1、第八章第八章 分离变数法分离变数法分离变数法是解定解问题的一种常用方法，分离变数法是解定解问题的一种常用方法，适合各种常见有界区域上的边值问题适合各种常见有界区域上的边值问题基本方法：基本方法：通过变数分离，把偏微分方程通过变数分离，把偏微分方程分解成几个常微分方程，将定解问题转化分解成几个常微分方程，将定解问题转化为常微分方程的本征值问题。为常微分方程的本征值问题。理论基础：理论基础：迭加原理迭加原理线性定解问题满足迭加原理线性定解问题满足迭加原理泛定方程和定解条件都是线性的定解问题泛定方程和定解条件都是线性的定解问题称为线性定解问题。称为线性定解问题。设设iu满足线性偏微分方程：满足线性偏
2、微分方程：），（nifLuii21 迭加原理迭加原理cxbxxaLniiinjijiij 1122，其中其中是二阶线性微分算子是二阶线性微分算子和线性定解条件：和线性定解条件：Siun）（也必满足该偏微分方程和定解条件。也必满足该偏微分方程和定解条件。则它们的线性组合则它们的线性组合 niiiucu181 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法齐次方程齐次方程02112 ucxbxxaniiinjijiij）（，例例1 两端固定弦的自由振动两端固定弦的自由振动02 xxttuau）（lx 000 xu0 lxu）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0第一步：分离变量第一步：分离变量
3、设设）（）（），（tTxXtxu 代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：分离变量分离变量）（）（）（）（tTxXatTxX 2XXTaT 2 0 XX 02 TaT 00）（）（tTX0）（）（tTlX02 ）（）（）（）（tTxXatTxX00）（）（tTX0）（）（tTlX00 ）（X0）（lX第二步：解本征值问题第二步：解本征值问题0 XX 00 ）（X0）（lX？满足边界条件的常微分方程有非零解满足边界条件的常微分方程有非零解（1）0 022 dxXdX00 ）（X0）（lX02 c01 lc01 c0）（xX应排除应排除0 21cxcxX ）（通解：通解：（2）0 02 X
4、kX021 cc00 ）（X0）（lX02 c01 c0）（xX也应排除也应排除0 设设2k kxkxececxX 21）（通解：通解：021 klklecec解得：解得：0 XX 00 ）（X0）（lX（3）0 02 XkX01 c00 ）（X0）（lX02 klsinc01 c设设2k kxsinckxcoscxX21 ）（通解：通解：021 klsincklcosc解得：解得：0 XX 00 ）（X0）（lXX（x）要有非零解）要有非零解02 c0 klsin nkl 2222lnk ），（321 n故只有当故只有当222lnn ），（321 n0 XX 00 ）（X0）（lX才有非零解
5、：才有非零解：xlnsincxXn 2）（222lnn 称为本征值称为本征值xlnsinxXn ）（称为本征函数称为本征函数），（321 n第三步：解另一个（时间变量）常微分方程第三步：解另一个（时间变量）常微分方程 得到定解问题的分离变量形式特解得到定解问题的分离变量形式特解02 TaT 222lnn tlansinBtlancosAtTnnn ）（通解：通解：xlnsintlansinBtlancosAtxunnn ）（），（），（321 n），（txun称为本征振动称为本征振动每一个每一个n，对应一种驻波；，对应一种驻波；n=1为基波。为基波。第四步：将所有特解第四步：将所有特解 un（
6、x，t）迭加迭加xlnsintlansinBtlancosAnnn ）（1 1nntxutxu），（），（第五步：由初始条件确定迭加系数第五步：由初始条件确定迭加系数An、Bn）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0 1nnxlxnsinA）（1nnxlxnsinlanB）（1nnxlxnsinA）（1nnxlxnsinlanB）（将将）（x）（x 和和展为傅里叶级数展为傅里叶级数比较系数比较系数 lndlnsinlA02 ）（lndlnsinanB02 ）（xlnsintlansinBtlancosAtxunnn ）（），（1例例2 两端自由杆的自由纵振动两端自由杆的自由纵振动02
7、 xxttuau）（lx 000 xxu0 lxxu）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0）（lx 0设设）（）（），（tTxXtxu 解解代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：分离变量分离变量）（）（）（）（tTxXatTxX 2XXTaT 2 0 XX 02 TaT 00 ）（）（tTX0 ）（）（tTlX02 ）（）（）（）（tTxXatTxX00 ）（）（tTX0 ）（）（tTlX00 ）（X0 ）（lX解本征值问题：解本征值问题：0 XX 00 ）（X0 ）（lX？满足边界条件的常微分方程有非零解满足边界条件的常微分方程有非零解（1）0 022 dxXdX00
8、）（X0 ）（lX00 D任意常数 0C0CxX）（xDCxX00 ）（通解：通解：0 XX 00 ）（X0 ）（lX（2）0 02 XkX021 kCC）（00 ）（X0 ）（lX02 c01 c0）（xX应排除应排除0 设设2k kxkxeCeCxX 21）（通解：通解：021 keCeCklkl）（解得：解得：0 XX 00 ）（X0 ）（lXkxkxkeCkeCxX 21）（3）0 02 XkX02 C00 ）（X0 ）（lX设设2k kxsinCkxcosCxX21 ）（通解：通解：01 klsinCX（x）要有非零解）要有非零解01 C0 klsin nkl 2222lnk ），（
9、321 n0 XX 00 ）（X0 ）（lX）（）（kxcosCkxsinCkxX21 222lnn ），（3210 n本征值：本征值：）（）（xlncosxXn 本征函数：本征函数：），（3210 n02 TaT 02222 TalnT 0 T通解：通解：tBAtT000 ）（）（）（）（tlansinBtlancosAtTnnn ），（321 ntBAtxu000 ），（），（321 n）（）（），（lxncostlansinBtlancosAtxunnn 10nntxutxutxu），（），（），（xlncostlansinBtlancosAnnn ）（1 tBA00）（），（xtxut
10、 0）（），（xtxutt 0 10nnxlxncosAA）（10nnxlxncoslanBB）（将将）（x）（x 和和展为傅里叶级数展为傅里叶级数比较系数比较系数 lndlncoslA02 ）（lndlncosanB02 ）（10nnxlxncosAA）（10nnxlxncoslanBB）（ldlA001 ）（ldlB001 ）（tBAtxu00），（1nnnlxncoslatnsinBlatncosA ）（例例3 杆的导热。设初始杆的一端温度为零，杆的导热。设初始杆的一端温度为零，另一端为另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保。杆上温度梯度均匀，一端保持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
11、持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度设设）（）（），（tTxXtxu 解解代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：02 xxtuau）（lx 000 xu0 lxxulxutxut00 ），（）（lx 0 cka 2分离变量分离变量）（）（）（）（tTxXatTxX 2XXTaT 2 0 XX 02 TaT 00）（）（tTX0 ）（）（tTlX02 ）（）（）（）（tTxXatTxX00）（）（tTX0 ）（）（tTlX00 ）（X0 ）（lX解本征值问题：解本征值问题：0 XX 00 ）（X0 ）（lX？满足边界条件的常微分方程有非零解满足边界条件的常微分方程有非零解（1）0 0
12、22 dxXdX00 ）（X0 ）（lX00 C00 D0）（xXxDCxX00 ）（通解：通解：应排除应排除0 0 XX 00 ）（X0 ）（lX（2）0 02 XkX021 CC00 ）（X0 ）（lX02 c01 c0）（xX应排除应排除0 设设2k kxkxeCeCxX 21）（通解：通解：021 keCeCklkl）（解得：解得：kxkxkeCkeCxX 21）（0 XX 00 ）（X0 ）（lX（3）0 02 XkX01 C00 ）（X0 ）（lX设设2k kxsinCkxcosCxX21 ）（通解：通解：02 klcosCX（x）要有非零解）要有非零解02 C0 klcos）（2
13、1 nkl2222412lnk ）（），（3210 n）（）（kxcosCkxsinCkxX21 0 XX 00 ）（X0 ）（lX222412lnn ）（），（3210 n本征值：本征值：xlnsinxXn212）（）（本征函数：本征函数：），（3210 n02 TaT 04122222 TalnT）（dtalnTdT2222412）（通解：通解：tlannneCtT2222412）（）（），（3210 nxlnsineCtxuntlann21204122222 ）（），（）（00212nnxlulxnsinC）（tlannneCtT2222412）（）（），（3210 nlxutxut00
14、 ），（）（lx 0将右边展为傅里叶级数比较系数：将右边展为傅里叶级数比较系数：lndlnsinlulC002122 ）（041222021212182222ntlannxlnsinenutxu ）（）（）（），（）（lndlnsinlulC002122 ）（0212212212128220llncoslnlnsinnu ）（）（）（）（212128220 ）（）（nsinnu2201281）（）（nunnucosunnusinnnudusinu112 例例4 稳定温度场的分布稳定温度场的分布（p191）0 yyxxuuyxab00uU0u0u横截面为矩形的散热片，一边（横截面为矩形的散热片，
15、一边（y=b）处于高温热源（温度处于高温热源（温度U）；其它三边）；其它三边处于冷却介质（温度处于冷却介质（温度u0）。求截面上）。求截面上温度分布。温度分布。）（ax 000uux 0uuax 00uuy Uuby ）（by 0令令），（），（yxvuyxu 0定解问题变为：定解问题变为：解解：0 yyxxvv）（ax 000 xv0 axv00 yv0uUvby ）（by 0设设）（）（），（yYxXyxv 代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：0 YXYX00）（）（yYX0）（）（yYaX00 ）（）（YxX0uUbYxX ）（）（YYXX0 XX 00 ）（X0）（aX0
16、YY（1）0 022 dxXdX00 ）（X0）（aX00 C00 D0）（xXxDCxX00 ）（通解：通解：应排除应排除0 解本征值问题：解本征值问题：0 XX 00 ）（X0）（aX（2）0 02 XkX021 CC00 ）（X0）（aX02 c01 c0）（xX应排除应排除0 设设2k kxkxeCeCxX 21）（通解：通解：021 kakaeCeC解得：解得：0 XX 00 ）（X0）（aX（3）0 02 XkX01 C00 ）（X0）（aX设设2k kxsinCkxcosCxX21 ）（通解：通解：02 kasinCX（x）要有非零解）要有非零解02 C0 kasin nka 2
17、222ank ），（321 n0 XX 00 ）（X0）（aX222ann ），（321 n本征值：本征值：xansinxXn ）（本征函数：本征函数：），（321 n0222 YanY 0 YY yannyannneBeAyY ）（通解：通解：）（）（）（）（），（xansineBeAyYxXyxvyannyannnnn ），（321 n 1nyannyannxansineBeAyxv）（）（），（1nyannyannxansineBeAyxv）（）（），（01 nnnxansinBA）（）（10nbannbannuUxansineBeA）（）（将边界条件将边界条件00 ）（）（YxX0uU
18、bYxX ）（）（代入代入将右边展为傅里叶正弦级数比较系数：将右边展为傅里叶正弦级数比较系数：0 nnBA dansinuUaeBeAabannbann）（）（002 aandansinnauUa002）（）（）（）（）（ncosnuU 120 nuU）（040 偶数n奇数n nnBA0偶数n奇数n）（）（banbaneenuU 04 奇数）（）（），（nbanbanyanyanxansineeeenuUyxv 140 001212121214kxaksinbakshyakshkuU ）（）（）（）（），（），（yxvuyxu 0 0001212121214kxaksinbakshyakshk
19、uUu ）（）（）（）（例例5 均匀静电场中放入圆柱形导体。求空均匀静电场中放入圆柱形导体。求空 间的电场。间的电场。+yx+0E解解 设电场设电场 沿沿x方向方向0E电势电势u（x，y）0 u泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：0 au cosEu0 01122222 uuu）（a 自然周期性边界条件：自然周期性边界条件：），（），（uu 2用平面极坐标用平面极坐标），（01122222 uuu）（）（），（Ru设设022222 ddRddRdRd22222 ddRddRdRd 222221 ddddRRdRdR 02 RRR 0 ），（），（uu 2）（）（2解本征值问题：解本征值问题
20、：）（）（20 ）（）（20 （1）0 022 dxd）（）（2 BABA ）（20 BA （2）0 mmBeAe ）（通解：通解：BA ）（通解：通解：设设2m 02 m）（）（）（222 mmBeAe mmBeAe 显然对任何显然对任何m，自然周期性边界条件，自然周期性边界条件均不满足：均不满足：应排除应排除0 （3）0 ）（）（20 设设2m 02 m msinBmcosA ）（通解：通解：）（）（）（222 mBmcosA msinBmcosA 自然周期性边界条件要求：自然周期性边界条件要求：必须取：必须取：，321m2mm ），（3210 m本征值：本征值：msinBmcosAm ）
21、（本征函数：本征函数：），（3210 n02 RRR 2m （代入）（代入）02222 RmddRdRd （欧拉型常微分方程）（欧拉型常微分方程）作变量代换作变量代换te lnt dtdRddtdtdRddR 1 ）（）（dtdRdddtdRdtdRdddRd 111222 222211dtRddtdR 0222 RmdtRd0222 RmdtRd0 m022 dtRd lnDCtDCR0000 ）（lnt 0 mmmmmmtmmtmmDCeDeCR ）（）（），（mmmRu 0 lnDC00 1mmmmmsinBmcosA）（1mmmmmsinDmcosC）（由边界条件确定系数由边界条件确定
22、系数0 au alnDCu00 1mmmmmsinBmcosAa）（01 mmmmmsinDmcosCa）（alnDC00 mmmAaC2 mmmBaD2 000 alnDC0 mmmmCaAa0 mmmmDaBa msinBmcosAaalnDummmmmm ）（）（），（120 cosEu0 msinBmcosAaalnDummmmmm ）（）（），（120 mln mm 1 cosEmsinBmcosAummmm01 ），（0 mB0 mA01EA ）（1 m cosaEcosEalnDu2000 ）（），（cosaEuE）（2201 sinaEuE）（2082 非齐次波动方程和输运方程
23、非齐次波动方程和输运方程一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法用分离变数法解波动方程、输运方程时所得用分离变数法解波动方程、输运方程时所得到的解通常是傅里叶级数形式，这就提示我到的解通常是傅里叶级数形式，这就提示我们求解时可直接将解写成傅里叶级数形式：们求解时可直接将解写成傅里叶级数形式：nnnxXtTtxu）（）（），（傅里叶级数的基本函数族傅里叶级数的基本函数族 由齐次边界由齐次边界条件确定：条件确定：）（xXn00 xu0 lxulxnsinxXn ）（），（321 nlxncosxXn ）（），（3210 n0 lxxu00 xu00 xxu0 lxxu0 lxu00 xxulxnsinxX
24、n212）（）（），（3210 nlxncosxXn212）（）（），（3210 n可以应用傅里叶级数法解非齐次方程可以应用傅里叶级数法解非齐次方程例例1 两端固定弦的受迫振动。设单位长度两端固定弦的受迫振动。设单位长度），（txfuauxxtt 2）（lx 000 xu0 lxu）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0），（），（txFtxf 受横向力受横向力F（x，t），力密度），力密度设设 1nnlxnsintTtxu）（），（1nnttlxnsinTu 12nnxxlxnsinlnTu ）（），（）（txflxnsinTlanTnnn 12222 将非齐次项展为傅里叶正弦级数
25、：将非齐次项展为傅里叶正弦级数：1nnlxnsintftxf）（），（lndxlxnsintxfltf02），（）（代入泛定方程：代入泛定方程：），（txfuauxxtt 2比较系数得：比较系数得：）（）（）（）（tftTlantTnnn 2）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0由初始条件由初始条件）（）（xlxnsinTnn 10）（）（xlxnsinTnn 10 1nnlxnsinx ）（lndxlxnsinxl02 ）（1nnlxnsinx ）（lndxlxnsinxl02 ）（）（0nT）（0nT ）（）（）（）（tftTlantTnnn 2 nnT ）（0nnT ）（0可
26、以应用拉普拉斯变换解以上常微分方程可以应用拉普拉斯变换解以上常微分方程nnTT nnff ）（）（002nnnnTpTTpT nnnnnfTlanpTp 22222 nnnnfpTlanp ）（2222222222211）（）（）（lanpflanplanppTnnnn 22222211）（）（）（lanpflanplanppTnnnn ）（）（）（tlansinanlftlansinanltlancosnnn 1nnlxnsintTtxu）（），（）（）（）（tlansinanltlancostTnnn dltansinfanltn 0）（）（）（）（）（），（lxnsintlansinan
27、ltlancostxunnn 1）（）（）（lxnsindltansinfanlntn 10 lndxlxnsinxl02 ）（lndxlxnsinxl02 ）（lndxlxnsinxflf02 ），（）（解二解二 应用迭加原理应用迭加原理），（），（），（txwtxvtxu xlnsintlansinBtlancosAtxvnnn ）（），（102 xxttvav00 xv0 lxv）（），（xtxvt 0）（），（xtxvtt 000 xw0 lxw），（txfwawxxtt 200 ttxw），（00 tttxw），（lndxlxnsinxlA02 ）（lndxlxnsinxanB02
28、）（设设 1nnlxnsintTtxw）（），（1nnttlxnsinTw 12nnxxlxnsinlnTw ）（），（）（txflxnsinTlanTnnn 12222 将非齐次项展为傅里叶正弦级数：将非齐次项展为傅里叶正弦级数：1nnlxnsintftxf）（），（lndxlxnsintxfltf02），（）（代入泛定方程：代入泛定方程：），（txfwawxxtt 2比较系数得：比较系数得：）（）（）（）（tftTlantTnnn 2 00 ttxw），（00 tttxw），（由初始条件由初始条件001 nnlxnsinT）（001 nnlxnsinT）（00 ）（nT00 ）（nT应用拉
29、普拉斯变换解常微分方程应用拉普拉斯变换解常微分方程nnTT nnff ）（）（002nnnnTpTTpT nnnfTlanTp 22222 nnfTlanp ）（22222 221）（lanpfTnn ）（）（）（）（tftTlantTnnn 2 00 ）（nT00 ）（nT）（tlansinanlfn 221）（lanpfTnn ）（tlansinanlfn 10ntnlxnsindltansinfanltxw ）（）（），（dltansinfanltTtnn 0）（）（）（lndxlxnsinxflf02 ），（）（），（），（），（txwtxvtxu ）（）（）（），（lxnsintla
30、nsinBtlancosAtxunnn 1）（）（）（lxnsindltansinfanlntn 10 lndxlxnsinxlA02 ）（lndxlxnsinxanB02 ）（lndxlxnsinxflf02 ），（）（例例2 杆的受迫纵向振动杆的受迫纵向振动tsinlxcosAuauxxtt 2）（lx 000 xxu0 lxxu）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0tsinlxcosAtxf ），（设力密度设力密度设设 0nnlxncostTtxu）（），（0nnttlxncosTu 02nnxxlxncoslnTu ）（tsinlxcosAlxncosTlanTnnn 02
31、222）（右边已是傅里叶余弦级数，比较系数：右边已是傅里叶余弦级数，比较系数：代入泛定方程：代入泛定方程：tsinlxcosAuauxxtt 202 ）（）（）（tTlantTnn）（1 ntsinAtTlatT ）（）（1222100 T）（），（xtxut 0）（），（xtxutt 0由初始条件由初始条件）（）（xlxncosTnn 00）（）（xlxncosTnn 00 0nnlxncosx ）（lndxlxncosxl02 ）（0nnlxncosx ）（lndxlxncosxl02 ）（ldxxl001）（ldxxl001）（）（00T）（0nT）（00T ）（0nT 解常微分方程解常
32、微分方程00 ）（tT000 ）（T000 ）（TttT000 ）（tsinATlaT 12221110 ）（T110 ）（T应用拉普拉斯变换解以上常微分方程应用拉普拉斯变换解以上常微分方程11TT 22 ptsin）（）（0011121TpTTpT 1112 pTp2212221112 pATlapTp112212222 ppATlap）（2212212222111）（）（）（laplapplappAT ）（）（）（tlasinaltlacostlasinaltsinA 11 dltasinsinaAltTt 01）（）（）（）（tlasinaltlacos 11 ）（）（tlasinalt
33、lacos 11 dltasinsinaAltTt 01）（）（dltasinsint 0）（dlasinlatcoslacoslatsinsint 0 tsinlatlasinla 22221 ttdlasinsinlatcosdlacossinlatsin00 ）（）（tlasinaltlacos 11 tsinlatlasinlaaAltT 222211）（02 ）（）（）（tTlantTnn）（1 nnnT ）（0nnT ）（0应用拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换nnTT ）（）（002nnnnTpTTpT nnnpTp 2022222 nnnnTlanpTp nnnpTlanp ）（22
34、22222221）（）（lanplanppTnnn ）（）（tlansinanltlancosnn ）（）（）（tlansinanltlancostTnnn ）（1 n 100nnnlxncostlansinanltlancosttxu ），（lxcostsinlatlasinlaaAl 22221），（），（），（txwtxvtxu 若用迭加若用迭加法法02 xxttvav00 xxv0 lxxv）（），（xtxvt 0）（），（xtxvtt 000 xxw0 lxxwtsinlxcosAwawxxtt 200 ttxw），（00 tttxw），（），（txv），（txw二、冲量定理法（齐次
35、化原理）二、冲量定理法（齐次化原理）1、齐次化原理、齐次化原理设设）；，（trv满足齐次方程的定解问题满足齐次方程的定解问题则非齐次方程的定解问题则非齐次方程的定解问题的解为：的解为：tdtrvtru0 ）；，（），（02 vavtt），（tRr30 tv），（rfvtt ），（trfuautt 2），（03 tRr00 ttu00 tu证明证明 ttdtrvtu0 ）；，（）；，（）；，（ttrvdtrvtt 0 dtrvtt）；，（00 tv0000 dtrvuttt）；，（00000 ttdtrvu ）；，（先证明先证明 u 满足齐次初始条件满足齐次初始条件 ttttttvdatrfdv
36、uau0022 ），（txxtttrfdvav02），（）（），（trf）（02 vavtt再证明再证明 u 满足非齐次方程满足非齐次方程）；，（）；，（ttrvdtrvutttttt 0），（）；，（trfdtrvttt 0），（rfvtt 2、物理思想（冲量定理法）、物理思想（冲量定理法），（txfuauxxtt 2）（0 t00 ttu00 tu将方程右边持续作用的非齐次项看作是许多相继将方程右边持续作用的非齐次项看作是许多相继发生的瞬时作用的迭加发生的瞬时作用的迭加 0 dtxftxf）（），（），（该瞬时作用力引起的振动为该瞬时作用力引起的振动为），（）（txu dt 后瞬时作用力为
37、零后瞬时作用力为零单位质量上的瞬时作用力单位质量上的瞬时作用力）（），（txf），（d 在在时间内：时间内：dttxfuuttdtt）（），（）（）（0），（）（txu 满足定解问题：满足定解问题：dxfudtt），（）（0 dtu）（dxfudtt），（）（02 xxttuau）（）（0 dtu）（令令 dtxutxv），（）；，（）（）；，（txv满足定解问题：满足定解问题：02 xxttvav0 tv），（xfvtt u（x，t）的定解问题就等于一系列瞬时作用产的定解问题就等于一系列瞬时作用产生的生的 的迭加。的迭加。）；，（txv tdtxvtxu0 ）；，（），（3、应用范围和条件、
38、应用范围和条件（1）可应用于求解非齐次波动方程和）可应用于求解非齐次波动方程和 非齐次输运方程。非齐次输运方程。02 xxtvav）（t），（xfvt ），（txfuauxxt 2）（0 t00 tu tdtxvtxu0 ）；，（），（2）对边界条件没有特别限制，可以是第）对边界条件没有特别限制，可以是第 一、二、三类边界条件。一、二、三类边界条件。（3）初始条件必须是齐次（零值）初始条件必须是齐次（零值），（txfuauxxt 2）（0 t00 tu），（txfuauxxtt 2）（0 t00 ttu00 tu如果初始条件是非齐次（非零值），可应如果初始条件是非齐次（非零值），可应用迭加原理
39、将用迭加原理将u（x，t）分为两项：）分为两项：），（），（），（）（）（txutxutxu21 0121 xxttuau）（）（）（0 t）（）（xutt 01）（）（xut 01），（）（）（txfuauxxtt 222）（0 t002 ttu）（002 tu）（），（trfuauxxtt 2）（xut 0）（xutt 0分离变数法分离变数法冲量定理法冲量定理法），（），（），（）（）（txutxutxu21 例例1 求解求解tsinlxcosAuauxxtt 200 xxu0 lxxu00 ttxu），（00 tttxu），（02 xxttvav00 xxv0 tv sinlxcosAv
40、tt 0 lxxv解解先求解先求解设设 0nnlxncostTtxv ）；（）；，（0nnttlxncosT 02nnxxlxncoslnT ）（002222 nnnlxncosTlanT ）（比较系数：比较系数：代入泛定方程：代入泛定方程：02 xxttvav02 ）；（）（）；（tTlantTnn）（0 n00 ）；（tT常微分方程的解为：常微分方程的解为：tBAtT）（）（）；（000ltansinBltancosAtTnnn）（）（）（）（）；（tBAtxv）（）（）；，（00）（）（）（）（）（lxncosltansinBltancosAnnn 1由初始条件：由初始条件：0 tv01
41、0 nnlxncosAA ）（）（sinlxcosAvtt sinlxcosAlxncosBlanBnn 10）（）（010 nnlxncosAA ）（）（sinlxcosAlxncosBlanBnn 10）（）（比较系数：比较系数：00）（B00）（A0）（nA0）（nB）（1 n sinalAB）（1lxcosltasinsinalAtxv ）（）；，（tdtxvtxu0 ）；，（），（tdltasinsinlxcosaAl0 ）（tdtxvtxu0 ）；，（），（lxcostsinlalatsinlaaAl 22221lxcosltasinsinalAtxv ）（）；，（例例2 求解求解
42、tsinAuauxxt 200 xu0 lxxu00 ttxu），（解解先求解先求解02 xxtvav00 xv0 lxxv sinAvt 设设 0212nnlxnsintTtxv ）（）；（）；，（0212nnttlxnsinT ）（0222212212nnxxlxnsinlnT ）（）（）（021221202222 nnnlxnsinTlanT ）（）（）（比较系数：比较系数：代入泛定方程：代入泛定方程：02 xxtvav02122222 ）；（）（）（）；（tTlantTnn常微分方程的解为：常微分方程的解为：）（）（）（）；（tlannneCtT2222212lxnsineCtxvnt
43、lann21202122222 ）（）；，（）（）（）（sinAvt 由初始条件：由初始条件：sinAlxnsinCnn 2120）（将右边展为傅里叶正弦级数，将右边展为傅里叶正弦级数，Cn即展开系数即展开系数 lndxlxnsinsinAlC02122）（dxlxnsinlsinAl 02122）（）（124 nsinAlxnsinensinAtxvntlan21212402122222 ）（）（）；，（）（）（）（tdtxvtxu0 ）；，（），（tlannelxnsinnA22222121212124）（）（）（）（tlandsine02122222 ）（）（tdtxvtxu0 ）；，（
44、），（tlannelxnsinnA22222121212124）（）（）（）（tlandsine02122222 ）（）（2444412121212124 ）（）（）（）（lanlxnsinnAn tlanetcostsinlan22222122222212）（）（）（）（83 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理原则：利用迭加原理令：原则：利用迭加原理令：wvu 先找先找 v 使它满足非齐次边界条件，再使它满足非齐次边界条件，再求求 w 满足齐次边界条件的定解问题。满足齐次边界条件的定解问题。关键：如何确定合适的关键：如何确定合适的 v？一、一般方法：一、一般方法：1、第一类非齐次边界条
45、件、第一类非齐次边界条件02 xxttuau）（tux 0）（tulx ）（xut 0）（xutt 0（1）设：设：）（）（），（tBxtAtxv 代入边界条件得：代入边界条件得：）（）（ttB ）（）（）（ttBltA 解得：解得：）（）（ttB ltttA）（）（）（令：令：），（），（），（txwtxvtxu （2）（）（）（）（txltttv （3）将（将（2）、（）、（3）代入（）代入（1），可以得到），可以得到w（x，t）的定解问题：的定解问题：02 ）（）（xxxxttttwvawv0 xxv）（）（）（txlttvtt 02 ）（）（xxxxttttwvawv）（）（）（txl
46、ttwawxxtt 2000 xxvtw）（0 lxlxvtw）（）（）（）（）（）（00000 xlxvxwtt）（）（）（）（）（00000 xlxvxwtttt2、第二类非齐次边界条件、第二类非齐次边界条件02 xxttuau）（tuxx 0）（tulxx ）（xut 0）（xutt 0（1）令：令：），（），（），（txwtxvtxu （2）设：设：xtBxtAtxv）（）（），（2代入边界条件得：代入边界条件得：）（）（）（ttBtA 02）（）（）（ttBltA 2解得：解得：）（）（ttB ltttA2）（）（）（xtxltttv）（）（）（）（22（3）将（将（2）、（）、（3
47、）代入（）代入（1），可以得到），可以得到w（x，t）的定解问题：的定解问题：02 ）（）（xxxxttttwvawvlttvxx）（）（xtxlttvtt）（）（）（22）（）（）（）（laxtxlttwawxxtt2222000 xxxxvtw）（0 lxxlxxvtw）（xxlxvxwtt）（）（）（）（）（0200200 xxlxvxwtttt）（）（）（）（）（0200200 ）（）（）（）（laxtxlttwawxxtt2222例例 弦的一端弦的一端(x=0)固定固定,另一端另一端(x=l)受迫受迫作谐振动作谐振动 ,弦的初始位移和初弦的初始位移和初始速度均为零。求弦的振动。始速度
48、均为零。求弦的振动。tsinA 解解 定解问题为定解问题为02 xxttuau00 xutsinAulx 00 tu00 ttu令：令：），（），（），（txwtxvtxu ）（）（）（）（txltttv xtsinlA）（w（x，t）满足定解问题：）满足定解问题：xtsinlAwawxxtt）（22 00 xw0 lxw00 twxlAwtt 0能否有更好的方法？能否有更好的方法？关键怎样选关键怎样选v（x，t）？）？取取v（x，t）为满足原泛定方程和边为满足原泛定方程和边界条件的一个特解，则能使界条件的一个特解，则能使w（x，t）既既满足原泛定方程又满足齐次边界条件。满足原泛定方程又满足齐
49、次边界条件。二、特殊处理方法二、特殊处理方法设设tsinxXtxv）（），（代入泛定方程：代入泛定方程：022 tsinXatsinX 02 XaX）（代入边界条件：代入边界条件：00 ）（XAlX）（000 tsinXvx）（tsinAtsinlXvlx ）（解常微分方程：解常微分方程：02 XaX）（00 ）（XAlX）（）（）（）（xasinDxacosCxX ）（）（）（xasinDxacosCxX 00 ）（X0 CAlX）（AlasinD）（）（alsinAD tsinxasinalsinAtxv ）（）（），（02 xxttuau00 xutsinAulx 00 tu00 ttu
50、将将），（），（），（txwtxvtxu 代入原定解问题代入原定解问题得到得到w（x，t）的定解问题的定解问题022 ）（xxttxxttvavwaw0000 xxxvuw0 lxlxlxvuw0000 tttvuw）（）（xasinalsinAvuwtttttt 00002 xxttwaw00 xw00 tw）（）（xasinalsinAwtt 00 lxw用分离变数法求解可得：用分离变数法求解可得：0nnnxlnsintlansinBtlancosAtxw ）（），（00 tw由初始条件：由初始条件：00 nnxlnsinA 0 nA）（）（xasinalsinAwtt 0）（）（）（xa
