1、1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性一、函数列及其一致收敛性 设设12,(1)nfff是一列定义在同一数集是一列定义在同一数集 E 上的函数上的函数,称为定义在称为定义在E 上的函数列上的函数列.(1)也可记为也可记为,1,2,.nnffn或或以以0 xE 代入代入(1),可得数列可得数列 10200(),(),(),.(2)nfxfxfx0 x0 x如果数列如果数列(2)收敛收敛,则称函数列则称函数列(
2、1)在点在点收敛收敛,称称 为函数列为函数列(1)的收敛点的收敛点.如果数列如果数列(2)发散发散,则称函数则称函数 列列(1)在点在点0 x发散发散.当函数列当函数列(1)在数集在数集 上每一上每一 DE 点都收敛时点都收敛时,就称就称(1)在数集在数集 D 上收敛上收敛.这时这时 D 上每上每 x()nfx一点一点都有数列都有数列的一个极限值与之相对应的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的根据这个对应法则所确定的 D 上的函数上的函数,称为函数称为函数 列列(1)的极限函数的极限函数.若将此极限函数记作若将此极限函数记作f,则有则有lim()(),nnfxf xxD或或()()(
3、),.nfxf xnxD N xD 函数列极限的函数列极限的定义定义:对每一固定的对每一固定的,任任,总存在正数总存在正数N(注意注意:一般说来一般说来N值与值与 给正数给正数和和 ,x)表示三者之间表示三者之间 的值都有关的值都有关,所以有时也用所以有时也用N(x 的依赖关系的依赖关系),使当使当nN 时时,总有总有|()()|.nfxf x 使函数列使函数列nf收敛的全体收敛点集合收敛的全体收敛点集合,称为函数列称为函数列 nf的的收敛域收敛域.例例1(),1,2,nnfxxn 设设为为定定义义在在(-)上的上的 函数列函数列,证明它的收敛域是证明它的收敛域是(1,1,且有极限函数且有极限
4、函数 0,|1,()1,1.xf xx 证证 0(1),0|1,x 任任给给不不妨妨设设当当时时 由由于于|()()|,nnfxf xxln(,),(,)ln|NxnNxx 只只要要取取当当时时,就就有有|()()|.nNnfxf xxx 01,xxn当和时 则对任何正整数都有当和时 则对任何正整数都有|(0)(0)|0nff，|(1)(1)|0.nff 式所表示的函数式所表示的函数.|1|(),nxxn当当时时,有有1,x当时当时 又又1,1,1,1,对对应应的的数数列列为为 显然是发散的显然是发散的.所以所以 nx(1,1 函数列函数列在区间在区间 外都是发散的外都是发散的.故所讨论故所讨
5、论的的函数列的收敛域是函数列的收敛域是 (1,1.这就证明了这就证明了 在在(,1 上收敛上收敛,且极限就是且极限就是(3)nf1例例2 sin(,)(),nnxfxn 定定义义在在上上的的函函数数列列1,2,.n sin1,nxnn10,nN 故故对对任任给给的的只只要要就就有有sin0.nxn,x由由于于对对任任何何实实数数都都有有所以函数列所以函数列sin(,),nx n 的的收收敛敛域域为为极极限限()0.f x 函函数数为为注注 对于函数列对于函数列,仅停留在讨论在哪些点上收敛是远仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具远不够的，重要的是要研究极限
6、函数与函数列所具 有的解析性质的关系有的解析性质的关系.例如例如,能否由函数列每项的能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性性;或极限函数的导数或积分或极限函数的导数或积分,是否分别是函数列是否分别是函数列 每项导数或积分的极限每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论对这些更深刻问题的讨论,必须对它在必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行上的收敛性提出更高的要求才行.设设函函数数列列nff与与函函数数定定义义在在同同一一D定义定义1 数集数集上，上，,N 若若对对任任给给的的正正数数总总存存在在某某一一正正整整数数
7、使当使当 nN,xD对对一一切切都都有有时，时，|()()|nfxf x，nfDf则则称称函函数数列列在在上上一一致致收收敛敛于于,记记作作()()(),.nfxf x nxD由定义看到由定义看到,一致收敛就是对一致收敛就是对 D 上上任何一点任何一点,函数列函数列 趋于极限函数的速度是趋于极限函数的速度是“一致一致”的的.这种一致性体现这种一致性体现 ().N 显然显然,若函数列若函数列 nf在在 D 上一致收敛上一致收敛,则则必在必在 D 上上每一点每一点都收敛都收敛.反之反之,在在 D 上每一点都收敛的函数列上每一点都收敛的函数列,它在它在 D 上不一定一致收敛上不一定一致收敛.为为:与
8、与 相对应的相对应的 N 仅与仅与 有关有关,而与而与 x 在在 D 上的上的 取值无关取值无关,因而把这个对所有因而把这个对所有 x 都适用的都适用的 N 写作写作 例例2 中的函数列中的函数列 sinnxn 是一致收敛的是一致收敛的,因为对任意因为对任意,x 正正数数不不论论(-,+)(-,+)给定的给定的取取上什么值上什么值,都有都有 N 1 1,nN当时 恒有当时 恒有sinnxn ,所以函数列所以函数列 sin()0nxf xn在在(-,+)上上一一致致收收敛敛于于.在在 D 上不一致收敛于上不一致收敛于 f 的正面陈述是的正面陈述是:nf函函数数列列存在某正数存在某正数0,对任对任
9、何正数何正数 N,都有某一点都有某一点0 xD和和00 xn与与的取值与的取值与 N 有关有关),(注意注意:0nN某某一一正正整整数数使得使得0000()().nfxf x (0,1)0.nx在在上上不不可可能能一一致致收收敛敛于于由例由例1 中知道中知道,下面来证明这个结论下面来证明这个结论.事实上事实上,若取若取01,2,2N 对对任任何何正正整整数数取取正正整整10011(0,1),NnNxN数数及及就有就有 001101.2nxNnff函函数数列列一一致致收收敛敛于于的的几几何何意意义义:如如图图所所示示,号大于号大于N 的的所所有有曲曲线线()yf x 都都落落在在曲曲线线与与()
10、yf x 所所夹夹的的带带状区域之内状区域之内.()(),nyfxnN00,N,对对于于序序Oyx()yf x()nyfx ba()yf x ()yf x 图图 13-1 (0,1)nx函函数数列列在在区区间间上上,不不一一致致收收敛敛从几何意义上从几何意义上 看看,就是存在某个预先给定就是存在某个预先给定 的的(0,存在正数存在正数N,使得当使得当 nN时时,对一切对一切 ,xD 都有都有|()()|.(5)2nfxf x,n mN于是当,由(5)得于是当,由(5)得|()()|()()|()()|nmnmfxfxfxf xf xfx.22 充分性充分性 若条件若条件(4)成立成立,由数列收
11、敛的柯西准则由数列收敛的柯西准则,(),f x在在D上任一点都收敛上任一点都收敛,记其极限函数为记其极限函数为nf.(4),x DnmnN现现固固定定式式中中的的让让于于是是当当时时x D对对一一切切都都有有|()()|.nfxf x 由定义由定义1知知,根据一致收敛定义可推出下述定理根据一致收敛定义可推出下述定理:定理定理13.2（余项准则）（余项准则）nfD函函数数列列在在区区间间上一致上一致 收敛于收敛于f的充分必要条件是的充分必要条件是:limsup|()()|0.(6)nnx Dfxf x,当当,存在不依赖于存在不依赖于 xN任给的正数任给的正数的正整数的正整数()()(),.nfx
12、f xnxD 证证 必要性必要性()()(),.nfxf xnxD若若则对则对 由上确界的定义由上确界的定义,对所有对所有nN,也有也有sup|()()|.nx Dfxf x 这就得到了这就得到了(6)式式.充分性充分性 由假设由假设,对任给对任给 0,存在正整数存在正整数N,使得使得 nN当当时时,有有sup|()()|.(7)nx Dfxf x,xD因因为为对对一一切切总总有有有有|()()|,.nfxf xxD nN 时时,|()()|sup|()()|.nnx Dfxf xfxf x.f一一致致收收敛敛于于注注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么柯西准则的特点是不需要知道极限函数
13、是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛收敛,而使用余项准则需要知道极限函数而使用余项准则需要知道极限函数,但使用但使用 较为方便较为方便.如例如例2,由于由于 (,)sin1limsup0lim0,nnxnxnn sin(,),0().nxnn所所以以在在上上故由故由(7)式得式得()(),nnfxf xfD 于于是是在在上上例例3 定义在定义在0,1上的函数列上的函数列2212,0,211()22,1,2,(8)210,1,nn xxnfxnn xxnnnxn(0)0,nf由由于于(0)f故故lim(0)0.nnf01,x当时当
14、时1,nx只只要要就就有有()0,nfx(0,1故故在在上上有有()lim()0.nnf xfx1,2,3n 其其中中的图的图像如图像如图13-3 所示所示.(8)0,1于于是是在在上上的的极极限限函函数数()0.f x 为为又又由由于于0,11sup()()(),2nnxfxf xfnnn 所以函数列所以函数列(8)在在0,1上不一致收敛上不一致收敛.133 图图()f x11f2f3f12131614213xyO例例4 讨论函数例讨论函数例222()e,0,1n xnfxn xx 的一致的一致 收敛性收敛性.解解 为了使用余项准则为了使用余项准则,首先求出函数列的极限函数首先求出函数列的极
15、限函数.易见易见222()lim()lime0,0,1,n xnnnf xfxn xx 于是于是 222|()(0)|e.n xnfxfn x 222en xn x 0,1容易验证容易验证 在在 上只有惟一的极大值点上只有惟一的极大值点 012xn,因此为最大值点因此为最大值点.于是于是 12sup|()()|e2nnfxf x 根据余项准则知该函数列在根据余项准则知该函数列在0,1上不一致收敛上不一致收敛.注注 222()en xnfxn x 不一致收敛是因为函数列余不一致收敛是因为函数列余 的增大一致趋于零的增大一致趋于零 0 x n项的数值在项的数值在 附近不能随附近不能随(见图见图13
16、-4),因此对任何不含原点的区间因此对任何不含原点的区间,1(0aa 222()en xnfxn x 在该区间上一致收敛于零在该区间上一致收敛于零.1),00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.522.5n=1n=2n=3n=4n=5图图13 4 二、函数项级数及其一致收敛性()nuxE设设是是定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数列列,表表达达式式12()()(),(9)nu xuxuxxE称为定义在称为定义在E上的函数项级数上的函数项级数,1()nnux简记为或简记为或().nux称称1()(),1,2,(10)nnkkSxuxxE n为函数项级数为函
17、数项级数(9)的部分和函数列的部分和函数列.0,xE若若数数项项级级数数10200()()()(11)nuxuxux001()()nnkkSxuxn 收敛收敛,即部分和即部分和当当时极限时极限 0 x0 x存在存在,则称级数则称级数(9)在点在点收敛收敛,称为级数称为级数(9)的收的收 敛点敛点.若级数若级数(11)发散发散,则称级数则称级数(9)在点在点0 x发散发散.若若 级数级数(9)在在 E 的某个子集的某个子集 D 上每点都收敛上每点都收敛,则称级数则称级数(9)在在 D 上收敛上收敛.若若 D 为级数为级数(9)全体收敛点的集合全体收敛点的集合,这时就称这时就称 D为级数为级数(9
18、)的收敛域的收敛域.级数级数(9)在在 D上每一上每一 点点 x 与其所对应的数项级数与其所对应的数项级数(11)的和的和()S x构成一个构成一个 定义在定义在 D 上的函数上的函数,称为级数称为级数(9)的和函数的和函数,并记作并记作 12()()()(),nu xuxuxS xxD即即lim()(),.nnSxS xxD也就是说也就是说,函数项级数函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分的收敛性就是指它的部分 和函数列和函数列(10)的收敛性的收敛性.例例5(,)定定义义在在上上的的函函数数项项级级数数(几几何何级级数数)21,(12)nxxx1().|11nnxSxxx的的部部分分和和函
19、函数数为为当当时时,1()lim().1nnS xSxx1(12)(1,1)();1S xx所所以以几几何何级级数数在在收收敛敛于于|1,.x 当当时时 几几何何级级数数是是发发散散的的定义定义2()()nnSxux设设是是函函数数项项级级数数的的部部分分和和.()(),nSxDS x函函数数列列 若若在在数数集集 上上一一致致收收敛敛于于 则称则称()(),nuxDS x函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛于于函函数数().nuxD或或称称在在上上一一致致收收敛敛由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数 列来确定列来确定,所以得到的有关
20、函数项级数的定理所以得到的有关函数项级数的定理.定理定理 13.3 (一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则)函数项级数函数项级数()nux在数集在数集 D 上一致收敛的充要条件为上一致收敛的充要条件为:对任对任,存在正整数存在正整数 N,nN 时时给的正数给的正数，使当，使当 对一切对一切 xD,p一一切切正正整整数数都都有有和和|()()|,n pnSxSx 或或12|()()()|.nnn puxuxux 此定理中当此定理中当 p=1 时时,得到函数项级数一致收敛的一得到函数项级数一致收敛的一 个必要条件个必要条件.推论推论 (函数项级数一致收敛的必要条件函数项级数一致收敛的必要条件)函数
21、项级函数项级 数数()nuxD在在数数集集上上一一致致收收敛敛的的必必要条件是函数要条件是函数()nuxD列列 在在上一致收敛于零上一致收敛于零.()(),nuxDS x设设函函数数项项级级数数在在上上的的和和函函数数为为称称()()()nnRxS xSx().nux为为函函数数项项级级数数的的余余项项定理定理13.4 (余项法则余项法则)函数项级数函数项级数()nux在数集在数集 D 一致收一致收()S x敛敛于于的的充充要要条条件件是是limsup|()|limsup|()()|0.nnnnx Dx DRxS xSx0,(1)nnxa a a我我们们再再来来看看例例4 4中中的的级级数数若
22、若仅仅在在上讨论上讨论,则由则由,sup|()()|sup1nnxa axa axSxS xx 0()1nana0,(1,1)nnxa a可可得得级级数数在在上上一一致致收收敛敛.若若在在上讨论这个级数上讨论这个级数,则由则由(1,1)(1,1)sup|()()|sup1111nnnxxxnnSxS xnnx 1()1nnnnn 0(1,1)nnx知知道道级级数数在在内内不不一一致致收收敛敛.20(1)nnxx 0,1例例6 讨论函数项级数讨论函数项级数在在上一致上一致 收敛性收敛性.210()(1)(1)(1)nknnkSxxxxx 所以所以()lim()(1)0,1.nnS xSxxx ，
23、于是于是|()()|(1),0,1,nnS xSxxxx 由由1(1)(1)0nnnxxnxnx 解得最大值点解得最大值点 01nxn ,故故 0 x (1)0nS 01x 解解 当当时时,;当当时时0,1sup|()()|nxS xSx 因此因此20(1)nnxx 在在0,1上一致收敛上一致收敛.注注 当和函数容易求出时当和函数容易求出时,余项准则是比较好用的一种判别方法余项准则是比较好用的一种判别方法.1011nnnn 0n 1n 2n()1S xx ()()()111nnS xxx xy0.510.20.40.60.81O图图 13-5三、函数项级数的一致收敛判别法判别函数项级数的一致收
24、敛性除了根据定义、柯西判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西 准则或余项准则外准则或余项准则外,有些级数还可以根据级数一般有些级数还可以根据级数一般 项的某些特性来判别项的某些特性来判别.定理定理13.5 (魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法)(),nuxD定定义义在在数数集集上上nM设函数项级数设函数项级数为收为收 敛的正项级数，敛的正项级数，,xD若若对对一一切切有有|()|,1,2,(13)nnuxMn()nuxD则则函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛.证证,nM由由假假设设正正项项级级数数收收敛敛 根根据据数数项项级级数数的的柯柯,存在
25、某正整数存在某正整数N,使得当使得当 n N 西准则西准则,任给正数任给正数 及任何正整数及任何正整数 p,有有 11|.nn pnn pMMMM(13)xD又又由由式式对对一一切切有有11|()()|()|()|nn pnn puxuxuxux根据函数项级数一致收敛的柯西准则根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数级数()nux在在 D 上一致收敛上一致收敛.1.nn pMM 例例7 函数项级数函数项级数22sincos,nxnxnn(,)(,)x在在上上一一致致收收敛敛.因因为为对对一一切切有有 2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而而正正项项级级数数是是收收敛敛的的当级数当级
26、数(),nnuxMa b与与级级数数在在区区间间上成立关上成立关 nM,a b系式系式(13)时时,则称级数则称级数在区间在区间上优于级上优于级()nux()nnMux为为数数,或称或称的的优级数优级数.优级优级 数判别法也称为数判别法也称为M 判别法判别法.利用阿贝尔分部求和公式利用阿贝尔分部求和公式(第十二章第十二章3的引理的引理),可可 以得到与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛以得到与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛 的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.设有定义在区间设有定义在区间I上形如上形如1122()()()()()()nnux vxu x v x
27、u x vx的函数项级数的函数项级数.对级数对级数(14)有有:()()(14)nnux vx定理定理13.6(阿贝耳判别法阿贝耳判别法)设设 (i)();nuxI在在区区间间上上一一致致收收敛敛(ii),();nxI vx对对于于每每一一个个是是单单调调的的(iii)(),nvxIxI在在上上一一致致有有界界 即即对对一一切切和正整和正整数数 ,存在正数存在正数M,使得使得 n|()|,nvxM则级数则级数(14)在在 I 上一致收敛上一致收敛.12|()()()|nnn puxuxux 又由又由(ii),(iii)及阿贝耳引理及阿贝耳引理(第十二章第十二章3的引理的推的引理的推 论论)得到
28、得到 11|()()()()|nnn pn pux vxux vx由函数项级数一致收敛性的柯西准则由函数项级数一致收敛性的柯西准则,得级数得级数(14)在在 I 上一致收敛上一致收敛.1(|()|2|()|)3.nn pvxvxM 证证(i),0,NnN 由由任任给给存存在在某某正正数数使使得得当当及及,pxI任任何何正正整整数数对对一一切切有有定理定理13.7(狄利克雷判别法狄利克雷判别法)设设(i)()nux 的的部部分分和和数数列列1()()(1,2,)nnkkUxuxn在在 I 上一致有界上一致有界;(ii),();nxI vx对对于于每每一一个个是是单单调调的的(iii)()0(),
29、nIvxn在在上上则级数则级数(14)在在I上一致收敛上一致收敛.|()|.nUxM证证 由由(i),存在正数存在正数 M,对一切对一切x I,有有 因此当因此当 n,p 为任何正整数时为任何正整数时,12|()()()|()()|2.nnnpnpnuxuxuxUxUxM对任何一个对任何一个x I,再由再由(ii)及阿贝耳引理得到及阿贝耳引理得到 11|()()()()|nnn pn pux vxux vx 0,存在正数存在正数N,当当nN 时时,对对 再由再由(iii),对任给的对任给的 一切一切x I,有有|()|,nvx 所以所以12(|()|2|()|).nn pMvxvx11|()(
30、)()()|nnn pn pux vxux vx2(2)6.MM 于是由一致收敛性的柯西准则于是由一致收敛性的柯西准则,级数级数(14)在在I上一致上一致 收敛收敛.例例8 函数项级数函数项级数11(1)()nnnnxnn在在0,1上一致收敛上一致收敛.(1)(),()1nnnnxuxvxnn记记nu,于是于是在在0,1 上一致收敛，上一致收敛，()nvx在在0,1上单调增且一致有界上单调增且一致有界,由由 阿贝耳判别法就能得到结果阿贝耳判别法就能得到结果.cos(15)nanx,2(0)在在上上一一致致收收敛敛.证证 由第十二章由第十二章3(21)式式,在在,2-上有上有11sin()12|
31、cos|22sin2nknxkxx例例9 若数列若数列 单调且收敛于零单调且收敛于零,则级数则级数na1111,222sin2 sin22x cos,2nx 所所以以级级数数的的部部分分和和数数列列在在上上一一致有界致有界,于是令于是令()cos,(),nnnuxnx vxa一致收敛一致收敛.则由狄利克雷判别法可得级数则由狄利克雷判别法可得级数(15)在在 上上 ,2 注注 对于例对于例7中的级数中的级数(15),只要只要 单调且收敛于零单调且收敛于零,na闭区闭区间上一致收敛间上一致收敛.1()u t,a b例例10 设设在在上可积上可积,1()()d,1,2,xnnauxu ttn 11(
32、)nnux ,a b证明证明 函数项级数函数项级数在在上一致收敛上一致收敛.1()u t,a b0M 证证 因为因为在在上可积上可积,所以存在所以存在,使使 得得1|()|u xM,于是有于是有 21|()|()|d(),xauxu ttM xa 级数级数(15)就在不包含就在不包含 的任何的任何2(0,1,2,)kk 232()|()|()|d()d,2!xxaaxau xu ttM xatM 由数学归纳法容易得到由数学归纳法容易得到111|()|()|d()d!nxxnnaauxu ttMxatn 因为数项级数因为数项级数1()!nnbaMn 收敛收敛,所以根据优级数所以根据优级数 判别法知原级数在判别法知原级数在,a b上一致收敛上一致收敛.()().!nnxabaMMnn复习思考题 1.总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法(不局限于书上现成的判别法不局限于书上现成的判别法);判别不一致收敛通判别不一致收敛通常可以使用哪些方法呢？常可以使用哪些方法呢？2给出函数项级数在给出函数项级数在 D上不一致收敛的柯西准则上不一致收敛的柯西准则(即柯西收敛准则的否定形式即柯西收敛准则的否定形式).
