1、4.3 定积分的应用(92)31 1、微元法、微元法引例引例 曲边梯形面积曲边梯形面积()dbaAf xx 4.3.1 定积分的几何应用定积分的几何应用曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 4.3 定积分的应用(92)4面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（2）计计算算iA 的的近近似似值值iiixfA )(iix （3）求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 4.3 定积分的应用(92)5（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinix
2、fA )(lim10 ()dbaf xx 提示提示lim()dAf xx ()d.baf xx ab xyo)(xfy xdxx dA面积元素面积元素4.3 定积分的应用(92)6（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf)(；4.3 定积分的应用(92)7微元法微元法的一般步骤：的一般步骤：4.3 定积分的应用(92)8这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法或或元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等4.3 定积分的应用(92)9xyo)(xfy
3、 abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积()dbaAf xx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积21()()dbaAfxfxx 2 2、直角坐标系情形、直角坐标系情形xxxx x 4.3 定积分的应用(92)10例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素2d()dAxxx 选选 为积分变量为积分变量x1,0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 4.3 定积分的应用(92)11例例 2 2 计计算算由由曲曲线线x
4、xy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3,2 x,0,2)1(x321d(6)dAxxxx,3,0)2(x232d(6)dAxxxx 2xy xxy63 4.3 定积分的应用(92)12于是所求面积于是所求面积21AAA 0322(6)dAxxxx 3230(6)dxxxx.12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x4.3 定积分的应用(92)13例例 3 3 计计算算由由
5、曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 y2d4d2yAyy42d18.AA xy22 4 xy4.3 定积分的应用(92)14设曲边梯形的曲边为参数方程：设曲边梯形的曲边为参数方程：(),()xtyt 则曲边梯形的面积则曲边梯形的面积21()()d.ttAttt 3 3、参数方程情形、参数方程情形4.3 定积分的应用(92)15例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总
6、面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积04daAy x 204sin d(cos)btat 2204sindabt t .ab 4.3 定积分的应用(92)16 设设由由曲曲线线)(r及及射射线线 、围围成成一一曲曲边边扇扇形形，求求其其面面积积这这里里，)(在在,上上连连续续，且且0)(xo d d 面积元素面积元素21d()d2A 曲边扇形的面积曲边扇形的面积21()d.2A 4、极坐标系情形、极坐标系情形)(r4.3 定积分的应用(92)17例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面
7、积=4倍第一象限部分倍第一象限部分面积面积14AA 42014cos2 d2Aa .2a xy 2cos22a 1A4.3 定积分的应用(92)18例例 6 6 求求心心形形线线)cos1(ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0(a.解解221d(1cos)d2Aa利用对称性知利用对称性知.232a d22012(1cos)d2Aa 220(12coscos)da 2sin41sin2232a 04.3 定积分的应用(92)19求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分
8、变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）4.3.3 小结与思考题小结与思考题14.3 定积分的应用(92)20思考题思考题4.3 定积分的应用(92)21思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS 20()dxSf xx 120()dxSxySxyf xx 00()d2()d xxf xxxyf xx 03()d2,xf xxxy 两边同时对两边同时对 求导求导x4.3 定积分的应用(92)22yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得2,yCx 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3,2(92C,292xy 所以，所求曲线为：所以，所求曲线为：.2,0,223
9、 xxy4.3 定积分的应用(92)23课堂练习题课堂练习题4.3 定积分的应用(92)24课堂练习题答案课堂练习题答案4.3 定积分的应用(92)25 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台5 5、旋转体的体积、旋转体的体积4.3 定积分的应用(92)26一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少
10、？取取积积分分变变量量为为x，,bax 2d()dVf xx xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为2()dbaVf xx )(xfy 4.3 定积分的应用(92)27yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx xo直线直线 方程为方程为OP4.3 定积分的应用(92)282ddrVxxh 圆锥体的体积圆锥体的体积20dhrVxxh 23203hrxh 21.3r h yrhPxo4.3 定积分的应用(92)29a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 32233daaVaxx 332.105a 4.3 定积分的应用(92)30 类似地，如果旋转
11、体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cd2()ddcVyy 4.3 定积分的应用(92)31解解220()daxVyxx 2220(1cos)(1cos)datatt 23230(13cos3coscos)datttt 235.a a 2a)(xy4.3 定积分的应用(92)322220()dayVxyy 1220()daxyy oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222(sin)sin dattat t 220(si
12、n)sin dattat t 2320(sin)sin dattt t 336.a 4.3 定积分的应用(92)33补充补充:2|()|dbyaVxf xx 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中202|()|dayVxf xx 202(sin)(1cos)d(sin)a ttata tt 23202(sin)(1cos)datttt.633a 4.3 定积分的应用(92)34解解取取积积分分变变量量为为y,4,0 y体积元素为体积元素为22ddVPMQMy 22(34)(34)dyyy 12 4d,y y 40124dVy y 64.3dyPQM4.3 定积分的应用(92)35xo
13、ab6 6、平行截面面积为已知的立体体积、平行截面面积为已知的立体体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数d()d,VA xx()d.baVA xx 立体体积立体体积4.3 定积分的应用(92)36RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截
14、面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积221()tan d2RRVRxx .tan323 R 4.3 定积分的应用(92)37解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积22dRRVhRxx .212hR 4.3 定积分的应用(92)38旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕
15、非轴直线旋转一周4.3.3 4.3.3 小结与思考题小结与思考题1 14.3 定积分的应用(92)39思考题思考题 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.4.3 定积分的应用(92)40思考题解答思考题解答xyo 14yxy交点交点),1,4(立体体积立体体积21dyVxy 2116dyy 116y.16 1 y4.3 定积分的应用(92)41课堂练习题课堂练习题4.3 定积分的应用(92)424.3 定积分的应用(92)43课堂练习题答案课堂练习题答案4.3 定积分的应用(92)44xoy0MA nMB 1M2M1 n
16、M设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.7 7、平面曲线的弧长、平面曲线的弧长4.3 定积分的应用(92)45 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 以对应小切线段的长代替
17、小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22(d)(d)xy 21dyx 弧长元素弧长元素2d1dsyx 弧长弧长21d.basyx 4.3 定积分的应用(92)46解解,21xy 122d1()1d,sxdxx x 所求弧长为所求弧长为1dbasx x.)1()1(322323ab ab4.3 定积分的应用(92)47解解nnxny1sin ,sinnx 21dbasyx 01sindnxxn ntx 01sindt n t 220sincos2sincos d2222ttttnt 0sincosd22ttnt .4n 4.3 定积分的应用(92)48设曲线弧
18、为设曲线弧为,)()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在,上上具具有有连连续续导导数数.22d(d)(d)sxy222 ()()(d)ttt 22()()dttt 弧长弧长:22()()d.sttt 4.3 定积分的应用(92)49解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20(t根据对称性根据对称性14ss 22204dxyt 2043 sin cos datt t .6a 4.3 定积分的应用(92)50证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1s22101dsyx 22201cosdax x 22021cosd,ax x 4.3 定积分的应用(9
19、2)51 22220d,sxyt 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 222202sin1cosdstatt 22021cosdax x ,1s 故原结论成立故原结论成立.22021cosdat t 4.3 定积分的应用(92)52设曲线弧为设曲线弧为)()(rr sin)(cos)(ryrx)(22d(d)(d)sxy22()()d,rr 弧长弧长:22()()d.srr 4.3 定积分的应用(92)53)0(a解解22()()dsrr 313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a3.2a 6423220sinsincosd333aa 230sind3a 0()3 4.3 定积分
20、的应用(92)54解解,ar 22()()dsrr 22 14ln(214).2aa22220daa 2201da 4.3 定积分的应用(92)55平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 4.3.3 4.3.3 小结与思考题小结与思考题1 14.3 定积分的应用(92)56思考题思考题 闭闭区区间间,ba上上的的连连续续曲曲线线)(xfy 是是否否一一定定可可求求长长？4.3 定积分的应用(92)57思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还
21、不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长4.3 定积分的应用(92)58课堂练习题课堂练习题4.3 定积分的应用(92)59课堂练习题答案课堂练习题答案4.3 定积分的应用(92)604.3.2 定积分的物理应用定积分的物理应用1 1、变力做功、变力做功4.3 定积分的应用(92)614.3 定积分的应用(92)62解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 功元素功元素2dd,kqwrr 所求功为所求功为2dbakqwrr barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处2dakqwrr arkq1.akq 4
22、.3 定积分的应用(92)63点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5,0 x54.3 定积分的应用(92)64xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为29.8 3 dx 功元素为功元素为d88.2d,wxx 5088.2dwxx 50222.88 x3462(千焦千焦)4.3 定积分的应用(92)65解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为110()dwf xx .2k 4.3 定积分的应用(92)660()()d,hnnwwhf xx
23、 20d.2hnkhwkx x 依题意知，每次锤击所作的功相等，所以依题意知，每次锤击所作的功相等，所以1nwwn 22kh.2kn4.3 定积分的应用(92)67,nh .1 nn第第 次击入的深度为次击入的深度为n4.3 定积分的应用(92)682 2、水压力、水压力4.3 定积分的应用(92)69解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，,0Rx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为222d.Rxx,xp 4.3 定积分的应用(92)70小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为22d2dPx
24、 Rxx 端端面面上上所所受受的的压压力力2202dRPx Rxx 22220d()RRxRx RxR032232 .323R 4.3 定积分的应用(92)71解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元2()d,axx d(2)2()dPxaaxx 02(2)()daPxa axx .373a )(2xay 4.3 定积分的应用(92)723 3、引力、引力4.3 定积分的应用(92)732l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为d,y rydyy 4
25、.3 定积分的应用(92)74小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力元素引力元素22dd,myFkay 水平方向的分力元素水平方向的分力元素3222dd,()xamyFkay 232222d()llxamyFkay ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yF4.3 定积分的应用(92)75利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）4.3.3 4.3.3 小结与思考题小结与思考题2 24.3 定积分的应用(9
26、2)76思考题思考题 一个球被完全浸没水中，问该球面所受一个球被完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？有何关系？4.3 定积分的应用(92)77思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上该球面所受的总压力方向向上,其大小为其大小为它在水中所受到的浮力。它在水中所受到的浮力。在水中该球的下半球面所受的压力大于在水中该球的下半球面所受的压力大于上半球面，其差值为该球排开水的重量，即上半球面，其差值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力。球的体积，
27、也就是它在水中受到的浮力。因此该球面所受的总压力与球浸没的深因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关。度无关。4.3 定积分的应用(92)78课堂练习题课堂练习题4.3 定积分的应用(92)79课堂练习题答案课堂练习题答案4.3 定积分的应用(92)80实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌值来描述这个班的成绩的概貌.nyyyyn 21算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平
28、均值.)(xf,ba讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.4 4、函数的平均值、函数的平均值4.3 定积分的应用(92)81（1）分割：）分割：把把区区间间,ba分分成成n等等分分,1210bxxxxxann 每个小区间的长度每个小区间的长度;nabx 设各分点处的函数值为设各分点处的函数值为nyyyy,210函数函数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为)(xf,ba;1210nyyyyn 每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：4.3 定积分的应用(92)82,lim1210nyyyyynn 函数函数 在区间在
29、区间 上的上的平均值平均值为为)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab1()dbayf xxba 几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度yab)()()(fab 4.3 定积分的应用(92)83解解设电阻为，设电阻为，R则电路中的电压为则电路中的电压为iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm 一个周期区间一个周期区间,2,0 平均功率平均功率222201sindmpIRt t 4.3 定积分的应用(92)84222201sindmpIRt t 2220sind()2mIRtt 2
30、20(1cos2)d()4mIRtt 220sin242mIRtt 224mIR22RIm.2mmUI)(RIUmm 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压峰值的乘积等于电流、电压峰值的乘积(即即功率峰值功率峰值)之半之半4.3 定积分的应用(92)85 通常交流电器上标明的功率就是平均功通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种特定率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为的平均值，习惯上称为有效值有效值5 5、均方根、均方根4.3 定积分的应用(92)86固固定定值值为为I的的恒恒定定电电流流在在R上
31、上消消耗耗的的功功率率为为RI2,电流电流)(ti在在R上消耗的功率为上消耗的功率为Rti)(2,它它在在,0T上上的的平平均均功功率率为为201()d,Tit R tT 2201()d,TI Rit R tT 按定义有按定义有2201()dTIittT 201()d.TIittT 有效值计算公式的推导有效值计算公式的推导即即4.3 定积分的应用(92)87正正弦弦交交流流电电tItim sin)(的的有有效效值值222201sindmIIt t 2220d()2mIsintt 220sin242mItt .21mI 21()d.bafxxba 结论：正弦交流电的有效值等于电流峰值的结论：正弦
32、交流电的有效值等于电流峰值的 214.3 定积分的应用(92)88函数的平均值函数的平均值函数的有效值或均方根函数的有效值或均方根1()d;bayf xxba 21()d.bafxxba （理解平均功率、电流的有效值等概念）（理解平均功率、电流的有效值等概念）4.3.3 4.3.3 小结与思考题小结与思考题2 24.3 定积分的应用(92)89思考题思考题4.3 定积分的应用(92)90思考题解答思考题解答棒的平均密度为密度函数在棒的平均密度为密度函数在 上的平均值上的平均值.,0a201()d0abxcxa .312cba 4.3 定积分的应用(92)91课堂练习题课堂练习题4.3 定积分的应用(92)92课堂练习题答案课堂练习题答案
