1、 容斥问题容斥问题专题简析：专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=NaNbNab。NabNbNa例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分析 解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有：
2、3742=79人人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：7948=31人。人。练练 习习 一一1，五年级有，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有优秀的有65人，数学优秀的有人，数学优秀的有87人。语文、数学人。语文、数学都优秀的有多少人？都优秀的有多少人？2，四年级一班有，四年级一班有54人，订阅人，订阅小学生优秀作文小学生优秀作文
3、和和数学大世界数学大世界两种读物的有两种读物的有13人，订人，订小学小学生优秀作文生优秀作文的有的有45人，每人至少订一种读物，人，每人至少订一种读物，订订数学大世界数学大世界的有多少人？的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有人，会弹电子琴的有17人，其人，其中两种乐器都会演奏的有中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共人。这个文艺组一共有多少人？有多少人？例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？分
4、析 与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有：2515=10人。人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：1023=33人。人。所以，两题都答得不对的有：3633=3人。人。练 习 二1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？2，一个班有55名学生，订阅小学生数学报的有32人，订阅中国少年报的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结
5、果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？例例3、某班有某班有56人，参加语文人，参加语文竞赛的有竞赛的有28人，参加数学竞人，参加数学竞赛的有赛的有27人，如果两科都没人，如果两科都没有参加的有有参加的有25人，那么同时人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的参加语文、数学两科竞赛的有多少人？有多少人？分析分析、要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：5625=31人，人，再求两科竞赛同时参加的人数：282731=24人。练练 习习 三三1，一个旅行社有，一个旅行社有36人，其中会英语的有人，其中会英语的有24人
6、，会法人，会法语的有语的有18人，两样都不会的有人，两样都不会的有4人。两样都会的有多人。两样都会的有多少人？少人？2，一个俱乐部有，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有人，其中会下中国象棋的有69人，人，会下国际象棋的有会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有人，这两种棋都不会下的有12人。人。问这两种棋都会下的有多少人？问这两种棋都会下的有多少人？3，三年级一班参加合唱队的有，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的人，参加舞蹈队的有有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两人。这两队都没有参加的有队都没有参加的有10人。请算一算，这个
7、班共有多少人。请算一算，这个班共有多少人？人？例4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有1005=20个，6的倍数有16个（1006=164），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（10030=310）。因此，是6或5的倍数的个数是16203=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：10033=67个。练练 习习 四四1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的
8、倍数的数有多少个？3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析 ：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。2422=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作
9、品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（242210）2=18幅。练练 习习 五五1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？件。其他年级参展的作品共有多少件？2，六（，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，幅画不是三年
10、级的，有有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？幅。其他年级参展的画共有多少幅？3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级幅不是五年级的，有的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？书法作品共有多少幅？书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
