1、 2020年年1月浙江省普通高月浙江省普通高中中学业水平考试学业水平考试 数学数学仿真模拟试仿真模拟试题题C 解析版解析版 选择题部分选择题部分 一、选择题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求 的，不选、多选、错选均不得分） 1已知全集 1,2,3,4,5,6U ，集合 1,2,4,6A ， 4,5B ，则() UA B= A4 B5 C3,5 D3,4,5 1【答案】D 【解析】由已知得=3 5 UA ，所以()=3 4 5 UA B，故选D 2函数 ln(1) ( ) x f x x 的定义域为 A（1，+） B（1，0） C（0
2、，+） D（1，0）（0，+） 2【答案】D 【解析】由题可知 10 0 x x ， 1 0 x x ， 1,00,x ，故选D. 3已知向量 ( 1,2),( , 1)m ab ，若ab（R），则m= A2 B 1 2 C 1 2 D2 3【答案】C 【解析】向量 ( 1,2),( , 1)m ab ，ab（R）， 12 ，1m ， 1 2 m ，m 1 2 ，故选C 4在等比数列 n a中， 135 2,12aaa，则 7 a= A8 B10 C14 D16 4【答案】D 【解析】设等比数列的公比为q，由 35 12aa，可得 24 11 12a qa q，又 1 2a ，所以 42 60
3、qq，化简得 22 (3)(2)0qq，所以 2 2q ， 所以 6 71 aa q 3 2216.故选D. 5函数 2 2 ( ) 1 x f x x 的图象大致是 A B C D 5【答案】A 【解析】函数f（x） 2 2 1 x x ，当x(01)，时，f（x）0，故D错误； x1时，f（x）0恒成立，故B和C错误 由排除法得正确选项是A 6已知两条平行直线3 460xy 和3 40xya 之间的距离等于2，则实数a的值为 A1 B4 C4或16 D16 6【答案】C 【解析】两条平行线之间的距离为 22 66 2 5 34 aa d ，故4a或16a ，故选C 7若实数 , x y满足
4、约束条件 220, 10, 0. xy x y 则 2zxy 的最小值为 A0 B2 C4 D6 7【答案】A 【解析】作出实数x，y满足约束条件 22 0 1 0 0 xy x y 表示的平面区域，如图所示 由 2zxy 可得 11 22 yxz，则 1 2 z表示直线 11 22 yxz在y轴上的截距，纵截距越大，z越 小作直线 20xy ，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B时， 1 2 z最大，z最小由 220 1 xy x 可得 1 (1, ) 2 B，此时0z ，故选A 8若 7 sincos 5 ，则sin cos A 24 25 B 12 25 C 24 25 D 24 2
5、5 8【答案】B 【解析】由 7 sincos 5 两边平方得 22 49 sin2sincoscos 25 ，即 49 12sincos 25 ， 解得 12 sincos 25 .故选B 9已知椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab 分别过点 (2,0)A 和 (0, 1)B ，则该椭圆的焦距为 A3 B2 3 C5 D2 5 9【答案】B 【解析】由题意可得2a，1b，所以a24，b21，所以4 13c ，从而22 3c .故选B. 10已知两条不同的直线a，b和一个平面，则使得“ab”成立的一个必要条件是 Aa且b Ba且b Ca且b Da，b与所成角相同 10【答案】D 【解析
6、】若ab，当a时b或b，故A错误； 若ab，当a时b或b，故B错误； 若ab，a且b不一定成立，故C错误； 若ab，则a，b与所成角相同，故D正确. 故选D 11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若 4 A ， 5a ，2b，则ABC的面 积等于 A 1 2 或 3 2 B 1 2 C 2 2 D 3 2 11【答案】D 【解析】利用余弦定理得到： 2222 2cos ,522 ,3abcbcAccc 或1c （舍去）， 13 sin 22 ABC SbcA .故选D. 12在正三棱锥PABC中，4,3PAAB，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为 A 1 4 B 15 4 C
7、 1 8 D 63 8 12【答案】B 【解析】连接P与底面正ABC的中心O，因为PABC是正三棱锥，所以PO平面ABC，所以 PAO为侧棱PA与底面ABC所成角， 因为4,3PAAB，所以 23 3 1 32 cos 44 AO PAO PA ，所以 15 sin 4 PAO，故选 B 13过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点作倾斜角为30的直线l，若l与y轴的交点坐标为 (0, )b，则该双曲线的离心率为 A 6 2 B 5 2 C 2 D3 13【答案】A 【解析】由题意设直线l的方程为 3 () 3 yxc，令0x，得 3 3 yc，所以 3 3 cb，所以
8、222222 32acbbbb，所以 2 2 6 1 2 b e a .故选A. 14设函数 2 1 ( )lg|1f xx x ，则使得 5 (log)0fm 成立的m的取值范围是 A 1 ,5 5 B 1 (0, 5,) 5 C 1 (, 5,) 5 D 1 (,0 ,5) 5 14【答案】B 【解析】由函数 ( )f x的解析式可得：函数( )f x的定义域为 |0,x x 又 ( )()f xfx ，则函数 ( )f x为偶函数，当 0x时， 2 1 ( )lg1f xx x ，易得函数( )f x在(0,)上为增函数，又 (1)0f ，所以 5 (log)0fm 等价于 5 (|lo
9、g|)(1)fmf，即 5 log1m ，即 1 (0, 5,) 5 m，故 选B 15一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a的正方形及正方形内一 段圆弧组成，则这个几何体的表面积是 A 2 (3) 4 a B 2 (6) 2 a C 2 (6) 4 a D 2 3 (6) 4 a 15【答案】C 【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉 1 8 个球而形成的，所以它的表面 积为 2 2222 1 334(6) 4 () 84 a Saaaa.故选C. 16等差数列 n a中，公差0d ，当1()nn N时，下列关系式正确的是 A 112nn a
10、 aa a B 112nn a aa a C 112nn a aa a D 112nn a aa a 16【答案】B 【解析】设 1 1 n aand，因为 2 111111n aaa andanad ， 22 21111 11 n a aadandanadnd，所以 2 112 1 nn aaa and ， 又因为 1,0nd ，所以 112 0 nn a aa a ，所以 112nn a aa a .故选B 17若函数 ( ) |2|21|f xxxax 没有零点，则实数a的取值范围是 A 3 3 2 a B31a C 3 3 2 aa 或 D13aa 或 17【答案】A 【解析】因为函数
11、( ) |2|21|f xxxax没有零点，所以方程|2|21|xxax无实根，即 函数 |2 |21g xxx与 h xax的图象无交点，如图所示，则 h x的斜率a应满足 3 3 2 a ，故选A. 18若正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点M，N在AC上运动，MNa，四面体 11 MBC N的 体积为V，则 A 3 2 6 Va B 3 2 6 Va C 3 2 12 Va D 3 2 12 Va 18【答案】C 【解析】正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点M，N在AC上运动，MNa，如图所示： 点 1 B到平面 1 MNC的距离 11 1 2 dB D 2
12、2 a，且MNa，所以 1 2 1 11 22 MNC SMN CCa ，所以 三棱锥 11 BC MN的体积 11 BC NM V 1 23 11122 332212 MNC a Sdaa ，利用等体积法得 1 111 3 2 12 MB C NBC NM VVa .故选C 非选择题部分非选择题部分 二、填空题二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 19已知| | 2a ，| | 4b ，a与b的夹角为120，则 a b_，| |ab_. 19【答案】4；2 3 【解析】由题得2 4 cos1204 a b； 2 1 ()4 162 2 4 ()2 3 2 abab . 故答案为4
13、；2 3. 20若 22 loglog1mn，那么mn的最小值是_. 20【答案】2 2 【解析】 22 loglog1mn，即 2 log1mn ，2mn， 由基本不等式可得22 2mnmn，当且仅当 2mn 时，等号成立， 故mn的最小值是2 2，故答案为2 2. 21已知0a且1a ，设函数 2,3 ( ) 2log,3 a xx f x x x 的最大值为1，则实数a的取值范围是_. 21【答案】 1 ,1) 3 【解析】由题意知，函数 yf x在,3上单调递增，且 31f， 由于函数 2,3 2log,3 a xx f x x x 的最大值为1， 则函数 2logaf xx在3,上单
14、调递减且2log 31 a ， 则有 01 2log 31 a a ，即 01 log 31 a a ，解得 1 1 3 a， 因此，实数a的取值范围是 1 ,1) 3 ，故答案为 1 ,1) 3 . 22在数列 n a中，已知 1 1a ， 22 11nnnn n aSn aS * (2,)nnN，记 2 n n a b n ， n T为数列 n b的 前n项和，则 2021 T_. 22【答案】 2021 1011 【解析】由 22* 11( 2,) nnnn n aSn aSnn N得 22 11nnnn n aSSn a ， 22 1 1 nn nan a ， 1 11 nn aan
15、nnn ， 令 n n a c n ，则 1 1 nn n cc n ， 1 1 n n cn cn ，由累乘法得 1 2 1 n c cn ， 2 1 n c n ， 2 1 n a nn ， 2 1 n n a n ， 2 211 2 (1)1 n n a b nn nnn ， 2021 1111112021 2(1)2(1) 2232021202220221011 T. 三、解答题三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23（本小题满分10分） 已知函数 2 ( )3sin22cos1f xxx （）求 5 () 12 f的值； （）求( )f x的最小正周期及单调增区间 23（本小题满
16、分10分） 【解析】（）因为 2 ( )3sin22cos1f xxx， 所以 2 555 ()3sin(2)2cos () 1 121212 f 55 3sin(2)cos(2) 1212 （3分） 55 3sincos 66 0.（5分） （） 2 ( )3sin22cos13sin2cos 2sin 6 2(2)f xxxxxx ，（7分） 所以( )f x的最小正周期 2 2 T .（8分） 令 2 22 +() 262 kxkkZ，解得 +() 36 kxkkZ， 所以( )f x的单调增区间为 , +() 36 kkkZ.（10分） 24（本小题满分10分） 已知抛物线C： 2 2
17、(0)xpy p的焦点为F，抛物线C上存在一点 ( ,2)E t 到焦点F的距离等于3. （）求抛物线C的方程； （）过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设 线段AB的中点为Q，求sin QMN 的最小值. 24（本小题满分10分） 【解析】（）由题意得抛物线的准线方程为 2 p y ， 点 ( ,2)E t 到焦点F的距离等于3，23 2 p ，解得2p ， 抛物线C的方程为 2 4xy.（3分） （）由题知直线l的斜率存在， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线l的方程为1ykx， 由 2 1 4 ykx xy ，消去y得 2 440
18、xky，（5分） 所以 12 4xxk， 12 4x x ， 所以 2 1212 242yyk xxk， 所以AB的中点Q的坐标为 2 2 ,21kk ，（7分） 因为 2 12 44AByypk， 所以圆Q的半径为 2 22rk.（8分） 在等腰QMN中， 2 22 21111 sin11 222222 Q y k QMN rkk ，当且仅当0k 时取等号. 所以sin QMN 的最小值为 1 2 .（10分） 25（本小题满分11分） 已知关于x的函数 2 ( )2f xxkx，xR. （）若函数( )f x是R上的偶函数，求实数k的值； （）若函数( )(21) x g xf，当 2(0
19、,x 时，( )0g x 恒成立，求实数k的取值范围； （）若函数 2 ( )( ) |1| 2h xf xx，且函数( )h x在(0,2)上有两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 12 11 4 xx . 25（本小题满分11分） 【解析】（）( )f x是R上的偶函数， fxf x， 即 22 22xkxxkx对xR都成立，0k .（2分） （）当 2(0,x 时， 0g x 恒成立，即 2 212120 xx k恒成立. 令21 x u ，则 0,3u， 2 212120 xx k在 2(0,x 时恒成立等价于 2 ku u 在0,3u时恒成立，（4分） 又 227 3 33 u u ， 7 3 k， k的取值范围是 7 ,) 3 .（6分） （）不妨设 12 02xx， 因为 2 1,01, 21,12, kxx h x xkxx 所以 f x在0,1上至多有一个零点， 若 12 12xx，则 12 0xx，而 12 1 0 2 xx ，矛盾. 因此 12 012xx ；（8分） 由 1 0h x，得 1 1 k x ，由 2 0h x，得 2 22 210xkx ， 2 22 1 1 210xx x ，即 2 1212 2xxxx， 2 12 11 24x xx .（11分）
