1、2.1 2.1 测量误差测量误差一一.基本概念基本概念 测量测量-通过通过实验来求被测对象的量值实验来求被测对象的量值.真值真值-一个量在被测时一个量在被测时,该量本身所具有的真实大小。在一该量本身所具有的真实大小。在一 定的时空条件下定的时空条件下,真值是一个客观存在的确定数值。真值是一个客观存在的确定数值。测量误差测量误差-测量结果与真值的差别测量结果与真值的差别 原因原因:对被测量认识的局限性对被测量认识的局限性,测量器具不准确测量器具不准确,测量手段不测量手段不 完善，测量环境不理想完善，测量环境不理想,人为因素人为因素实际测量实际测量-将待测量直接或间接地与将待测量直接或间接地与同类
2、已知量同类已知量相比较相比较,(统一计量标准统一计量标准)得到测量结果（包含比值和单位）。得到测量结果（包含比值和单位）。第二章第二章 误差理论与测量不确定度误差理论与测量不确定度计量标准有三类：计量标准有三类：1)1)真值真值A A。-用理论来定义计量标准的真值，实际不存在用理论来定义计量标准的真值，实际不存在 例：电流计量标准例：电流计量标准-理论安培。理论安培。定义定义-流过真空中相距流过真空中相距1m1m的两条无限小圆截面的无限长平的两条无限小圆截面的无限长平 行导线而能在此两导线间产生行导线而能在此两导线间产生 N/mN/m相互作用相互作用 力的恒定电流。力的恒定电流。所以所以,绝对
3、真值是不可知的，只能通过科学技术的不断绝对真值是不可知的，只能通过科学技术的不断进步而无限地逼近。进步而无限地逼近。2)2)指定值指定值AsAs-一般由国家设立各种尽可能维持恒定不变的一般由国家设立各种尽可能维持恒定不变的 实物标准，以法令的形式指定以它所体现的量实物标准，以法令的形式指定以它所体现的量 值作为计量单位的指定值。值作为计量单位的指定值。7102例：例：指定以国家计量局保存的铂铱金圆柱体千克原器质指定以国家计量局保存的铂铱金圆柱体千克原器质量为量为1kg1kg。例：例：时间、频率标准时间、频率标准国家天文台的铯原子钟国家天文台的铯原子钟 在特定条件下，铯原子在基态的两个超细能级间
4、跃在特定条件下，铯原子在基态的两个超细能级间跃 迁时辐射迁时辐射91926317709192631770个周期所持续的时间为个周期所持续的时间为1 1秒。秒。国际上，通过互相比对来保证各国家指定标准的一国际上，通过互相比对来保证各国家指定标准的一致性。致性。(3)(3)实际值实际值A A-国家设立量值传递网国家设立量值传递网,通过逐级比对将国通过逐级比对将国家基准传递到日常使用的仪器、量具中去。家基准传递到日常使用的仪器、量具中去。每级对比中以上一级标准为近似真值每级对比中以上一级标准为近似真值,即实际值。即实际值。测量误差与不确定度测量误差与不确定度 不确定度不确定度-测量误差的数字指标。表
5、示由于测量误差的数字指标。表示由于测量误差的存在而对被测量真值缺乏了解的程度，测量误差的存在而对被测量真值缺乏了解的程度，是对所给出的是对所给出的测量值可能含有的误差出现范围测量值可能含有的误差出现范围的一的一种评定。种评定。一个完整的一个完整的测量结果测量结果包括：包括：量值的大小和相应量值的大小和相应的测量不确定度的测量不确定度。测量不确定度表明测量结果的可。测量不确定度表明测量结果的可信度。信度。二二.测量误差的定义测量误差的定义 测量误差测量误差-测量结果与被测量真值之差。测量结果与被测量真值之差。按表示方法分为按表示方法分为绝对误差绝对误差和和相对误差相对误差两种。两种。1.1.绝对
6、误差（真误差）绝对误差（真误差）X=X X=X A A0 0 x x表示表示测量值测量值，A0A0表示被测量的表示被测量的真值真值，实际中可用，实际中可用约定真值约定真值A A来代替。来代替。约定真值可以是约定真值可以是指定值、实际值、标称值和最佳估计值指定值、实际值、标称值和最佳估计值（算术平均值）（算术平均值）。这时误差可表示为：这时误差可表示为：X=X X=X A A 修正值修正值：C=-C=-X=A-XX=A-X 说明书中以说明书中以数字、表格、曲线、公式数字、表格、曲线、公式等给出工厂检定的修正值等给出工厂检定的修正值例：例：用一电流表测量电流，其测量值为用一电流表测量电流，其测量值
7、为10mA10mA。电流表检定时。电流表检定时 10mA10mA刻度处的修正值为刻度处的修正值为+0.04mA+0.04mA，则被测电流的实际值为，则被测电流的实际值为 A=X+C=10+0.04=10.04 mAA=X+C=10+0.04=10.04 mA 2.2.相对误差相对误差 绝对误差的不足绝对误差的不足不能确切反映测量的准确程度。不能确切反映测量的准确程度。例：例：测二个频率，测二个频率，f1=1kHz f1=1Hzf1=1kHz f1=1Hz；f2=1MHz f2=10Hzf2=1MHz f2=10Hz。虽然虽然f1f2f1f2，但，但 f2 f2 测量值更准确。测量值更准确。相对
8、真误差相对真误差：绝对误差与被测量的真值之比：绝对误差与被测量的真值之比 =（X/AX/A。）。）100%100%实际中根据所取相对参考值的不同，相对误差可以分为四类：实际中根据所取相对参考值的不同，相对误差可以分为四类：1 1）实际相对误差）实际相对误差 A A=（x/x/A A）100%100%其中其中A A为实际值为实际值2 2）标称相对误差（又叫示值相对误差）标称相对误差（又叫示值相对误差）X X =（x/x/x x）100%100%测定值测定值x x中也有误差，所以中也有误差，所以只适合在误差较小时只适合在误差较小时，作近似计算，作近似计算3 3）分贝误差（相对误差的对数表示）分贝误
9、差（相对误差的对数表示）分贝误差定义：分贝误差定义：dB=20lgdB=20lg（1+1+A/AA/A0 0)=)=20lg20lg（1+1+）（）（dBdB）近似计算：近似计算：dB=20dB=200.43430.4343ln(1+)8.69ln(1+)8.69（dBdB）例：例：某放大器电压增益某放大器电压增益A A。=100=100，某次测量得电压增益，某次测量得电压增益A=95A=95。求电压增益的测量相对误差、分贝误差。求电压增益的测量相对误差、分贝误差。解：解：A=A-AA=A-A。=-5=-5 =（x/xx/x）100%=100%=（-5/100-5/100）100%=-5%10
10、0%=-5%dB=20lg dB=20lg（1+1+）8.698.69(-5%)=-0.435 dB(-5%)=-0.435 dB 分贝误差是相对误差的一种表示形式，相对误差为正，分分贝误差是相对误差的一种表示形式，相对误差为正，分贝误差也为正，反之亦然。贝误差也为正，反之亦然。4）引用误差（满度相对误差）引用误差（满度相对误差）反映电表、仪器的准确程度反映电表、仪器的准确程度 一个量程（一个量程（XmXm）内，）内，xx近似为一个常数。近似为一个常数。m=m=（X/X/XmXm）100%100%电工仪表按此分级共分电工仪表按此分级共分七级：七级：0.10.1，0.20.2，0.50.5，1.
11、01.0，1.51.5，2.52.5及及5.05.0，分别表示它们的满度相对误差最大值，分别表示它们的满度相对误差最大值的百分比。的百分比。其中在其中在0.20.2级以上级以上的属于的属于精密仪表精密仪表。例例：检定一个：检定一个1.51.5级级100mA100mA的电流表，在的电流表，在100mA100mA的量程中，的量程中，50mA50mA刻度处误差最大，为刻度处误差最大，为1.4mA1.4mA，问此表是否合格？，问此表是否合格？解：解：所以，此电流表合格。所以，此电流表合格。例例：欲测量一个：欲测量一个10V10V左右的电压，现有两块电压表：左右的电压，现有两块电压表：150V150V量
12、程量程 1.51.5级；级；15V15V量程量程 2.52.5级。问应选那块表？级。问应选那块表？解：解：用第一块表用第一块表 用第二块表用第二块表 应选用第二块表。应选用第二块表。测量时不要片面追求表的级别，应根据被测量大小，兼测量时不要片面追求表的级别，应根据被测量大小，兼顾表的级别和量程。选择量程时指针应尽可能接近满刻度，顾表的级别和量程。选择量程时指针应尽可能接近满刻度，一般一般2/3Xm2/3Xm。%5.1%4.1%1001004.1%100maxmAmAIImmVVV25.2%5.11501VVV375.0%5.2152 三三.测量误差的分类测量误差的分类1.1.随机误差随机误差1
13、 1）定义）定义 :测量结果减去重复条件下对同一被测量进行无限次测量测量结果减去重复条件下对同一被测量进行无限次测量的平均值。的平均值。2 2）原因：）原因：由多种原因同时作用，这些因素互不相关，没有规律。由多种原因同时作用，这些因素互不相关，没有规律。如：热骚动、噪声、电磁场微变、人为感官的微变等。如：热骚动、噪声、电磁场微变、人为感官的微变等。3）特点：）特点：一次测量，误差无规律、不可预测，但足够多次测量，一次测量，误差无规律、不可预测，但足够多次测量，总体上服从总体上服从统计规律统计规律。所以用。所以用概率统计法概率统计法处理。处理。2.系统误差系统误差1）定义）定义 重复条件下，对同
14、一被测量进行无限次测量，其测量结果重复条件下，对同一被测量进行无限次测量，其测量结果的平均值减被测量真值的差值。的平均值减被测量真值的差值。因为真值不能确定，且测量只能有限次重复进行，所因为真值不能确定，且测量只能有限次重复进行，所以系统误差不能完全确定。以系统误差不能完全确定。按其掌握程度可分为：按其掌握程度可分为：常差常差 (已定系差已定系差)数值符号和规律确定的误差数值符号和规律确定的误差 可通过修正值修正可通过修正值修正 不确定系差不确定系差(未定系差未定系差)数值、符号不确定的误差。数值、符号不确定的误差。2 2）产生原因）产生原因测量设备缺陷测量设备缺陷 如：电表零点不对如：电表零
15、点不对测量环境变化测量环境变化 如：温度、湿度、电源电压变化、周围电磁场影响等如：温度、湿度、电源电压变化、周围电磁场影响等测量所用理论、方法的误差测量所用理论、方法的误差 如如:依据理论不严密，采用近似公式。依据理论不严密，采用近似公式。例：例：测电阻测电阻 R=V/IR=V/I （a)(b)a)(b)测出测出R R值偏小值偏小 测出测出R R值偏大值偏大 人为因素造成的误差人为因素造成的误差 如：读数偏差如：读数偏差 总之，造成系统误差的原因很多，但具有一定的总之，造成系统误差的原因很多，但具有一定的规律性规律性，实际测量可分析系统误差产生的原因，采取一定的实际测量可分析系统误差产生的原因
16、，采取一定的技术措施技术措施消消除、减弱系统误差。除、减弱系统误差。VVIIR表VRIII表IRVV VVVIR 3.3.粗大误差粗大误差1 1）定义）定义明显超出在规定条件下预期的误差。明显超出在规定条件下预期的误差。测量结果明显偏离真值，为测量结果明显偏离真值，为坏值坏值，应剔除，应剔除不用不用。2 2）原因）原因读数错误、测量方法错误、测量仪器有读数错误、测量方法错误、测量仪器有缺陷。缺陷。三种误差的处理：三种误差的处理：粗差粗差 -数据剔除；数据剔除；随机误差随机误差 -统计平均；统计平均；系统误差系统误差 -采用技术措施消除、减小系差，采用技术措施消除、减小系差，修正测量值。修正测量
17、值。2.2 随机误差随机误差 随机误差使测量数据服从一定的统计规律，随机误差使测量数据服从一定的统计规律，要对测量数据和随机误差进行统计处理，主要要对测量数据和随机误差进行统计处理，主要有有两个问题两个问题:随机误差使测量数据按什么规律分布随机误差使测量数据按什么规律分布?实际测量为有限次，如何根据有限次测量实际测量为有限次，如何根据有限次测量数据数据v 用统计平均的方法减小随机误差的影响用统计平均的方法减小随机误差的影响?v 估计被测量的数学期望、标准偏差？估计被测量的数学期望、标准偏差？2.2.1 2.2.1 随机误差、测量数据的分布随机误差、测量数据的分布 由由中心极限定理中心极限定理-
18、正态分布正态分布(高斯分布高斯分布)只要构成随机变量总合的各随机变量的数目足够多只要构成随机变量总合的各随机变量的数目足够多,且其中且其中每个随机变量对于总和只能起微小的作用每个随机变量对于总和只能起微小的作用,则随机变量总和服从正则随机变量总和服从正态分布态分布.测量中测量中,随机误差产生的原因随机误差产生的原因-众多对测量影响微小众多对测量影响微小,互不互不相关的因素同时作用造成的。相关的因素同时作用造成的。所以所以,测量中的随机误差、测量数据的分布测量中的随机误差、测量数据的分布大多为正态分布大多为正态分布。若测量中的误差因素若测量中的误差因素不满足中心极限定理不满足中心极限定理,如误差
19、因素有限如误差因素有限,或某或某项因素影响较大项因素影响较大,则随机误差、测量数据呈则随机误差、测量数据呈非正态分布非正态分布:均匀分布、三角分布、反正弦分布。均匀分布、三角分布、反正弦分布。测量中绝大部分随机误差及其影响下的测量值都服从测量中绝大部分随机误差及其影响下的测量值都服从正态分布。若设正态分布。若设x x为测量值，为测量值，为测量中的随机误差，则它为测量中的随机误差，则它们的概率密度函数为们的概率密度函数为 E x)(2)(exp)(21)(22xxExxxp)(2exp)(21)(22p测量值测量值X:X:随机误差：随机误差：2.2.3 2.2.3 用有限次测量估计测量值的数学期
20、望和标准偏差用有限次测量估计测量值的数学期望和标准偏差 因为因为数学期望数学期望和和标准偏差标准偏差是在是在无限次无限次测量的条件下得到的测量的条件下得到的,而而实际测量实际测量只有只有有限次有限次，所以要用有限次测量数据，所以要用有限次测量数据估计估计数学期望和数学期望和标准偏差。标准偏差。1.1.数学期望的估计数学期望的估计 有限次测量的算术平均值有限次测量的算术平均值 因为随机误差的抵消性，因为随机误差的抵消性，n n越大，抵消程度越大，平均值离越大，抵消程度越大，平均值离散程度越小散程度越小用统计平均方法减小随机误差影响的理论根据用统计平均方法减小随机误差影响的理论根据。根据正态分布随
21、机变量之和仍然是正态分布的理论，根据正态分布随机变量之和仍然是正态分布的理论，如果测量值如果测量值x x属于正态分布，则属于正态分布，则 也是正态分布。也是正态分布。x)(1)(xnxx 图图2-52-5表示了被测量总体和测量平均值的分布曲线表示了被测量总体和测量平均值的分布曲线 2.标准偏差的估计标准偏差的估计 贝塞尔公式贝塞尔公式v注意区分注意区分几个名词几个名词 总体测量值总体测量值标准偏差标准偏差(x)(x)总体测量值总体测量值标准偏差估计值标准偏差估计值 或称总体测量值或称总体测量值实验标准偏差实验标准偏差s(x)s(x)测量测量平均值标准偏差平均值标准偏差 测量测量平均值标准偏差估
22、计值平均值标准偏差估计值 或称测量或称测量平均值实验标准偏差平均值实验标准偏差 niiniixnxnxxnxxs1222111)(11)()(x nxx)(nxx)(nxsxs)(2.2.5 粗差的处理粗差的处理 在无系差的情况下，测量中出现大误差的概率很小。所以测在无系差的情况下，测量中出现大误差的概率很小。所以测量误差绝对值较大的测量数据量误差绝对值较大的测量数据 可疑数据。可疑数据。分析大误差产生的原因：有外界干扰分析大误差产生的原因：有外界干扰(电压的突然跳变电压的突然跳变)或人或人为读数错误等等。如不明原因，则应根据统计学的方法来判别可为读数错误等等。如不明原因，则应根据统计学的方法
23、来判别可疑数据是否含有粗差。疑数据是否含有粗差。v判别准则判别准则 莱特准则莱特准则以正态分布为前提以正态分布为前提,适用于适用于n n1010 在一系列等精度测量结果中，若第在一系列等精度测量结果中，若第i i次测量值所对应的残差次测量值所对应的残差 的绝对值的绝对值 (Pc=99.73%(Pc=99.73%）,则该误差为粗差，则该误差为粗差，则所对应的则所对应的 XiXi为坏值，应剔除不用。为坏值，应剔除不用。)(3xsxxvii粗差判别准则应用注意事项粗差判别准则应用注意事项:判别准则以判别准则以正态分布正态分布为前提，偏离正态分布时，可为前提，偏离正态分布时，可靠性受影响；测量次数少时
24、也不太可靠。靠性受影响；测量次数少时也不太可靠。若有多个可疑数据，应一一若有多个可疑数据，应一一剔除剔除，每次剔除后，要，每次剔除后，要重新计算重新计算，再判别，直到无坏值。，再判别，直到无坏值。一组测量数据中，一组测量数据中，可疑数据应极少可疑数据应极少，否则不正常，否则不正常，剔除数据要慎重，要分析异常数据，找出原因。剔除数据要慎重，要分析异常数据，找出原因。例例2.82.8 对某温度进行多次重复测量，测量结果见对某温度进行多次重复测量，测量结果见表表2-52-5，请检查测量数据中有无异常（用莱特准则判，请检查测量数据中有无异常（用莱特准则判别）。别）。解：计算解：计算 ，s=0.033s
25、=0.0333s=0.0333s=0.0333=0.099 3=0.099 所有所有V Vi i中，中，V V8 8最大，最大，所以所以,X,X8 8 是异常数据，应予剔除。是异常数据，应予剔除。剔除剔除X X8 8 后，再计算后，再计算 ,s=0.016,s=0.016，3s=0.048 3s=0.048 其余其余1414个数据的个数据的 均小于均小于3s3s，所以，无坏值。，所以，无坏值。099.0104.08V404.20 x114.20 xiV补充作业：补充作业：P25 P25 例例2.7 2.7 测电感，增加两次测量值：测电感，增加两次测量值：20.68,20.68,20.5420.
26、54，试用莱特准则判别有无异常数据。，试用莱特准则判别有无异常数据。2.3.2 2.3.2 消除或减弱系统误差的典型测量技术消除或减弱系统误差的典型测量技术 测量前尽力消除测量前尽力消除产生系统误差的来源：产生系统误差的来源：测量仪器本身存在误差，对仪器安装、使用不当。测量仪器本身存在误差，对仪器安装、使用不当。对仪器定期检定、校准，注意仪器的正确使用条件和方法。对仪器定期检定、校准，注意仪器的正确使用条件和方法。测量原理，方法存在缺点测量原理，方法存在缺点测量环境变化测量环境变化 精密测量注意恒温、散热、空气调节。必要时可采用屏蔽、精密测量注意恒温、散热、空气调节。必要时可采用屏蔽、减振措施
27、。减振措施。测量人员的主观原因测量人员的主观原因 可改进设备，尽力避免。如，数字式仪表。可改进设备，尽力避免。如，数字式仪表。测量过程中，可采用专门的测量技术和方法，较典型的有：测量过程中，可采用专门的测量技术和方法，较典型的有：微差法微差法(图图2-172-17)X X 设被测量为设被测量为VxVx，与它相近的标准量，与它相近的标准量V V，被测量与标，被测量与标准量之微差为准量之微差为A A，A A的数值可由电压表读出，则的数值可由电压表读出，则 Vx=V+AVx=V+A例：例：用微差法测电压用微差法测电压 ，设电压表，设电压表 ，标准电压标准电压 ，相对微差相对微差 。求测量的。求测量的
28、 。解：解：Vx=V+AVx=V+A AAVxAVVAAVxAAVVVxAVxVVxVxxV%05.0VV%1AA501xVAxxVV%07.0%)1(501%)05.0(AAVAVVVVxxx例例2.102.10（书）（书）图图2-172-17是一个用微差法测量未知电压的电路，是一个用微差法测量未知电压的电路，图中标准电压图中标准电压V V为相对误差为相对误差0.1%0.1%的的9V9V稳压源稳压源,若被测电压标若被测电压标称称10V10V，要求测量误差，要求测量误差 ，电压表量程为，电压表量程为3V3V，问，问选用几级表可以满足测量要求？选用几级表可以满足测量要求？解：解：所以，选用量程为所以，选用量程为3V3V的的一级表一级表。采用误差为采用误差为1%1%的电压表测量，能做到总测量误差小于的电压表测量，能做到总测量误差小于0.5%0.5%。可见，微差法可削弱仪表误差的影响。可见，微差法可削弱仪表误差的影响。若被测量和标准量之间的微差更小，测量的相对误差还可若被测量和标准量之间的微差更小，测量的相对误差还可进一步减小。（进一步减小。（如，电压表量程为如，电压表量程为1V1V，m=10m=100.4%=4%0.4%=4%）%5.0 xxVV%5.0mxmxxxVAVVVVVAVVVV%33.1)%1.0%5.0(310)VV(xxmxmmVVVVVA祝您成功！祝您成功！
