1、2 2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质第第4 4课时课时 2.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题些数学问题.1.1.经历探索经历探索y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象特征，会用配方法求其的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式对称轴、顶点坐标公式.1.1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=2(x(1)y=2(x3)3)2 2 5 5(2)y=(2)y=0.5(x+1)0.5(x+1)2 2(3)y=3(x+4)(3)y=3(x+4)
2、2 2+2+22.2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？移得到的？【解析解析】1.1.（1 1）开口：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=3,x=3,顶点坐标（顶点坐标（3 3，-5-5）（2 2）开口：向下，对称轴：直线）开口：向下，对称轴：直线x=-1,x=-1,顶点坐标（顶点坐标（-1-1，0 0）（3 3）开口：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=-4,x=-4,顶点坐标（顶点坐标（-4-4，2 2）2.2.（1 1）由）由y=2xy=2x2 2向右平移向右平移3 3个单位，再向下平移个单位，再向下
3、平移5 5个单位个单位.（2 2）由）由y=-0.5xy=-0.5x2 2向左平移向左平移1 1个单位个单位.（3 3）由）由y=3xy=3x2 2向左平移向左平移4 4个单位，再向上平移个单位，再向上平移2 2个单位个单位.我们知道我们知道,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象,通过平移抛物线通过平移抛物线y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象.那是怎样平移的呢？那是怎样平移的呢？y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5=3(x-1)=3(x-1)2 2+2+2只要将表达式右边进行只要将表达式右边进
4、行配方配方就可以知道了就可以知道了.配方后的表达式通常称为配方式或配方后的表达式通常称为配方式或顶点式顶点式cbxaxy22bca xxaa（）2222(222（）bbbca xxaaaa2224()24bacbaxaa224().24bacba xaa这个结果通常称为顶点坐标公式这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数二次函数y=ax+bx+cy=ax+bx+c的顶点式的顶点式【探究新知探究新知】因此因此,二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线.:.2bxa 它的对称轴是直线24,).24bacbaa它的顶点坐标是(224().24bacbya
5、 xaa结论结论 顶点坐标公式顶点坐标公式根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：21 y2x12x 13;22 y5x80 x319;13 y2 xx2;2（）4 y3 2x 1 2x.【跟踪训练跟踪训练】【解析解析】（1 1）对称轴为直线）对称轴为直线x=3,x=3,顶点坐标为（顶点坐标为（3 3，-5-5）.（2 2）对称轴为直线）对称轴为直线x=8,x=8,顶点坐标为（顶点坐标为（8 8，1 1）.（3 3）对称轴为直线）对称轴为直线x=1.25,x=1.25,顶点坐标为（顶点坐标为（1.251.25，-1.125-1.125）.
6、（4 4）对称轴为直线）对称轴为直线x=0.75,x=0.75,顶点坐标为（顶点坐标为（0.750.75，9.3759.375）.如图如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的按照图中的直角坐标系直角坐标系,左面的一条抛物线可以用左面的一条抛物线可以用y=x+x+10y=x+x+10表示表示,而且左、右两条抛物线关于而且左、右两条抛物线关于y y轴对称轴对称 钢缆的最低点到桥面的距离是多少？钢缆的最低点到桥面的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流你有哪些计算方法？与同伴进行交流.
7、y/m x/m 桥面桥面 -5 O10 5【例题例题】94009102229y(x40 x)104009(x40 x400)14009(x20)1400（1 1）将函数）将函数y=xy=x2 2+x+10+x+10配方配方,求得顶点坐标求得顶点坐标,从而获从而获得钢缆的最低点到桥面的距离得钢缆的最低点到桥面的距离;201.这条抛物线的顶点坐标是，y/my/m x/mx/m 桥面桥面 -5 0 5-5 0 51010由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.1m.【解析解析】方法一方法一9400910299yxx 1040010左边的钢缆的表达式为29x201.4
8、00:右边的钢缆的表达式为29yx201.400,20,1.因此 其顶点坐标为.402020m距离为两条钢缆最低点之间的,轴对称且左右两条钢缆关于yy/my/m x/mx/m 桥面桥面 -5 0 5-5 0 51010（2 2）299yxx 1040010左边的钢缆的表达式：24acb1.4a24,):24bacbaa由顶点坐标公式(得b20,2a.1,20是这条抛物线的顶点坐标,20,1.（2）同理 右边抛物线的顶点坐标为.402020m距离为两条钢缆最低点之间的（1 1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.1m.方法二方法二y/m x/m 桥面-5
9、0 510确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.2151.yx 22 y2x4x 1.23 y3x6x2.4 yx1 x2.5 y3 x3x9.【跟踪训练跟踪训练】【解析解析】（1 1）开口：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=1,x=1,顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，0 0）.（2 2）开口：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=1,x=1,顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，-3-3）.（3 3）开口：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=1,x=1,顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，-1-1）.（4 4）开口
10、：向上，对称轴：直线）开口：向上，对称轴：直线x=0.5,x=0.5,顶点坐标为（顶点坐标为（0.50.5，-2.25-2.25）.（5 5）开口：向下，对称轴：直线）开口：向下，对称轴：直线x=-6,x=-6,顶点坐标为（顶点坐标为（-6-6，2727）.1.1.（菏泽（菏泽中考）如图为抛物线中考）如图为抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象的图象,A,A,B,C B,C 为抛物线与坐标轴的交点，且为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1OA=OC=1，则下列关，则下列关系中正确的是（系中正确的是（）A.a+b=-1 B.a-b=-1 A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.
11、b2aC.b2a D.ac0 D.ac0 【解析解析】选选B.B.抛物线开口向上，抛物线开口向上，a a0,0,抛物线与抛物线与y y轴交于正半轴，轴交于正半轴，c c0 0，acac0 0，故，故D D错；错；OA=OC=1OA=OC=1，A A，C C两点的坐标分别为（两点的坐标分别为（-1-1，0 0），（），（0 0，1 1），），当当x=0 x=0时，时，y=1y=1，即，即c=1c=1；当；当x=-1x=-1时，时，y=0y=0，即，即a-b+c=0a-b+c=0，a-b=-c=-1a-b=-c=-1，故，故B B对；由图象可知对；由图象可知x=1x=1时，时，y y0 0，即，即
12、a+b+ca+b+c0 0，a+ba+b-1-1，故，故A A错；错；对称轴对称轴 ，b b2a2a，故，故C C错错.bx=-0(4)a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y,y随随x x的增大而减小；在的增大而减小；在对称轴右侧对称轴右侧,y,y随随 x x的增大而增大的增大而增大.a0.a00时时向上平移向上平移;当当 00)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随随x的增大而减小的增大而减小.在对在对称轴的右侧称轴的右侧,y随随x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随随x的增大而增大的增大而增大.在对称在对称轴的右侧轴的右侧,y随随x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：24(,)24bacbaa24(,)24bacbaaabx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行.冰心冰心
