1、1第三节第三节 静电场中的高斯定理静电场中的高斯定理一、电场的直观描述一、电场的直观描述(E电场线电力线，线）用一族空间曲线形象描述场强分布用一族空间曲线形象描述场强分布通常把这些曲通常把这些曲线称为线称为电场线电场线或或电力线电力线。(1)切线方向为电场强度方向切线方向为电场强度方向1 规定规定(2)疏密表示电场强度的大小疏密表示电场强度的大小edEdS通过无限小面元通过无限小面元dS的的电力线数目电力线数目d e与与dS 的比值称为的比值称为电力电力线密度线密度。22 电场线的电场线的特点特点(2)任何两条电场线不相交任何两条电场线不相交.(1)始于正电荷，止于负电荷，非闭合线始于正电荷，
2、止于负电荷，非闭合线.+点电荷的电力线点电荷的电力线正电荷正电荷负电荷负电荷+一对等量异号电荷的电力线一对等量异号电荷的电力线+一对等量正点电荷的电力线一对等量正点电荷的电力线+带电平行板电容器的电场带电平行板电容器的电场+8二、电通量二、电通量通过电场中某一通过电场中某一垂直面垂直面的电力线数称为的电力线数称为通过该面的电通通过该面的电通量量。用。用 e表示。表示。ESe1 1、均匀电场、均匀电场（1）S与电场强度方向垂直与电场强度方向垂直ES（2）S 法线方向法线方向与电场强度与电场强度方向成方向成 角角EnScosESeSE定义：定义：nSS面矢量为面积为面积S S 的法向单位矢量的法向
3、单位矢量n91)1)电通量是标量；电通量是标量；单位：伏特米，用符号单位：伏特米，用符号VmVm表示；表示；2)2)电通量的值有正、负之分。电通量的值有正、负之分。当当 与与 的夹角的夹角 为锐角时：为锐角时：nE0e当当 为钝角时：为钝角时：0e当当 为直角时：为直角时：0e12CmN讨论讨论cosESeSE102 2、对于一般情形的电场（非匀强电场）、对于一般情形的电场（非匀强电场）取任意的曲面取任意的曲面S，把曲面分成许多个把曲面分成许多个“面元矢量面元矢量”Sd每一面元附近可视为匀强电场每一面元附近可视为匀强电场所通过的电通量为：所通过的电通量为：SdEde EdSESdS对曲面对曲面
4、S的所有面元上的电通量求和：的所有面元上的电通量求和：电通量的一般定义式电通量的一般定义式deSSdES 111）某处的场强的大小可理解为）某处的场强的大小可理解为“电通量的密度电通量的密度”：2）若）若S为闭合曲面（又称为为闭合曲面（又称为“高斯面高斯面”）dSdEeSeSdE则：v说明说明规定：面元的方向由闭合面内指向面外。规定：面元的方向由闭合面内指向面外。（外法向）（外法向）当电场线穿出高斯面：当电场线穿出高斯面：当电场线穿入高斯面：当电场线穿入高斯面：0SdEde0SdEdeSESdSd 12例例1：在均匀电场中有一立方形的闭合面（如图）在均匀电场中有一立方形的闭合面（如图）icNE
5、)240(通过该闭合面的电通量是多少？通过该闭合面的电通量是多少？xyz13求均匀电场中一半球面的电通量求均匀电场中一半球面的电通量。EROnnnn1S2S11SSSdE2SE21RES【课堂练习课堂练习1 1】14分析：因分析：因球面球面上各处场强的上各处场强的方向均沿法向方向均沿法向球面上各处场强的大小相等球面上各处场强的大小相等SSEdSSdE故：204rqE22044rrq0q+Sdr【课堂练习课堂练习2 2】求以点电荷为球心的一完整求以点电荷为球心的一完整球面的电通量球面的电通量。15三、静电场的高斯定理（三、静电场的高斯定理（Gauss Theorem）穿出任一闭合曲面的电通量等于
6、此闭合曲面所包围穿出任一闭合曲面的电通量等于此闭合曲面所包围的所有电荷的电量代数和除以的所有电荷的电量代数和除以0 0而与闭合面外的电荷而与闭合面外的电荷无关。无关。0SE dSq内即：理论应用：库仑定律理论应用：库仑定律 +叠加原理叠加原理高斯定理证明高斯定理证明思路：先证明一个点电荷的场；思路：先证明一个点电荷的场；然后推广至任意电荷分布的场。然后推广至任意电荷分布的场。161)1)若场源是一个点电荷若场源是一个点电荷qa.a.在该电场中取一包围点电荷在该电场中取一包围点电荷的闭合面的闭合面如闭合面为以该点电荷如闭合面为以该点电荷为中心的球面为中心的球面因因球面球面上各处场强的方向均上各处
7、场强的方向均沿法向沿法向球面上各处场强的大小相等球面上各处场强的大小相等SSEdSSdE故：204rqE22044rrq0q+Sdr17如取包围该点电荷的任意闭合曲面如取包围该点电荷的任意闭合曲面S。在曲面在曲面S上任取一面元上任取一面元Sd 考虑该面元的电通量：考虑该面元的电通量：SdEdSEdSdrq204SqrdSESd rdSr考虑考虑 （亦即（亦即 ）与它在球面上的）与它在球面上的投影截面投影截面dS间的关系。间的关系。dSSd22rdSrSd显然有：d（）立立体体角角dSrqSdE204故SSdSrqSdE2040204qdSrqqrSdSSd r rrEdS2dE dS面元面元
8、的电通量：的电通量：Sd 0面元面元 的电通量：的电通量：Sd SdEd 20dSrqd204同理可得：同理可得：dSrqd204 0 dd0SSdE知：b.b.如所取的闭合面如所取的闭合面S不包围电荷不包围电荷qq 综上所述综上所述，对于一个点电荷，对于一个点电荷q的场，任取一高斯面的场，任取一高斯面S，应有：，应有：SSdE0q0（当（当q在在S内）内）（当（当q在在S外）外）e101dniSiESq 高斯定理高斯定理1 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度.4 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献仅高斯面内的电荷对高斯面
9、的电场强度通量有贡献.2 2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面.5 5）静电场是静电场是有源场有源场(!)(!)3 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.总总 结结1S2S3Sqq1e10dSqES e20,e30q 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三的静电场中，做如下的三个闭合面个闭合面 求通过各闭合面的电通量求通过各闭合面的电通量.,321SSSqq问题问题 将将 从从 移到移到2qABePs点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？2q2qABs1qP*21 库仑定律库仑定律和和高斯定理高
10、斯定理并不是相互独立的定律，而并不是相互独立的定律，而是是用用不同的形式表示的电场与场源电荷关系的不同的形式表示的电场与场源电荷关系的同一规律同一规律（1）库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布；）库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布；（2）高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的 电荷；电荷；（3）当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求）当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求 出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学 上比用库仑定律简便得多；上比用库仑定律简便得多；0
11、SE dSq内1 22014rqqFer22四四.高斯定理的应用高斯定理的应用 在给定的电荷分布具有某种在给定的电荷分布具有某种“高度对称性高度对称性”的情况下，可的情况下，可以十分方便、快捷地利用高斯定理算出各处的电场分布。以十分方便、快捷地利用高斯定理算出各处的电场分布。这里所谓的这里所谓的“高度对称性高度对称性”具体指：具体指：1.1.球对称性球对称性均匀带电球面、均匀带电球面、球体、球体、点电荷；点电荷；2.2.柱对称性柱对称性均匀带电的均匀带电的“无限长无限长”圆柱面圆柱面 圆柱体、圆柱体、细直线；细直线；3.3.面对称性面对称性均匀带电的均匀带电的“无限大无限大”平面、平面、平板。
12、平板。23应用高斯定理解题的一般步骤为：应用高斯定理解题的一般步骤为：(1)(1)分析对称性；分析对称性；(2)(2)根据对称性选择合适的高斯面；根据对称性选择合适的高斯面；(3)(3)确定高斯面所包围电荷的代数和确定高斯面所包围电荷的代数和(4)(4)应用高斯定理计算场强大小，确定方向应用高斯定理计算场强大小，确定方向.24【例例】均匀带电球面均匀带电球面Q总电量为总电量为半径为半径为R求：电场强度分布。求：电场强度分布。分析：分析：根据电荷分布的对称性，根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面选取合适的高斯面(闭合面闭合面)取取过场点过场点P P的、以球心的、以球心 o o 为心为心的球面的
13、球面b b、所有与球心、所有与球心O O距离为距离为r r 的点处的电场大小均相等。的点处的电场大小均相等。a.a.场点场点P P处的电场必沿着与球心处的电场必沿着与球心O O的连线方的连线方向（半径方向）；向（半径方向）；+ORr1Sr2s25 先从高斯定理等式的左方入手先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量先计算高斯面的电通量 Er42SdSESSdESEdS再根据高斯定理再根据高斯定理,解方程解方程204iiqEr Eqrii402+ORr1Sr2s26讨论：讨论：Eqrii402 r R E=4 r0iirRqiirRqQ204 qR rRoE+OR27如何理解面内场强为如何
14、理解面内场强为0?0?过过P P点作圆锥点作圆锥则在球面上截出两电荷元则在球面上截出两电荷元P1dq2dq2211dSdqdSdq在在P P点场强点场强1dqd04210114rdSdE方向如图方向如图2rdSd2dq在在P P点场强点场强220224rdSdE04d方向如图方向如图dEdE12+oxyz【例例】无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度(+ddSSESES 上上底底）下下底底）选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处
15、的电场强度.r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解l(ddSSEESS 柱柱侧侧面面）(dSES 柱柱面面）neneneE+r0l Er02 02lErl SSESE S(dd 柱柱面面）+oxyzlneE+r+【例例】无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度.r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面E 02 对称性分析：对称性分析：垂直平面垂直平面E解解0dSSES +S EES S 02SES 02EEEEEEO
16、)0(x000000讨论讨论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题33 课堂练习：课堂练习：1.如图所示，真空中有一闭合曲面如图所示，真空中有一闭合曲面S内包围若干点电荷，则穿过闭合内包围若干点电荷，则穿过闭合曲面曲面S的电通量为的电通量为 。1230qqq 1q 2q 3q 4q 2.穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。强度必为零。（对？（对？）错错343关于高斯定理的理解有下面几种说法关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的其中正确的是（是（）。（A）如高斯面上）如高斯面上E处处为零处处为零,则该面内必无
17、电荷则该面内必无电荷（B）如高斯面内无电荷）如高斯面内无电荷,则高斯面上则高斯面上E处处为零处处为零（C）如高斯面上如高斯面上E处处不为零处处不为零,则高斯面内必有电荷则高斯面内必有电荷（D）如高斯面内有净电荷）如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零则通过高斯面的电通量必不为零Dq q（A）q2E（BC）4两个平行的两个平行的“无限大无限大”均匀带电平面，其电荷面均匀带电平面，其电荷面密度分别为密度分别为 和和 ，如图所示。，如图所示。设方向向设方向向右为正右为正，则，则A区域的电场强度区域的电场强度 为为 _；B区域的电场强度区域的电场强度 为为 _；C区域的电场强度区域的电场强度
18、 为为 _。2 AECE02CE 032BE BE02AE Er21 ORrE5具有球对称性分布的静电场的具有球对称性分布的静电场的 E r 关系曲线。关系曲线。图图（）静电场的场强静电场的场强E是由半径为是由半径为R的均匀带电球体产生的；的均匀带电球体产生的；图图（）静电场的场强静电场的场强E是由半径为是由半径为R的均匀带电球壳产生的。的均匀带电球壳产生的。qR204 rRoE(A)(B)AB37d（）立立体体角角2Sr闭合球面的立体角？闭合球面的立体角？立体角是以圆锥体的顶点为心，半径为立体角是以圆锥体的顶点为心，半径为1的球面被的球面被锥面所截得的面积来度量的，度量单位称为锥面所截得的面积来度量的，度量单位称为“立立体弧度体弧度”。Sr38Thank you!
