1、1234 法国数学家傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier)的最大贡献是：他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，每个正弦项和/或余弦项乘以不同的系数（现在称该和为傅里叶级数）。无论函数多么复杂，只要它是周期的，并且满足某些适度的数学条件，都可以用这样的和来表示。5非周期函数（但该曲线下的面积是有限的）也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。在这种情况下的公式就是傅里叶变换。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建，而不会丢失任何信息。6底 部 的 函 数是其上面4个函数的和。78具有周期T的连续变量t的周期函数
2、f(t)可以被描述为乘以适当系数的正弦和余弦和。这个和就是傅里叶级数，它具有如下形式：tTnnnctf2je)(,2,1,0,de)(12j2/2/nttfTctTnTTn系数9 线性系统和傅里叶变换研究的核心是冲激及其取样特性。连续变量t在t0处的单位冲激表示为(t)：0,00,)(ttt1d)(tt)0(d)()(ftttf)(d)()(00tfttttf取样特性取样特性取样特性10令x表示一个离散变量。单位离散冲激(x)在离散系统中的作用与处理连续变量时冲激(t)的作用相同：0,00,1)(xxx)0()()(fxxfx)()()(00 xfxxxfx取样特性1)(xx11冲激串sT(t
3、)，它定义为无限多个分离的周期冲激单元T之和：)()(TnttsnT12 j2()()()edtf tFf tt1j2()()()edtf tF uF 以上合称傅里叶变换对。13t可以表示任何连续变量，频率变量的单位取决于t的单位。如果t表示单位为的时间，则的单位为，或者。如果t表示的是以为单位的距离，则的单位是。频率域的单位是独立于输入变量的每单位周期的。14 tAttfFtWWtjdede)()(2 j2/2/2j2/2jj/2eeej2j2t WWWWAAjjsin()eej2()WWAWAWWjjsin2jeeF()曲线sin()sinc()()mmmsinc()AWWsinc函数15
4、通常，傅里叶变换包含复数项，且为显示目的，通常处理该变换的幅值（一个实量），该幅值称为。)()sin(|)(|WWAWF该函数的谱 F()16周期冲激串sT(t)的傅里叶变换S()是：这个基本结果告诉我们，。这种特性在本章的其余部分中扮演着主要角色。22jj111()()eennttTTTnnnnSstTTTT 0j20j2j20ed)(ede)()(tttttttttF17。卷积定义如下：负号表示翻转，。)(tfd)()()(thfth 18。p反过来，。)(tf)()()(FHth)(tf()()()h tHF)(tf1()()()h tHF 傅里叶变换对19。p 反过来，。()H()()
5、f t h t()F1()H()()f t h t()|F)()()(Hthtf)(F 傅里叶变换对2021考虑一个连续函数f(t)，我们希望以独立变量t的均匀间隔(T)取样。我们假定函数对于t从到扩展。)()()()()(TnttftstftfnT22一个连续函数用于模拟取样过程的冲击串图(a)和图(b)相乘形成的取样后函数由积分并使用冲激的取样特性得到的取样值23取样后的函数 的傅里叶变换 是：)(tf()F()()()()()TFf tf t stF ()S1()nnSTT 22jj111()()eennttTTTnnnnSstTTTT 0j20j2j20ed)(ede)()(ttttt
6、ttttF24)()(FF d)()()(SFSd)(1d)(1TnFTTnFTnnTnFTn11()nnFFTT)(d)()(00tfttttf1()nnSTT 25取样后的函数 的傅里叶变换 是F()的一个拷贝的无限、周期序列，也是原始连续函数的傅里叶变换。虽然 是取样后的函数，但其变换 是连续的，它由F()的几个拷贝组成。)(tf()F)(tf()F26一个的傅里叶变换条件下取样后的函数的傅里叶变换条件下取样后的函数的傅里叶变换条件下取样后的函数的傅里叶变换27对于以原点为中心的之外的频率值，其傅里叶变换为零的函数f(t)称为。28。如果能从 中包含的这个函数的拷贝的周期序列中分离出F(
7、)的一个拷贝，那么我们就可以从取样后的版本复原f(t)，其中 是取样后的函数 的傅里叶变换。()F()F()F()F)(tf29 。因此，我们需要一个完整的周期来表征整个变换。这意味着我们用傅里叶反变换从一个单周期就可恢复f(t)。如果拷贝间的间距足够，从 提取一个单周期使其等于F()是可能的。()F()F30如果 或者 则可保证有足够大的间距。max12 Tmax21T31。完全等于最高频率的两倍的取样率，称为。32反过来，我们也可以说，以1/T的取样率对一个空间域信号取样而得到的频率域信号的最大频率是max=1/2T；取样定理就规定了取样率必须超过奈奎斯特取样率。33为了从原理上了解如何从
8、 复原F()，如下图(a)，该图显示了一个以略高于奈奎斯特取样率取样后的函数的傅里叶变换。下图(b)中的函数由下式定义：如下图(c)所示，通过H()和 相乘我们得到F()。()F其他,0,)(maxmaxTH()F()()()FHFde)()(j2 tFtf34 35以上从理论上证明了，。f(t)必须是带限的这一要求通常意味着f(t)必须从扩展到，实际上这一条件并不满足。限制一个函数的持续时间会妨碍该函数的完美复原，除非是特殊的情况。36 以低于奈奎斯特取样率取样的最终效果是周期重叠，并且不管使用什么滤波器，都不可能分离出变换的一个单周期。由函数欠取样导致的这种效果就是周知的，或简称为。理想低
9、通滤波器 37图(a)和图(b)的乘积。来自邻近周期的干扰导致了混淆，而混淆妨碍了F()的完美复原，并因此妨碍了原始带限连续函数的完美复原。一个带限函数的傅里叶变换（图中来自邻近周期的干扰显示为虚线）38在实践中，我们必须要做的是限制函数的时间，。用有限长度的取样和记录工作，混淆是一个不可避免的事实。39 40()()()FHF11()()()()()f tFHFh t )(tf)()()()()(TnttftstftfnT)(tfd)()()(thfth盒状滤波器H()的傅里叶反变换是一个sinc函数。41()()()()()sin(/)()()(/)sin(/)()()(/)sin()/(
10、)()/()sinc()/nnnnf th tf th z f tz dzzTf tztn Tz dzzTzTf tztn Tz dzzTtn TTf n Ttn TTf n Ttn TT )(d)()(00tfttttf)()()()()(TnttftstftfnT重建的函数恒等于在多个T的整数增量处的样本值。也就是说，对于任何tkT，其中k是整数，f(t)等于第k个样本f(kT)。这来自式 因为sinc(0)1，并且对于任何其他整数m，sinc(m)0。样本点之间的f(t)值是由sinc函数的和形成的内插。42/)(csin)()(TTntTnftfn 要求样本间的内插有无限多项。在实际中
11、，这意味着我们必须找到一种样本间内插有限的近似方法。在图像处理中使用的主要内插方法是最近邻法、双线性法和双三次内插法。43/)(csin)()(TTntTnftfn44(a)一幅计算机生成场景的10241024数字图像，其混淆可以忽略。(b)减小(a)的原始尺寸到25，再用双线性内插恢复原始尺寸的结果。(c)减小图像尺寸的25之前，用55的均值滤波模糊图像，然后再用双线性内插的结果。4546 1,2,1,0,e/2j10 MmfFMmnnMnm1,2,1,0,e1/2j10 MnFMfMmnmMnn离散傅里叶变换 离散傅里叶反变换 1,2,1,0,e)()(/2j10 MuxfuFMuxMx1
12、,2,1,0,e)(1)(/2j10 MxuFMxfMuxMu离散傅里叶变换 离散傅里叶反变换 47如果f(x)由函数f(t)以T为单位间隔取样后的M个 样 本 组 成，则 包 含 集 合 f(x)，x=0,1,2,M-1的记录的持续时间是。离散频率域中的相应间隔u来自下式：由DFT的M个分量跨越的整个频率范围是：TTMu11TuM148由上式可以看出，DFT的频率分辨率u取决于连续函数f(t)被取样的持续时间T；DFT跨越的频率范围取决于取样间隔T。4950冲激二维冲激在积分下呈现了取样特性：0(,)0tzt z其他(,)(,)(0,0)f t zt z dtdzf(,)1t z dtdz
13、0000(,)(,)(,)f t zttzz dtdzf tz 对于离散变量x和y，二维离散冲激定义为：其取样特性为：510000(,)(,)(,)xyf x yxxyyf xy 10(,)0 xyx y其他(,)(,)(0,0)xyf x yx yf 522()(,)(,)jt vzFvf t z edtdz 2()(,)(,)jt vzf t zFv ed dv 令f(t,z)是两个连续变量t和z的连续函数，则其二维连续傅里叶变换对由以下给出：53 )()sin()()sin(ddedde),(),()(2 j2/2/2/2/)(2 jvZvZTTATZztAztztfvFvztZZTTz
14、t)()sin()()sin(|),(|vZvZTTATZvF5455二维取样函数：T和Z是连续函数f(t,z)沿t轴和z轴的样本间的间隔。(,)(,)T Zmnst ztm T zn Z 沿着两个轴无限扩展的周期冲激的集合 56用sTZ(t,z)乘f(t,z)可得到取样后的函数。如果由区间-max,max和区间-vmax,vmax建立的矩形之外的傅里叶变换是零，则函数f(t,z)称为，即：maxmax(,)0vFvv且57如果取样间隔满足 或者关于取样率。如果一个二维带限连续函数在和v两个方向上由以大于该函数最高频率两倍的取样率取样获得的样本表示，则没有信息丢失。maxmax1122TZvm
15、axmax1122vTZ58 如果一个二维带限连续函数在和v两个方向上由以大于该函数最高频率两倍的取样率取样获得的样本表示，则没有信息丢失。带 限函 数 的 二 维傅里叶变换带 限函 数 的 二 维傅里叶变换周期重叠：混淆 59二维傅里叶变换（DFT）：二维傅里叶反变换(IDFT)：112(/)00(,)(,)MNjux Mvy NxyF u vf x y e112(/)001(,)(,)MNjux Mvy Nuvf x yF u v eMN),(),(vuFyxf变换对傅里叶系数正变换反变换601)1,(.1,1)(1,0)(.1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)
16、1)1,(.1,1)(1,0)(.1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)NNFnFnFNFFFNFFFNNfnfnfNfffNfff图像矩阵频域矩阵6162假设对连续函数f(t,z)取样生成了一幅数字图像f(x,y)，它由分别在t和z方向所取的MN个样点组成，令T和Z表示样本间的间隔，那么相应离散频率域变量的间隔分别由如下公式给出：11uvM TN Z 63傅里叶变换对满足下列平移特性：以表示函数和其傅里叶变换的对应性：f(x,y)F(u,v)。002(/)00(,)(,)ju x Mv y Nf x y eF uu vv64002(/)00(,)(,)jx u My
17、 v Nf xxyyF u v e。表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换F(u,v)的幅度（谱）的幅值。65对f(x,y)平移不影响傅里叶变换的幅值，只影响相位。a)(,)b)(,)c)(,)f x yF u vu v0000a)(,)b)(,)c)(,)2()uxuyf xxyyF u vu vNM66当u0=M/2，v0=N/2时有：由傅里叶变换平移公式可以得到：yxyxjNyvMxujee1/2002,21,NvMuFyxfyxvuvuFNyMxf1,2,267显示了无限个周期的一个一维DFT在计算F(u)之前，由(1)x乘以f(x)得到的移位后的DFT。68一个二维DFT 在计算
18、F(u,v)之前，由(1)xy乘以f(x,y)得到的移位后的DFT。69因为通常DFT一般是复函数，因此可以使用极坐标形式来表示：其中幅度 称为傅里叶谱（或频谱）。称为相角。功率谱定义为：(,)(,)(,)ju vF u vF u v e221/2(,)(,)(,)F u vR u vIu v(,)(,)arctan(,)I u vu vR u v222(,)(,)(,)(,)P u vF u vR u vIu v70 71 谱对图像平移不敏感7273 尽管灰度信息已丢失了（该信息由谱携带），但图像中关键的形状特性被保留。相位被置为零，丢失了形状信息。相位的支配作用74二维循环卷积的表达式：二
19、维卷积定理(,)(,)(,)(,)f x yh x yF u v H u v1100(,)(,)(,)(,)MNmnf x yh x yf m n h xm yn(,)(,)(,)(,)f x y h x yF u vH u vx=0,1,2,M-1，y=0,1,2,N-175可以通过计算的得到；给出了。对于第二个表达式具有同样的解释。(,)(,)(,)(,)f x y h x yF u vH u v(,)(,)(,)(,)f x yh x yF u v H u v76函数H(u,v)被称为传递函数，频域滤波的概念就是选择滤波器传递函数，通过规定的方法修改F(u,v)。右图是一个低通滤波器 的
20、传递函数，当的函数F(u,v)后，可以衰减F(u,v)的高频分量，相应的低频分量没有变化。77。根据卷积定理，对频域H(u,v)F(u,v)的结果执行IDFT，应该得到与空间域卷积 相同的结果。(,)(,)f x yh x y78如果我们选择使用两个空间函数DFT变换的乘积的IDFT来计算空间卷积，则。结果正确 79两个离散函数的卷积 相同函数的卷积，但考虑了DFT的周期性。80我们卷积两个周期函数，所以卷积本身也是周期的。解决缠绕错误问题很简单。考虑分别，可以证明，如果把0添加到这两个函数中，使它们具有相同的长度，用P来表示，然后，可以这样选择以避免缠绕：1PAB零可添加到函数的开始处，或分
21、别添加到函数的开始处和结尾处。81若要使与相同，。82令f(x,y)和h(x,y)分别是大小为AB和CD像素的图像阵列。：QyBPxAByAxyxfyxfp或和,01010),(),(QyDPxCDyCxyxhyxhp或和,01010),(),(1PAC 1QBD 83填充后的图像大小为PQ。如果两个阵列大小相同，都是MN，则要求：一般来说，DFT算法对偶数尺寸的阵列执行较快，。21PM21QN2PM2QN84。在做滤波处理时，涉及卷积处理的两个函数之一是滤波器。，换句话说，。85DFT定义及相应表达式小结 1786DFT定义及相应表达式小结81287DFT对的小结1788DFT对的小结813
22、89p 图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。p 图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。(a)(b)909091FFT的频谱与图像中的强度变化模式的关系q 变化最慢的频率（u0,v0）与图像的平均灰度成正比；q低频对应于图像中变化缓慢的灰度分量；q 高频对应物体的边缘和由灰度级突发改变（如噪声）标志的图像成分。92对应于短的垂直分量白色氧化突起45边缘45频谱突出分量93。若给定一幅大小为MN的数字图像f(x,y)，则基本滤波公式为：1(,)(,)(,)g x yH u v F u v IDFT9
23、4F(u,v)是输入图像f(x,y)的DFT；H(u,v)是滤波函数（也简称为滤波器，或者滤波传递函数）；g(x,y)是滤波后的（输出）图像；。95的滤波器H(u,v)（称为）将模糊一幅图像；的滤波器H(u,v)（称为）将增强尖锐的细节，但是将导致图像对比度的降低。96完全消去了直流项，a=0 滤波器加上一个小常数a=0.85，不会影响尖锐性，但能防止直流项的消除，并保留色调。低通滤波器高通滤波器高通滤波器9798 模糊不均匀99100到目前为止，讨论集中在输入图像的填充上。但是，还包含一个滤波器，。然而，填充是在空间域完成的，。101选择的方法1：p处理频率域滤波器填充的一种方法是构建一个与
24、图像尺寸相同的频域滤波器；p计算该滤波器的IDFT得到相应的空间滤波器；p在空间域填充这个空间滤波器；p然后计算其DFT返回到频率域。102(a)在（中心对称的）中指定的原始滤波器。(b)计算图(a)的IDFT得到的表示。(c)将图(b)填充至其两倍长度后的结果（）。(d)通过计算图(c)的D F T 得 到的 相 应 的频 率 域 滤波器。103选择的方法2：；p然后在频率域创建滤波器，其尺寸与填充过的图像一样（）；p但在实践中，该错误可通过图像填充提供的间隔有效地减轻，它对振铃也更好。104 因为DFT是复数阵列，我们可以将它表示为实部和虚部：(,)(,)(,)F u vR u vjI u
25、 v1(,)(,)(,)(,)(,)g x yH u v R u vjH u v I u v 1(,)(,)(,)g x yH u v F u v 105。我们仅考虑这种类型的滤波器。即使相位角的很小变化，也会对滤波输出有很大的影响。106(,)(,)(,)ju vF u vF u v e(,)(,)(,)ju vF u vF u v e1071.给定一幅大小为MN的输入图像f(x,y)，选择填充参数P(P2M-1)和Q(Q2N-1)。；3.用(-1)xy乘以fp(x,y)，以便使fp(x,y)的DFT结果移到其变换的中心；4.计算来自步骤3的图像的DFT，得到F(u,v)；1085.生成一个
26、实的、对称的滤波函数H(u,v)，其大小为PQ，中心在(P/2,Q/2)处。6.用形成乘积G(u,v)H(u,v)F(u,v)；即G(i,k)H(i,k)F(i,k)。7.得到处理后的图像：1(,)real(,)(1)x ypgx yG u v1(,)(,)(1)x ypgx yG u v 109p关于中心对称有助于形象地描述滤波过程并生成滤波函数本身，但它不是基本的需求。p为忽略由于计算不准确导致的寄生复分量，选择了实部，。11012345678分别对应于前面8个步骤低通滤波器1111.用函数tofloat把输入图像变换为浮点图像：2.用函数获得填充参数：,tofloat();f rever
27、tclassfpaddedsize();PQsize ffft2(,(1),(2);Ff PQPQ112，在这一步可以使用本章中的任何算法。如果是居中的，在使用滤波器之前令。5.用滤波器乘以FFT变换：6.获得G的逆FFT变换：.*;GHFifft2();gG例如：lpfilter(,(1),(2),2*);Hgaussian PQPQsig1137.修剪左上部矩形为原始大小：8.把滤波过的图像变换为输入图像的类，如果希望的话：9.显示滤波后图像：(1:size(,1),1:size(,2);ggffrevertclass();ggimshow();gI=rgb2gray(imread(len
28、a.bmp);size=512;fillsize=1024;I=imresize(I,size size);figure(1);subplot(241);imshow(I);title();fillimage=uint8(zeros(fillsize,fillsize);fillimage(1:size,1:size)=I;subplot(242);imshow(fillimage);title();for x=1:fillsize for y=1:fillsize h(x,y)=(-1)(x+y);endendfillimagecenter=h.*double(fillimage);subp
29、lot(243);imshow(fillimage);title();F=fft2(double(fillimagecenter);subplot(244);imshow(F);title();114n1=floor(size);%n2=floor(size);D0=20;%for i=1:fillsize for j=1:fillsize d=(i-n1)2+(j-n2)2;temp=exp(-d/(D0*D0*2);gaussian_lowpass_filter(i,j)=temp;gaussian_lowpass_result(i,j)=temp.*F(i,j);endendsubplo
30、t(245);imshow(gaussian_lowpass_filter);title();subplot(246);imshow(gaussian_lowpass_result);title();resultimage=real(ifft2(gaussian_lowpass_result).*h;subplot(247);imshow(uint8(resultimage);title();final_result=resultimage(1:size,1:size);subplot(248);imshow(uint8(final_result);title();11511612345678
31、117对应的高通滤波器 118 中的一维高斯低通滤波器 对 应 的低 通滤波器 中的一维高斯高通滤波器 119 120一个空间Sobel垂直边缘检测器模板和它的频率域中对应的滤波器的透视图 以图像形式显示的滤波器 在中使用滤波器对图像滤波后的结果 使用滤波器对同一图像滤波的结果。121q被低通滤波的图像比原始图像减少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分。q对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器。q被高通滤波的图像比原始图像减少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分。q对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子。122低通滤波高通滤波123124 在以原点为圆心、以D0为半径的圆内，无衰减地通过所有频率，而在
32、该圆外“切断”所有频率的二维低通滤波器，称为理想低通滤波器(ILPF)：D0是一个正常数，D(u,v)是频率域中的点(u,v)与频率矩形中心的距离：00),(,0),(,1),(DvuDDuDuH2/122)2/()2/(),(QvPuvuD125 vuH(u,v)v截止频率为D0126测试模式的傅里叶谱127 p原图像以及使用ILPF滤波后的结果。p截止频率分别设置在半径值10，30，60，160和460处。p这些滤波器移除的功率分别为总功率的13，6.9，4.3，2.2和0.8。103060160460振铃特性12812345678129 h(x,y)130由于ILPF在频率域的剖面图类似
33、于盒状滤波器，因此可以预料相应的空间滤波器具有sinc函数形状。空间域滤波可以通过h(x,y)与图像卷积来实现。131一个sinc函数与一个冲激卷积就是在冲激处复制这个sinc函数。132 截止频率位于距原点D0处的n阶布特沃斯低通滤波器(BLPF)的传递函数定义为：nDvuDvuH20/),(11),(2/122)2/()2/(),(QvPuvuD133 134与ILPF不同，BLPF传递函数并没有在通过频率和滤除频率之间给出明显截止的尖锐的不连续性。对于具有平滑传递函数的滤波器，可在这样一点上定义截止频率，即使得H(u,v)下降为其最大值的某个百分比的点。在定义公式中，截止频率点是当D(u
34、,v)D0时的点，即H(u,v)从其最大值1下降为50。135 p原图像以及使用2阶BLPF滤波后的结果。p截止频率分别设置在半径值10，30，60，160和460处。103060160460136 n=1n=2n=5n=20 137 高斯低通滤波器的传递函数定义为：是关于中心的扩展度的度量。令=D0，D0是截止频率。当D(u,v)D0时，GLPF下降到其最大值的0.607处。22(,)/2(,)=eDu vH u v2/122)2/()2/(),(QvPuvuD220(,)/2(,)=eDu vDH u v1380100200300400500010020030040050000.20.40
35、.60.81vuH(u,v)139 140p原图像以及使用GLPF滤波后的结果。p截止频率分别设置在半径值10，30，60，160和460处。103060160460141 GLPF 142D080的GLPF，眼睛周围的细纹已明显减少。D0100的GLPF 原图像 143D020的GLPF对图像滤波后结果 D050的GLPF对图像滤波后结果 显示有突出扫描线的图像 144 145图像的锐化可在频率域通过高通滤波来实现，高通滤波会衰减傅里叶变换中的低频分量而不会扰乱高频信息。一个高通滤波器是从给定的低通滤波器用下式得到：(,)1(,)HPLPHu vHu v 146 一个二维理想高通滤波器(IH
36、PF)定义为，D0是截止频率：IHPF把以半径为D0的圆内的所有频率置零，而毫无衰减地通过圆外的所有频率。2/122)2/()2/(),(QvPuvuD00),(,1),(,0),(DvuDDvuDvuHHuv(b)(u,v01D0(a)u,v()Hu,v()D147 振铃现象相当严重 有所改善，边缘失真仍很明显。306016014812345678149 截止频率为D0的n阶布特沃斯高通滤波器(BHPF)定义为：布特沃斯高通滤波器比IHPF更平滑。nvuDDvuH20),(/11),(2/122)2/()2/(),(QvPuvuD1503060160151截止频率处在距频率矩形中心距离为D0
37、的高斯高通滤波器(GHPF)的传递函数由下式给出：220(,)/2(,)=1eDu vDH u v2/122)2/()2/(),(QvPuvuD152 得到的结果比前两个滤波器的结果更平滑。306016015312345678154 155 156157158：从原图像中减去一幅非锐化（平滑过的）版本：1.模糊原图像。2.从原图像中减去模糊图像（产生的差值图像称为模板）。3.将模板加到原图像上。复习159令 表示模糊图像，非锐化掩蔽以公式形式描述如下：1.得到钝化模板：2.在原图像上加上该钝化模板的一个权重部分：pK=1，该处理称为非锐化掩蔽。pK1，该处理称为高提升滤波。(,)f x y(,
38、)(,)(,)maskgx yf x yf x y(,)(,)(,)0maskg x yf x yk gx yk复习160使用频率域方法，前面定义的模板由下式给出：pK=1，该处理称为非锐化掩蔽。pK1，该处理称为高提升滤波。(,)(,)(,)maskLPgx yf x yfx y1(,)(,)(,)LPLPfx yHu v F u v(,)(,)(,)0maskg x yf x yk gx yk钝化模板161 使用涉及低通和高通滤波器的频率域计算g(x,y)。k10给出了控制距原点的偏移量，k20控制高频的贡献。1(,)11(,)(,)LPg x ykHu vF u v 1(,)1(,)(,
39、)HPg x ykHu vF u v 112(,)(,)(,)HPg x ykkHu vF u v k1162 一幅胸部X射线图像 使用滤波后的结果 使用相同滤波器进行后（k10.5，k20.75）的结果 直 方 图 均衡 操 作 后的结果163频域滤波作为一种图像增强的工具，可以灵活地解决加性畸变问题。但实际成像中有许多问题，此时，直接用频域滤波的方法，将无法消减。164一幅图像f(x,y)可以表示为其照射分量i(x,y)和反射分量r(x,y)的乘积：(,)(,)(,)f x yi x y r x y(,)(,)(,)f x yi x yr x y(,)ln(,)ln(,)ln(,)z x
40、yf x yi x yr x y(,)ln(,)ln(,)ln(,)z x yf x yi x yr x y (,)(,)(,)irZ u vF u vF u v乘积的傅里叶变换不是变换的乘积165(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)irS u vH u v Z u vH u v F u vH u v F u v111(,)(,)(,)(,)(,)(,)irs x yS u vH u v F u vH u v F u v 1(,)(,)(,)ii x yH u v F u v 1(,)(,)(,)rr x yH u v F u v(,)(,)(,)s x yi x yr x y),(),
41、(eee),(00),(),(),(yxryxiyxgyxryxiyxs ),(0e),(yxiyxi ),(0e),(yxryxr 输出的照射分量输出的反射分量用一个滤波器H(u,v)对Z(u,v)滤波 在空间域中的滤波后的图像 输出图像166 方法的关键在于：照射分量和反射分量的分离；167图像的照射分量通常由慢的空间变化来表征，而反射分量往往引起突变。使用同态滤波器可更好地控制照射分量和反射分量。1680D(u,v)H(u,v)1HL 如果参数L和H的选取使得：L 1q滤波器函数趋向于、而，最终结果是。169 LDvuDcLHvuHe1)(),(/),(202高斯高通滤波器的近似 170
42、 全身PET扫描图像 用同态滤波增强的图像 220(,)/0(,)()1 e0.25,2,1,80c Du vDHLLLHH u vcD171 172 这种类型的滤波器很容易使用前两节的概念来构建。下表给出了理想、布特沃斯和高斯的表达式。其中D(u,v)是距频率矩形中点的距离。D0是带宽的径向中心，W是带宽。173W是带宽，D是D(u,v)距滤波器中心的距离，D0是截止频率，n是布特沃斯滤波器的阶数。为简化符号表示，用D来代替D(u,v)。174一个带通滤波器可以用从低通滤波器得到高通滤波器的相同的方法从带阻滤波器得到：(,)1(,)BPBRHu vHu v 175 带阻高斯滤波器 带通高斯滤
43、波器176 陷波滤波器是更有用的选择性滤波器。，。177。一般形式为：其中，。),(),(),(1NRvuHvuHvuHkkQk2/122)2/()2/(),(kkkvNvuMuvuD 2/122)2/()2/(),(kkkvNvuMuvuD 178一个n阶布特沃斯陷波带阻滤波器，包含三个陷波对：常数D0k对每一个陷波对都是相同的，但对于不同的陷波对它可以不同。2/122)2/()2/(),(kkkvNvuMuvuD nkknkkkvuDDvuDDvuH202031NR),(/11),(/11),(2/122)2/()2/(),(kkkvNvuMuvuD 179陷波带通滤波器可使用下式由陷波带
44、阻滤波器得到：。这种类型的典型处理是交互式完成的，它直接对DFT处理，而不需要填充，其优点是没有因在滤波处理中未使用填充而导致任何缠绕错误。(,)1(,)NPNRHu vHu v 180利用陷波滤波来减小这些脉冲 181 扫描图像，它显示了突出的莫尔模式 该图像的谱：使用一个乘以图像的DFT的结果D03，n4使用该滤波器所得到的结果 182 显示了近似周期性干扰的土星环图像 谱：垂直轴上一系列小能量脉冲对应干扰模式：从最低脉冲开始，并扩展到垂直轴的剩余部分。使用该滤波器对污染图像滤波后所得到的结果183 完成数字图像处理P185页例4.23和P186页例4.24的编程实验，编程语言可以选择C+，Matlab，Python等。设计方案可参照教科书中的分析，也可以自行设计新的方案。184185185
