1、第2课时对数函数的图象和性质的应用关键能力关键能力合作学习合作学习类型一对数函数性质在实际问题中的应用类型一对数函数性质在实际问题中的应用(数学运算数学运算)【典例典例】科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(I(单单位：瓦位：瓦/平方米平方米)有关有关.在实际测量时，常用在实际测量时，常用L(L(单位：分贝单位：分贝)来表示声音强弱的来表示声音强弱的等级，它与声音的强度等级，它与声音的强度I I满足关系式：满足关系式：L=alg (aL=alg (a是常数是常数)，其中，其中I I0 0=1=11010-12-12瓦瓦/平方
2、米平方米.如风吹落叶沙沙声的强度如风吹落叶沙沙声的强度I=1I=11010-11-11瓦瓦/平方米，它的强弱等级平方米，它的强弱等级L=10L=10分贝分贝.0II(1)(1)已知生活中几种声音的强度如表：已知生活中几种声音的强度如表：声音来源声音来源声音大小声音大小风吹落叶风吹落叶沙沙声沙沙声轻声耳语轻声耳语很嘈杂很嘈杂的马路的马路强度强度I/(I/(瓦瓦/平平方米方米)1 11010-11-111 11010-10-101 11010-3-3强弱等级强弱等级L/L/分贝分贝1010m m9090求求a a和和m m的值的值.(2)(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过
3、为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过5050分贝，求分贝，求此时声音强度此时声音强度I I的最大值的最大值.【思路导引思路导引】(1)(1)代入表格中的已知数据求代入表格中的已知数据求a a和和m m的值的值.(2)(2)列出不等式，利用对数函数的单调性求范围列出不等式，利用对数函数的单调性求范围.【解析解析】(1)(1)将将I I0 0=1=11010-12-12，I=1I=11010-11-11代入代入L=aL=alg lg ，得得10=a10=alg =alg =alg 10=alg 10=a，即即a=10a=10，m=10m=10lg =10lg =10lg 100=
4、20.lg 100=20.(2)(2)由题意得由题意得L50L50，得，得10lg 5010lg 50，得得lg 5lg 5，即，即 10105 5，即即I10I105 51010-12-12=10=10-7-7，答：此时声音强度答：此时声音强度I I的最大值为的最大值为1010-7-7瓦瓦/平方米平方米.0II11121 101 1010121 101 1012I1 1012I1 1012I1 10【解题策略解题策略】关于对数性质的应用关于对数性质的应用首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决范围、最首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决范围、最值、变化趋势
5、等问题值、变化趋势等问题.【跟踪训练跟踪训练】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.研究发现，燕子的飞行速度可以表示研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数为函数v=5logv=5log2 2 ，单位是，单位是m/sm/s，其中，其中O O表示燕子的耗氧量的单位数表示燕子的耗氧量的单位数.记记v v1 1=25 m/s25 m/s时耗氧量为时耗氧量为O O1 1，v v2 2=5 m/s=5 m/s时耗氧量为时耗氧量为O O2 2，则，则O O1 1是是O O2 2的的_倍倍.O10【解析解析】v=5logv=5log2 2 ，当，当v v1 1=25 m/s=2
6、5 m/s时耗氧量为时耗氧量为O O1 1，则，则25=5log25=5log2 2 ，即，即 =2=25 5，即，即O O1 1=10=102 25 5，v v2 2=5 m/s=5 m/s时耗氧量为时耗氧量为O O2 2，5=5log5=5log2 2 ，即即 =2=2，所以，所以O O2 2=10=102 2，所以所以 =2=24 4=16=16，故，故O O1 1是是O O2 2的的1616倍倍.答案：答案：1616O101O101O102O102O1012OO类型二反函数类型二反函数(数学运算数学运算)【题组训练题组训练】1.1.已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x的反函数
7、为的反函数为y=g(x)y=g(x)，则，则g g 的值为的值为()A.-1A.-1B.1B.1C.12C.12D.2D.21()22.2.若若f(x)f(x)为为y=3y=3-x-x的反函数，则的反函数，则f(x-1)f(x-1)的图象大致是的图象大致是()3.3.若函数若函数g(x)g(x)是函数是函数f(x)=f(x)=，x-2x-2，11的反函数，则函数的反函数，则函数g(x)g(x)的定义的定义域为域为_._.【解析解析】1.1.选选A.A.因为由因为由y=f(x)=2y=f(x)=2x x，得，得x=logx=log2 2y y，所以原函数的反函数为所以原函数的反函数为g(x)=l
8、ogg(x)=log2 2x x，则则g =logg =log2 2 =-1.=-1.x1()21()2122.2.选选C.C.由题意，由题意，f(x)f(x)与与y=3y=3-x-x=互为反函数，互为反函数，即即f(x)=f(x)=，故，故f(x-1)=(x-1)f(x-1)=(x-1)，所以所以f(x-1)f(x-1)的图象就是由的图象就是由f(x)=f(x)=的图象向右平移一个单位得到的图象向右平移一个单位得到.3.3.函数函数f(x)=f(x)=，x-2x-2，11的值域为的值域为 ，因为函数因为函数g(x)g(x)是其反函数，所以函数是其反函数，所以函数g(x)g(x)的定义域为的定
9、义域为 .答案：答案：x1()313log x13log13log xx1()2142，142，142，【解题策略解题策略】互为反函数的函数的性质互为反函数的函数的性质(1)(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数同底数的指数函数与对数函数互为反函数.(2)(2)互为反函数的定义域与值域互换互为反函数的定义域与值域互换.(3)(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线互为反函数的两个函数的图象关于直线y=xy=x对称对称.【补偿训练补偿训练】函数函数y=ay=ax x(a0(a0且且a1)a1)的反函数的反函数过点过点(9(9，2)2)，则，则a=_.a=_.【解析解析】由函数由函数y=ay=
10、ax x(a0(a0，且，且a1)a1)的反的反函数的图象过点函数的图象过点(9(9，2)2)，可得，可得y=ay=ax x图象图象过点过点(2(2，9)9)，所以，所以a a2 2=9=9，又，又a0a0，所以，所以a=3.a=3.答案：答案：3 3类型三对数函数性质的综合应用类型三对数函数性质的综合应用(逻辑推理逻辑推理)角度角度1 1单调区间、值域单调区间、值域【典例典例】(2020(2020杭州高一检测杭州高一检测)函数函数y=(-xy=(-x2 2+5x-6)+5x-6)的单调增区间为的单调增区间为_，值域为，值域为_._.【思路导引思路导引】利用复合函数的单调性的符号法则利用复合函
11、数的单调性的符号法则“同增异减同增异减”求单调区间；求单调区间；先求内层函数的值域，再利用单调性求原函数的值域先求内层函数的值域，再利用单调性求原函数的值域.12log【解析解析】由由-x-x2 2+5x-60+5x-60得：得：x(2x(2，3)3)，由由y=y=为减函数，其中为减函数，其中t=-xt=-x2 2+5x-6+5x-6在在 上单调递减，故函数的单调增区上单调递减，故函数的单调增区间为间为 ，又由又由x(2x(2，3)3)时，时，t=-xt=-x2 2+5x-6 +5x-6 ，故故y=(-xy=(-x2 2+5x-6)2+5x-6)2，+).+).答案：答案：22，+)+)12l
12、og t53)2，53)2，1(04，12log53)2，【变式探究变式探究】将本例中函数的底数变为将本例中函数的底数变为2 2，试求该函数的单调增区间和值域，试求该函数的单调增区间和值域.【解析解析】由由-x-x2 2+5x-60+5x-60得：得：x(2x(2，3)3)，由由y=logy=log2 2t t为增函数，其中为增函数，其中t=-xt=-x2 2+5x-6+5x-6在在 上单调递增，故函数的单调增区上单调递增，故函数的单调增区间为间为 ，又由又由x(2x(2，3)3)时，时，t=-xt=-x2 2+5x-6 +5x-6 ，故故y=logy=log2 2(-x(-x2 2+5x-6
13、)(-+5x-6)(-，-2.-2.故该函数的值域为故该函数的值域为(-(-，-2.-2.5(22，5(22，1(04，角度角度2 2函数性质的综合应用函数性质的综合应用【典例典例】已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(10+x)-log(10+x)-loga a(10-x)(a0(10-x)(a0，且，且a1).a1).(1)(1)判断判断f(x)f(x)的奇偶性，并说明理由的奇偶性，并说明理由.(2)(2)若若f(x)0f(x)0，求，求x x的取值范围的取值范围.四步四步内容内容理解理解题意题意条件：函数的解析式条件：函数的解析式结论：结论：(1)(1)判断并证明奇偶性
14、判断并证明奇偶性(2)(2)解不等式解不等式思路思路探求探求(1)(1)奇偶性的定义奇偶性的定义奇偶性奇偶性(2)f(x)0(2)f(x)0logloga a(10+x)log(10+x)loga a(10-x)(10-x)分情况解不等式分情况解不等式【解题策略解题策略】解决综合性问题的关注点解决综合性问题的关注点(1)(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证明奇偶性、解不等式都要先求定增强定义域意识：无论是求单调区间、证明奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提义域，符合定义域是满足性质的前提.(2)(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化增
15、强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性工具就是对数函数的单调性.【题组训练题组训练】1.1.函数函数y=logy=log0.40.4(-x(-x2 2+3x+4)+3x+4)的值域是的值域是_._.2.(20202.(2020长春高一检测长春高一检测)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(x+3)-log(x+3)-loga a(3-x)(3-x)，a0a0且且a1.a1.(1)(1)判断并证明函数判断并证明函数f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性.(2)(2)若若a1a1，指出函数的单调性，并求函数，指出函数的单调性，并求函数f(
16、x)f(x)在区间在区间00，11上的最大值上的最大值.【解析解析】1.1.因为因为-x-x2 2+3x+4=+3x+4=所以有所以有0-x0-x2 2+3x+4 +3x+4 所以根据对数函数所以根据对数函数y=logy=log0.40.4x x的图象的图象(图略图略)即可得到：即可得到：loglog0.40.4(-x(-x2 2+3x+4)log+3x+4)log0.40.4 =-2 =-2，所以函数的值域为所以函数的值域为-2-2，+).+).答案：答案：-2-2，+)+)232525(x)244，25,42542.(1)2.(1)函数函数f(x)f(x)是奇函数，证明如下，是奇函数，证明
17、如下，由题意知，由题意知，解得解得-3x3-3x1a1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f(x)=logf(x)=loga a(x+3)-log(x+3)-loga a(3-(3-x)x)为增函数，则函数为增函数，则函数f(x)f(x)在区间在区间00，11上单调递增，故上单调递增，故f(x)f(x)maxmax=f(1)=log=f(1)=loga a2.2.x30,3x0,【补偿训练补偿训练】函数函数y=(xy=(x2 2-x-12)-x-12)的单调增区间是的单调增区间是_._.【解析解析】由由x x2 2-x-120-x-120得得x-3x4.
18、x4.令令g(x)=xg(x)=x2 2-x-12-x-12，则当，则当x-3x4x4时，时，g(x)g(x)单调递增单调递增.又又y=uy=u是减函数，故是减函数，故y=(xy=(x2 2-x-12)-x-12)在在(-(-，-3)-3)上单调递增上单调递增.答案：答案：(-(-，-3)-3)12log12log12log课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2x x，若函数，若函数g(x)g(x)是是f(x)f(x)的反函数，则的反函数，则f(g(2)=f(g(2)=()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B
19、.B.由函数由函数y=f(x)=logy=f(x)=log2 2x x，得，得x=2x=2y y，即即g(x)=2g(x)=2x x，所以，所以g(2)=2g(2)=22 2=4=4，则，则f(g(2)=f(4)=logf(g(2)=f(4)=log2 24=2.4=2.2.2.函数函数y=x+logy=x+log2 2x(x1)x(x1)的值域为的值域为()A.(1A.(1，+)+)B.(-B.(-，1)1)C.1C.1，+)+)D.-1D.-1，+)+)【解析解析】选选C.C.因为因为y=xy=x，y=logy=log2 2x x在在11，+)+)上单调递增，所以当上单调递增，所以当x1x
20、1时，时，x+logx+log2 2x1+logx1+log2 21=1.1=1.3.(3.(教材二次开发：综合运用改编教材二次开发：综合运用改编)函数函数y=-logy=-log3 3x x的反函数的反函数g(x)=_.g(x)=_.【解析解析】y=-logy=-log3 3x=x=，故，故g(x)=.g(x)=.答案：答案：13log xx1()3x1()34.4.函数函数f(x)=ln(2-x)f(x)=ln(2-x)的单调减区间为的单调减区间为_._.【解析解析】由由2-x02-x0，得，得x2.x2.又函数又函数y=2-xy=2-x在在x(-x(-，2)2)上单调递减，上单调递减，所以函数所以函数f(x)=ln(2-x)f(x)=ln(2-x)的单调减区间为的单调减区间为(-(-，2).2).答案：答案：(-(-，2)2)5.5.已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2 为奇函数，则实数为奇函数，则实数a a的值为的值为_._.【解析解析】由奇函数得由奇函数得f(x)=-f(-x)f(x)=-f(-x)，a a2 2=1=1，因为因为a-1a-1，所以，所以a=1.a=1.答案：答案：1 1ax1x22axax ax1xloglog1x1x 1xax，
