1、1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,自主学习 新知突破,1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 2会判断四种命题的真假 3利用命题真假的等价性解决简单问题,观察下列四个命题： (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若四边形是圆内接四边形，则该四边形的对角互补； (3)若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形； (4)若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 提示 命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件； 对于
2、命题(1)和(3)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定； 对于命题(1)和(4)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,四种命题,结论,条件,互逆命题,逆命题,若q，则p,条件的否定,结论的,否定,否命题,若p，则q,结论的否定,条件的否定,逆否命题,若q，,则p,四种命题之间的相互关系,1“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别 两者具有不同的含义，具体区分如下： 前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题,2判断四种命题间关系的
3、方法 (1)利用命题定义； (2)可以从名称上缺少的“逆、否”两字来判断 如“逆命题”与“逆否命题”，不同在“否”字，是互否关系，“逆命题”与“否命题”，不同在“逆、否”两字，是互为逆否命题关系,四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.,四种命题的真假性,真,真,假,真,真,假,假,假,四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系,1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是
4、正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”,解析： 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数 答案： B,2若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的( ) A原命题 B逆命题 C否命题 D逆否命题 解析： 设p为原命题，则q为否命题，r是逆否命题；所以r是p的逆命题的否命题 答案： C,3命题“若ab0，则a0”与命题“若a0，则ab0”是_命题 解析： 两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念 答案： 互逆,4写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 (1)若直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于该平面； (2)若x10，
5、则x0.,解析： (1)逆命题：若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的两条相交直线，为真命题； 否命题：若直线不垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线不垂直于平面，为真命题； 逆否命题：若直线不垂直于平面，则这条直线不垂直于平面内的两条相交直线，为真命题 (2)逆命题：若x0，则x10，为假命题； 否命题：若x10，则x0，为假命题； 逆否命题：若x0，则x10，为真命题.,合作探究 课堂互动,命题的四种形式,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题 (1)若q1，则方程x22xq0有实根； (2)若ab0，则a0; (3)若xA，则x(AB),思路点拨,(1)逆命题：若方程x22xq0
6、有实根，则q1，假命题 否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，假命题 逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1，假命题 (2)逆命题：若a0，则ab0，真命题 否命题：若ab0，则a0，真命题 逆否命题：若a0，则ab0，假命题,(3)逆命题：若x(AB)，则xA.真命题； 否命题：若xA，则x(AB)真命题； 逆否命题：若x(AB)，则xA.假命题,(1)逆命题的写法 给出一个命题，将它作为原命题并交换其条件和结论，即得原命题的逆命题 (2)写原命题的否命题的步骤 找出原命题的条件和结论； 对原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论； 所得命题即为原命题的否命题,(3)逆否命
7、题的两种写法 先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题； 先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题,1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题 (1)若ab，则a2b2； (2)在ABC中，若ab，则AB. 解析： (1)逆命题：若a2b2，则ab. 否命题为：若ab，则a2b2. 逆否命题为：若a2b2，则ab. (2)逆命题：在ABC中，若AB，则ab， 否命题：在ABC中，若ab，则AB， 逆否命题：在ABC中，若AB，则ab.,四种命题真假的判断,设命题为“如果m0，则关于x的方程x2xm0有实根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假 思路
8、点拨 利用四个命题的关系给出其他三种形式，对每一个命题判断即可,四种命题的真假判断的两种方法 (1)利用命题真假判断的方法判断 (2)由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成,解析： 原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题； 原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”假命题； 原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0” 方程无实根，,答案： B,逆否命题的应用,证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)
9、，则ab0.,证明：证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR， 若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)” 4分 若ab0，则ab，ba， 6分 又f(x)在(，)上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a). 10分 f(a)f(b)f(a)f(b)， 即逆否命题为真命题. 11分 原命题为真命题. 12分,证法二：假设ab0，则ab，ba， 2分 又f(x)在(，)上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a). 6分 f(a)f(b)f(a)f(b). 9分 这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾. 11分 因此假设不成立，故ab0.
10、 12分,由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题,3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假,解析： 方法一：原命题的逆否命题： 已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集判断其真假如下： 抛物线yx2(2a1)xa22的图象开口向上， 判别式(2a1)24(a22)4a7. 因为a1，所以4a70. 即抛物线yx2(2a1)xa22的图象与x轴无交点， 所
11、以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集 故原命题的逆否命题为真,写出命题“若x2y20，则 x，y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 【错解】 逆命题：若x，y全为0，则x2y20，是真命题； 否命题：若x2y20，则x，y全不为0，是假命题； 逆否命题：若x，y全不为0，则x2y20，是真命题,【错因】 错解主要是对原命题中结论的否定错误对“x，y全为0”的否定，应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0” 【正解】 逆命题：若x，y全为0，则x2y20，是真命题； 否命题：若x2y20，则x，y不全为0，是真命题； 逆否命题：若x，y不全为0，则x2y20，是真命题.,高效测评 知能提升,谢谢观看！,
