1、第三章 平板介质光波导理论引言3.1 光波的电磁场理论3.2 光在平板介质波导中的传输特性光在平板介质波导中的传输特性引言引言 从理论上说，平板介质光波导是一种最简单的光波导形式，从理论上说，平板介质光波导是一种最简单的光波导形式，可以运用电磁场的基本理论，将平板介质波导处理为边界可以运用电磁场的基本理论，将平板介质波导处理为边界条件，从而得到数学上简单、物理上容易理解的基本光波条件，从而得到数学上简单、物理上容易理解的基本光波导的有关方程。一旦熟悉了这种介质光波导的一般方法，导的有关方程。一旦熟悉了这种介质光波导的一般方法，就不难从数学上深入认识圆形光波导（如光纤）和其它形就不难从数学上深入
2、认识圆形光波导（如光纤）和其它形状的光波导状的光波导 分析介质波导的一般方法是根据介质波导的边界条件求解分析介质波导的一般方法是根据介质波导的边界条件求解麦克斯韦方程，得出有关光场传播模式的表示式；麦克斯韦方程，得出有关光场传播模式的表示式；传播模式可以分为偶阶的和奇阶的横电波（传播模式可以分为偶阶的和奇阶的横电波（TE TE）和横磁）和横磁波波 (TM)(TM)；由传播模式的本征方程或特征方程得出与模有关的传播常由传播模式的本征方程或特征方程得出与模有关的传播常数。然后求出传输模的截止条件、相位延迟等与波导有关数。然后求出传输模的截止条件、相位延迟等与波导有关的参数，的参数，分析平板介质波导
3、的实际意义在于，许多半导体光电子器分析平板介质波导的实际意义在于，许多半导体光电子器件和集成光学是以平板介质波导作为工作基础的。如，异件和集成光学是以平板介质波导作为工作基础的。如，异质结半导体激光器和发光二极管正是利用异质结所形成的质结半导体激光器和发光二极管正是利用异质结所形成的光波导效应将光场限制在有源区内并使其在输出方向上传光波导效应将光场限制在有源区内并使其在输出方向上传播。播。3.1 光波的电磁场理论 一、基本的电磁场理论一、基本的电磁场理论 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组tBEtDJH D0 B(3,1 1a)(3.1-1b)(3.1-1c)(3.1-1d)设介质是均匀且各向同性的
4、，且假设在低场强下不足以设介质是均匀且各向同性的，且假设在低场强下不足以产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在的色散效应，而认为的色散效应，而认为 和和 与光波的频率无关。与光波的频率无关。EDHB(3.1-3a)(3.1-3b)EJ(3.1-4)在非铁磁性的半导体中，在可见与红外波段范围内，可以认在非铁磁性的半导体中，在可见与红外波段范围内，可以认为相对导磁率为相对导磁率 r r=1 1。同时，电磁波在时间上是交变的，。同时，电磁波在时间上是交变的，在交变电磁场下，可以认为电阻率为无穷大，因而可忽略在交变电磁场下，可以认为电阻率为无穷
5、大，因而可忽略传导电流密度传导电流密度J J。基于上述简化的假设，麦克斯韦方程组。基于上述简化的假设，麦克斯韦方程组可简化为可简化为tHtBE0tEtDJHr00 E0 H(3,1 5a)(3.1-5b)(3.1-5c)(3.1-5d)二、光学常数与电学常数之间的关系22002tEEr22002tHHr2222222zyx(3.1-8)(3.1-9)(3.1-10)E和H的方程可以分别分解为三个独立的标量波动方程22002tEExrx22002tEEyry22002tEEzrz(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)最简单的情况是设光波的电矢量沿y方向偏振、沿z方向传播的平面电磁波，即
6、有 E=Ey、Ex=Ez=0。Ey在z方向以角频率=2发生周期变化，因为只在z方向有空间变化，故有/x=/y=0 由式(3.1 13)可以得到以z和t作为函数的Ey：tj(z)E(z,t)Eyyexp(3.1-15)将式(3.1 15)代入式(3.1 13)得到yryEzE200222002r令yyEzE222(3.1-16)(3.1-17)(3.1-18)故波动方程(3.1 13)的解为tjzjBzjA(z,t)Eyexpexpexp(3.1-19)如果只取正z方向传播的波，则其三角函数的行波表达式为ztA(z,t)Eycos(3.1-20)将式将式(3.1(3.1 20)20)代入式代入式
7、(3.1(3.1 5b)5b)可求出与可求出与E Ey y相垂直的磁场相垂直的磁场分量分量H Hx x为为 ztAtzHrzcos,0(3.1-21)根据波传播的概念，式(3.1 20)和式(3.1 21)还可分别表示为 ztAtzHrz2cos,0ztA(z,t)Ey2cos(3.1-22)(3.1-23)式中为光波波长，2(t z/)称为位相。由于式(3.1 22)和式(3.1 23)中不出现坐标x与y，因此与z轴相垂直的某一平面内各点具有相同的位相。等相位面为平面的光波称为平面光波。将式(3.1 20)与式(3.1 22)比较，就可得出传播常数为2(3.1-24)3.2 光在平板介质波导
8、中的传输特性光在平板介质波导中的传输特性 一、平板介质波导的波分析方法一、平板介质波导的波分析方法1 光在对称三层介质板波光在对称三层介质板波导中传播导中传播在在 z=0 处是半导体与空气处是半导体与空气的界面，的界面，x=0 处是有源层的中线。处是有源层的中线。设波导沿设波导沿y方向是无穷的，方向是无穷的，故有故有/y=0。对于对于TE模，有模，有Ez=0tHtBE0tEtDJHr0利用利用/y=0 及及(3,1 5a)(3.1-5b)可以得出：可以得出：Hy=Ex=0因此，只有因此，只有y方向电场存在方向电场存在利用分离变量法对波动方程利用分离变量法对波动方程(3.1 13)求解，便可得到
9、平板求解，便可得到平板介质波导的场模表示式为介质波导的场模表示式为ztj(x)Ez,t)(xEyyexp,其中其中Ey(x)及模传播常数及模传播常数 满足满足0220222yyEknxE(3.2 2)(3.2 l)0220222yyEknxE(3.2 2)该方程的解为该方程的解为xAxA(x)Eoeysincos式中式中Ae和和Ao为常数为常数22022kn 表示为表示为 的物理意义：的物理意义：Ey在在x方向的传播常数方向的传播常数将麦克斯韦方程组应用到厚将麦克斯韦方程组应用到厚度为度为、长为、长为dl的一个界面面的一个界面面积元积元ds=dl内，就得到电场内，就得到电场或磁场的边界条件：或
10、磁场的边界条件：E1l=E2l (3.2 5)H1l=H2l (3.2 6)即电场和磁场的切向分量在即电场和磁场的切向分量在界面上必须是连续的界面上必须是连续的(3.2 3)(3.2 4)2偶阶偶阶TE模式的本征值方程模式的本征值方程ztj(x)Ez,t)(xEyyexp,(3.2 l)xAxA(x)Eoeysincos(3.2 3)在在 x d/2)的指数解是实数而不是虚数，即的指数解是实数而不是虚数，即0220222yyEknxE(3.2 2)故在有源区外的电场分量为故在有源区外的电场分量为220222020knknztjdx)d(Az,t)(xEeyexp2/exp2/cos,(3.2
11、11)tHxExy0(3.2 9)由由ztjdx)d(Ajxxz,t)(xHexexp2/exp2/cos/,0(3.2 12)ztjdx)d(Az,t)(xEeyexp2/exp2/cos,(3.2 11)ztjdx)d(Ajxxz,t)(xHexexp2/exp2/cos/,0(3.2 12)式中式中 为衰减系数，与传播常数为衰减系数，与传播常数 有如下关系；有如下关系；202122kn(3.2 13)这种在垂直于结平面方向这种在垂直于结平面方向 x d/2的区域内指数衰减的场称为的区域内指数衰减的场称为消失场，更确切地称为倏消失场，更确切地称为倏(shu,极快地极快地;疾速地疾速地)逝场
12、逝场(evanescent)。其特点是在界面上不产生相位的变化，场的指数衰减不是由介其特点是在界面上不产生相位的变化，场的指数衰减不是由介质吸收所引起的，而是由于在一定深度范围内进入限制层（折质吸收所引起的，而是由于在一定深度范围内进入限制层（折射率为射率为n1）的入射光能量完全反射回有源层中）的入射光能量完全反射回有源层中引起的引起的，这在古，这在古斯一亨森（斯一亨森（Goos-Honche。）的实验中得到了证实，因此。）的实验中得到了证实，因此消失场是一种平行于界面运动的均匀界面波。消失场是一种平行于界面运动的均匀界面波。在在 x=d/2 处，利用处，利用可以得出偶阶可以得出偶阶 TE 模
13、的本征值方程；模的本征值方程；ztjx)(Ajz,t)(xHexexpcos,0(3.2 10)ztjdx)d(Ajxxz,t)(xHexexp2/exp2/cos/,0(3.2 12)212202221202122tanknknd(3.2 15)本征值本征值 是不能用显函数表示的未知量是不能用显函数表示的未知量为说明模式数目和截止条件等性质，将上式改写为为说明模式数目和截止条件等性质，将上式改写为22tan2ddd(3.2 16)将式将式(3.2 8)和式和式(3.2 13)相加消除相加消除，得到，得到220222kn(3.2 8)202122kn(3.2 13)22202122222ddd
14、knn(3.2 17)22tan2ddd(3.2 16)22202122222dddknn(3.2 17)2,2,20212122dknnRdYdX令：则则表示的是一个圆方程：表示的是一个圆方程：222RYX(3.2 18)XXYtan(3.2 19)根据式根据式(3.2 18)和式和式(3.2 19)作图，就可得到如图作图，就可得到如图3.2-3所示所示的图。的图。两个曲线的交点即为偶阶两个曲线的交点即为偶阶 TE 模模的本征值方程的本征值方程(3.2 15)的解的解2,2,20212122dknnRdYdX222RYX(3.2 18)XXYtan(3.2 19)存在于波导中的模数存在于波导
15、中的模数是与圆半径是与圆半径 R 成正比成正比的，随着有源层的折的，随着有源层的折射率射率n2、厚度、厚度d和波和波数数k0与的增加以及与与的增加以及与有源层毗邻的限制层有源层毗邻的限制层折射率折射率n1的减少，存的减少，存在于波导中的传输模在于波导中的传输模式数增加式数增加由由2222202122222YXdddknn(3.2 17)可以求出偶阶可以求出偶阶 TE 模截止的模截止的d值，即式值，即式(3.2 19)为零时所对应的为零时所对应的d值值XXYtan(3.2 19)0tanXXY.8,6,4,2,0,mmX2,2,20212122dknnRdYdX将将Y=0、X=m、k0=2/0代
16、入代入(3.2 17)，则偶阶，则偶阶 TE 模截止模截止的的d值为值为21212202nnmd(3.2 20)偶阶偶阶 TE 模截止的模截止的d值为值为21212202nnmd(3.2 20)可见，要想使半导体激可见，要想使半导体激光器工作在基横模，其光器工作在基横模，其有源层厚度应小于某一有源层厚度应小于某一允许值允许值（通常（通常d 2)，则至少出现4个TE模，图 3.2 一 6 表示出头 4 个模的模场分布。二、平板介质波导的射线分析法二、平板介质波导的射线分析法 1光在异质结界面上的反射和透射光在异质结界面上的反射和透射设一单色平面光波由折射率为n2的光密介质入射到折射率为n1的光疏
17、介质(n2 n1)，如图3.2 7(a)所示。为简单起见，用指数形式表示沿x和z 轴正向传播的平面光波的电场：zxtjEEexp0(3.2 41)电场的偏振方向可以是任意的，但总可以分解为平行于和垂直于入射面（即纸面）的两个偏振分量在前面所讨论的三层平板介质波导中，已认定电场只有Ey分量，而光波是横电磁波，故磁场是在垂直于传播方向而平行于纸面的方向上偏振。根据式(3.2 4)和图3.2 7(b)在x方向的传播常数和z方向传播常数与光束入射角i之间的关系为22022kn(3.2 4)ikncos02iknsin02(3.2 42)(3.2 43)(3.2 44)/tanizxtjEEexp0(3
18、.2 41)因此，可以将入射、透射和反射的电场分别表示为因此，可以将入射、透射和反射的电场分别表示为iiiyizknxkntjEEsincosexp0202tttytzknxkntjEEsincosexp0101rrryrzknxkntjEEsincosexp0202(3.2 45)(3.2 46)(3.2 47)iiiyizknxkntjEEsincosexp0202tttytzknxkntjEEsincosexp0101rrryrzknxkntjEEsincosexp0202(3.2 45)(3.2 46)(3.2 47)由电场的边界条件，要求在由电场的边界条件，要求在z=0处，光在第二种
19、介质中入射和反射处，光在第二种介质中入射和反射光电场强度切向分量之和等于第一光电场强度切向分量之和等于第一种介质透射光电场的切向分量，即种介质透射光电场的切向分量，即tttrrriiizknxkntjEzknxkntjEzknxkntjEsincosexpsincosexpsincosexp010102020202该连续性条件适用于任何时刻和所有的该连续性条件适用于任何时刻和所有的z值，值，tttrrriiizknxkntjEzknxkntjEzknxkntjEsincosexpsincosexpsincosexp010102020202该连续性条件适用于任何时刻和所有的该连续性条件适用于任何
20、时刻和所有的z值，值，ytyryiEEEtrinnnsinsinsin122ritinnsinsin12斯涅尔斯涅尔(Snell)折射定律。折射定律。(3.2 49)(3.2 51)(3.2 52)tHxExy0(3.2 9)iiiyizknxkntjEEsincosexp0202(3.2 45)利用表示磁场利用表示磁场Hx与电场与电场Ey的关系式的关系式(3.2 9)和入射场的公式和入射场的公式(3.2 45)，可以得到，可以得到iyiziEknHcos/002(3.2 54)反射波和折射波与入射波振幅比值的关系式反射波和折射波与入射波振幅比值的关系式 菲涅尔公式。菲涅尔公式。考虑到考虑到
21、0=1和和k0/=1/ciyiziEcnHcos/2(3.2 55)同样，可以将反射和透射波的磁场强度写为同样，可以将反射和透射波的磁场强度写为ryrzrEcnHcos/2(3.2 56)tytztEcnHcos/1(3.2 57)磁场在磁场在 x=0 处的切向分量连续的条件为处的切向分量连续的条件为iyiziEcnHcos/2(3.2 55)ryrzrEcnHcos/2(3.2 56)tytztEcnHcos/1(3.2 57)tztzrziHHH(3.2 58)将式将式(3.2 55)、(3.2 56)和和(3.2 57)代入式代入式(3.2 58)，就得到，就得到tytryriyiEnE
22、nEncoscoscos122(3.2 59)利用式利用式(3.2 49)和式和式(3.2 51)，就可，就可以得到反射波相对于入射波的电场振幅以得到反射波相对于入射波的电场振幅反射率或振幅反射系数反射率或振幅反射系数ytyryiEEE(3.2 49)titiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)ri(3.2 51)同样，利用式(3.2 49)和式(3.2 51)，可由式(3,2 59)得到电场的振幅透过率或振幅透射系数ytyryiEEE(3.2 49)ri(3.2 51)tiiyiytnnnEEtcoscoscos2122(3.2 61)(3.2 60)和和(
23、3.2 61)为为电场矢量电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式。垂直于人射面的菲涅尔公式。titiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)可以看出，电场的振幅反射率和振可以看出，电场的振幅反射率和振幅透过率是入射角幅透过率是入射角 i的函数的函数当光束垂直于界面入射，当光束垂直于界面入射，i=0，则由式，则由式(3.2 60)和式和式(3.2 61)tiiyiytnnnEEtcoscoscos2122(3.2 61)电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式titiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)1212nn
24、nnr(3.2 62)一般常用的是功率反射率而不是振幅反一般常用的是功率反射率而不是振幅反射率，因此应取式射率，因此应取式(3.2 62)的平方的平方212122nnnnrR(3.2 63)在垂直入射下，式（在垂直入射下，式（3.2 一一 61）变为变为tiiyiytnnnEEtcoscoscos2122(3.2 61)电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式titiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)21122122nnnnnt(3.2 64)由式由式(3.2 61)和式和式(3.2-64)都可以看出，当光由光密介都可以看出，当光由光
25、密介质向光疏介质入射时质向光疏介质入射时(n2 n1)，其振幅透过率，其振幅透过率 t 1。但可以证明，磁场的振幅透但可以证明，磁场的振幅透过率比较小，因此，总的功过率比较小，因此，总的功率率(或能量或能量)的透过率，仍小的透过率，仍小于于1。2全反射全反射titiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)由式由式(3.2 60)可以看出，当光从折射率大的介可以看出，当光从折射率大的介质向折射率小的介质入射质向折射率小的介质入射(n2 n1)时，随着入时，随着入射角的增加，电场的振幅反射率也增加射角的增加，电场的振幅反射率也增加(因为因为cos t下降的速度要比下降
26、的速度要比cos i下降的速度快下降的速度快)，当，当入射角大到某一值时，振幅反射率迅速趋近于入射角大到某一值时，振幅反射率迅速趋近于 1，这一现象被称为全反射。为了区分光从光，这一现象被称为全反射。为了区分光从光疏介质入射到光密介质在一定条件疏介质入射到光密介质在一定条件(i=90)下所下所产生的产生的“掠人射掠人射”，而把在某一入射角下光从，而把在某一入射角下光从光密介质向光疏介质传播，在界面上所产生的光密介质向光疏介质传播，在界面上所产生的全反射称为全内反射，产生全内反射的入射角全反射称为全内反射，产生全内反射的入射角称为临界入射角或临界角。称为临界入射角或临界角。tinnsinsin1
27、2(3.2 52)从斯涅尔定律从斯涅尔定律(3.2 52)求得全内反射的临界入求得全内反射的临界入射角，（达到全反射时，折射角射角，（达到全反射时，折射角 t=/2，这时，这时的入射角为临界入射角的入射角为临界入射角211sinnnci(3.2 65)2全反射全反射titiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)tinnsinsin12(3.2 52)当当 i c时，由时，由(3.2 52)，sin i 121221221sincositnnj(3.2 66)将其代入式（将其代入式（3.2 一一 60）后）后取复数场反射率的平方，均能取复数场反射率的平方，均能得到
28、功率反射率得到功率反射率因此，只要满足因此，只要满足 i c，都能产都能产生光的全反射。生光的全反射。12 rRtitiyiyrnnnnEErcoscoscoscos1212(3.2 60)但另一方面，当但另一方面，当 i =c时，由式时，由式(3.2 60)和和(3.2 61)得到得到tiiyiytnnnEEtcoscoscos2122(3.2 61)1r2t(3.2 67)说明，即使是全反射，在折射率小的一说明，即使是全反射，在折射率小的一侧介质中的电场并不为零。侧介质中的电场并不为零。还可以证明，在达到全反射条件时，磁还可以证明，在达到全反射条件时，磁场也不在界面上中断，而是渗入折射率场
29、也不在界面上中断，而是渗入折射率小的一侧介质中，这种渗透的场即为前小的一侧介质中，这种渗透的场即为前面所述的消失场面所述的消失场从物理意义上讲，这种消失场是一种衰从物理意义上讲，这种消失场是一种衰减场，因此式减场，因此式(3.2 66)应该取负号，而应该取负号，而将电场的复反射率写为将电场的复反射率写为21221221sincositnnj(3.2 66)2121222221212222sincossincosnnjnnnjnriiii(3.2 68)令令(3.2 70)21221221sincositnnj(3.2 66)02121222sinknni由式由式(3.2 66)可以得到可以得到
30、01coskjnt(3.2 69)tttytzknxkntjEEsincosexp0101(3.2 46)将式将式(3.2 69)代入式代入式(3.2-46)就可就可得到全反射情况下消失场的表达式得到全反射情况下消失场的表达式xzkntjEEttytsinexp01(3.2 71)可以看出，消失场是一个沿透射方向随可以看出，消失场是一个沿透射方向随指数指数 exp(-x)衰减的场，不过这种衰减衰减的场，不过这种衰减不是由于介质的吸收引起的，而是因为不是由于介质的吸收引起的，而是因为所有的入射能量完全坡反射回光密介质所有的入射能量完全坡反射回光密介质中的缘故中的缘故。3反射相移和古斯反射相移和古
31、斯-亨森亨森(Goos Hanchen)位移位移光从光密介质向光疏介质入光从光密介质向光疏介质入射，当入射角大于临界角入射，当入射角大于临界角入射时，发生入射能量的全反射时，发生入射能量的全反射。射。但另一方面在深入光疏介质但另一方面在深入光疏介质的一个很小的一个很小(波长量级波长量级)的薄层的薄层内存在的消失场也为实验证内存在的消失场也为实验证实。实。对这一矛盾现象的解释只能对这一矛盾现象的解释只能是全反射界面向光疏介质推是全反射界面向光疏介质推移了一个距离，或在介质面移了一个距离，或在介质面上反射点从入射点沿反射面上反射点从入射点沿反射面移了一段距离。移了一段距离。这早在这早在 1947
32、年就为古斯一年就为古斯一亨森所发现。亨森所发现。由于反射点有位移，反射场由于反射点有位移，反射场相对于入射场就有相位差或相对于入射场就有相位差或反射相移。反射相移。当当 i c，场反射率变成了复数，场反射率变成了复数(3.2 68)。可以将它表示成一实数和一。可以将它表示成一实数和一复数复数ei 之积，即为之积，即为2121222221212222sincossincosnnjnnnjnriiii(3.2 68)ierr(3.2 72)r 反射场与入射场振幅之比，反射场与入射场振幅之比，反射场反射场Eyr相对人射场相对人射场Eyi所产所产生的相位变化（相移）。生的相位变化（相移）。在全反射条件
33、下振幅反射率在全反射条件下振幅反射率 r =1，因而有因而有212122212122sincossincosnjnjeriiiii(3.2 73)2112nnn式中式中运用欧拉公式变换运用欧拉公式变换(3.2 73)式，可以得到式，可以得到212122212122sincossincosnjnjeriiiii(3.2 73)iincossin2tan212122(3.2 74)因而反射相移为因而反射相移为iincossintan22121221(3.2 75)利用式利用式(3.2 42)、(3.2 43)，(3.2 74)可以写成可以写成ikncos02iknsin02(3.2 42)(3.2
34、 43)021212022tanknk(3.2 76)(3.2 70)02121222sinknni再由式再由式(3.2 70)，2tan(3.2 77)运用欧拉公式变换运用欧拉公式变换(3.2 73)式，可以得到式，可以得到212122212122sincossincosnjnjeriiiii(3.2 73)iincossin2tan212122(3.2 74)因而因而反射相移反射相移为为iincossintan22121221(3.2 75)利用式利用式(3.2 42)、(3.2 43)，(3.2 74)可以写成可以写成ikncos02iknsin02(3.2 42)(3.2 43)021
35、212022tanknk(3.2 76)(3.2 70)02121222sinknni再由式再由式(3.2 70)，2tan(3.2 77)古斯古斯-亨森从实验上证明，在满足全反亨森从实验上证明，在满足全反射的条件下，由介质界面反射光束在入射的条件下，由介质界面反射光束在入射平面内有空间移动，常以反射点在界射平面内有空间移动，常以反射点在界面上移动的距离面上移动的距离2Zg 和消失场渗透深度和消失场渗透深度Xg对古斯对古斯-亨森移动作定量描述，亨森移动作定量描述，求古斯求古斯-亨森位移的方法很多。根亨森位移的方法很多。根据科格尔尼克的方法，可以得到据科格尔尼克的方法，可以得到tan1gZ(3.
36、2 86)22022kn(3.2 4)ikncos02iknsin02(3.2 42)(3.2 43)(3.2 44)/tani(3.2 70)02121222sinknni取透射场衰减到界面场强的取透射场衰减到界面场强的1/e处与界处与界面的距离为消失场渗透深度：面的距离为消失场渗透深度：1tanggZX(3.2 87)4.平板介质波导模式在图在图3.2-9表示三层非对称平板表示三层非对称平板介质波导中，介质波导中，n2 n1 n3，入射，入射在两界面上的全反射临界角分在两界面上的全反射临界角分别为别为211sinnnci(3.2 65)2111sinnnc2313sinnnc(3.2 88
37、)(3.2 89)因为因为n1 n3，所以，所以 c1 c3，因此只有，因此只有入射角入射角 大于大于 c1的光束才能在波导中的光束才能在波导中传播。传播。在两个界面上，反射光相对于入射光会产在两个界面上，反射光相对于入射光会产生相移，其值由式生相移，其值由式(3.2 75)分别给出：分别给出：(3.2 90)(3.2 91)因为因为n1 n3，所以，所以n12 n32，3 1iincossintan22121221(3.2 75)iincossintan221212211iincossintan2212322132112nnn式中式中2332nnn在波导中每一允许的模式代表一簇稳在波导中每一
38、允许的模式代表一簇稳定传播的平面波列。同一波阵面定传播的平面波列。同一波阵面(波前波前)上各点必须具有相同的相位，该簇各上各点必须具有相同的相位，该簇各波阵面之间应该是无畸变的再现。波阵面之间应该是无畸变的再现。如图如图3.2 9(b)所示，波前所示，波前AC上各点上各点(对后面的波前来说，可视为点源对后面的波前来说，可视为点源)通过通过直接途径直接途径AB或经过在两边界面上相继或经过在两边界面上相继的两次反射到达波前的两次反射到达波前BD，这两种途径，这两种途径的光程差可以由图的光程差可以由图3.2 9(b)中的几何中的几何关系得到关系得到为了使经过两种不同途径而到达同一波前上为了使经过两种
39、不同途径而到达同一波前上光线之间相干，要求上面所表示的光程差以光线之间相干，要求上面所表示的光程差以及由两次全内反射所造成的附加光程差之和及由两次全内反射所造成的附加光程差之和为波长的整数倍为波长的整数倍cos222dnnABCD002231cos2mdn(3.2 92)(3.2 93)003122cos2mdn(3.2 94)(3.2 93)1和和 3分别为式分别为式(3,2 90)和和(3,2 91)表示的反射相移表示的反射相移将式将式(3.2 93)改写为相位之间的关系为改写为相位之间的关系为mdkn2cos23102要使光束在两个界面上均产生全反射必须使要使光束在两个界面上均产生全反射
40、必须使211sinsinnnc2111sinnnc(3.2 88)212221cosnnn(3.2 95)(3.2 90)(3.2 91)iincossintan221212211iincossintan221232213即即将式将式(3.2-95)代人式代人式(3.2 94)，得，得到在此波导中所能允许的模式数：到在此波导中所能允许的模式数：212221cosnnn(3.2 95)2223102122nndm(3.2 96)说明：反射相移影响波导中传输的模式说明：反射相移影响波导中传输的模式(3.2 94)mdkn2cos23102(3.2 90)(3.2 91)iincossintan22
41、1212211iincossintan221232213因为因为 3 1，可以将式，可以将式(3.2-96)近似为近似为22302122nndm(3.2 97)(3.2 90)(3.2 91)iincossintan221212211iincossintan22123221322302122nndm(3.2 97)1.随着有源层厚度随着有源层厚度d的减少，能允许传播的的减少，能允许传播的波导模式也减少，即高阶模相继被截止。波导模式也减少，即高阶模相继被截止。当当d小到某一值时，使得小到某一值时，使得m 0，这时基模，这时基模也可被截止。也可被截止。2.当当n1=n3，对应于对称波导情况。当，对应于对称波导情况。当入射角入射角 i=c1=c2时时，有，有 1=3=0，由式由式(3.2 93)，2111sinnnc2313sinnnc(3.2 88)(3.2 89)003122cos2mdn(3.2 93)令令 m=0，则，则(0)m=0=，这说这说明对称波导中，任何频率都可明对称波导中，任何频率都可以传输，当然也包括基模。以传输，当然也包括基模。02cos2mdn3.3 矩形介质波导矩形介质波导祝您成功！
