟)，那么在第二种情况中，可知乙在10分钟内所走的路程为105=50步)又因为甲所走的路程甲所走的路程=原有路程原有路程(原有的草原有的草)+乙走的路程乙走的路程(后长的草后长的草)，所以原有的路程=甲所走的路程一乙走的路程=15050=100(步)，所以当甲以每分钟25步的速度追上乙时，所需的时间为100(255)=5分钟)淘汰199人需要比赛199场 例题例题2、1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少？8、反过来想（正难则反）反过来想（正难则反）有些数学问题如果当你按习惯思
37、路，从条件正面出发考虑有困难正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。这也是我们解数学题的一种很好的方法。例题例题1、用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛？从1至100的和中去掉9的倍数，就是不能被9整除的数的和了 1+2+3+。+100=5050 9（1+2+3+11）=594 5050-594=4456例题例题1、下图中有多少个线段？可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE A B C D E （2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点
38、的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。一共有线段4+3+2+1=10（条）还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。9、分、分 类类是一种很重要的数学思考方法，特别是是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题在计数、数个数的问题中中，分，分类的方法是很常用的。一般情况下，分类要有一定的顺序和规律，否则容易出现漏掉或是重复的内容。a、b只能取11
39、1的自然数；三角形任意两边之和大于第三边。1、11 一种2、11 2、10 二种3、11 3、10 3、9 三种4、11 4、10 4、9 4、8 四种5、11 5、10 5、9 5、8 5、7 五种6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6 六种7、11 7、10 7、9 7、8 7、7 五种8、11 8、10 8、9 8、8 四种9、11 9、10 9、9 三种10、11 10、10 二种11、11 一种1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种例题例题2、有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。
40、如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：10、整体看问题、整体看问题 很多问题从局部看难以解决，但我们换个角度看问题，从整体思考问题就变得很容易了。我们处理问题的时候要有大局观，不要过分拘泥于细节，要宏观的把握问题。这样往往解决问题更轻松，当然有的问题是需要整体和局部结合的。例题例题1、丙三种货物。如果甲买3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元；如果甲买4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多
41、少钱？买甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 买甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 要想求出买甲1件，乙1件，丙1件，共需花多少钱，必须使上述与中对应的“件数”相差1为此，可转化转化已知条件：将条件中的每个量都扩大3倍，得：买甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 将条件中的每个量都扩大2倍，得：买甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为9.45-8.40=1.05（元）例题例题2、一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟
42、跑120米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米？提示：不需要把狗每趟所跑的路分别算出来，只要用它的速度乘一共所跑的时间就可以了。解：运用枚举法，以1开头,1233,1323,1332三个。以2头,2133,2313,2331三个。以3开头,3123,3132,3213,3231,3312,3321六个。总共12个 当然，奥数的解题方法很多，例如等量代换、将未知量具体化、实验法、移多补少法、合理变形、分情况讨论，对应的思想，方程的思想、割补法、构造法等等，不可能在两节课的时间把它讲完，以上提到的一些思想
43、都是大家常用的解题方法，不管哪种解题方法都是必须建立在理解题意的基础上，所以在拿到一个奥数题的时候不要盲目列式子，而是要理解题目的意思，理清思路，只有弄明白了题目的已知和未知条件，才能做到游刃有余，同时要学会总结归纳。不仅是解题方法，对于一些重要例题，有代表性的，要把它理解变成自己的知识，这样就不会拿到题目没有思路，才能形成有条理性的奥数思维。通过归纳总结，不仅是横向的，也是纵向的把知识点串起来。11、枚举法枚举法奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目数量关系非常特殊的题目，用普通的方法，用普通的方法很难列式解答很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。奥数题中就常常出现一些数量关系非常特殊数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。像这种题目，我们可以采用枚举法解题。例如例如：用两个3，一个1，一个2可组成种种不同的四位数，这些四位数共有（）个。
