1、电电路路分分析析基基础础目 录CATALOG第6章 相量法 正弦交流电的基本概念正弦量的相量表示法 电路定律的相量形式应用案例 (，)(，)荧光灯照明电路 ()6.16.26.46.3本章知识结构图6.1 正弦交流电的基本概念稳恒直流电的大小和方向均不随时间变化。u、it0方向不随时间变化，大小随时间变化的直流电称脉动直流电。u、it0大小和方向均随时间变化的电压和电流称为交流电。电量的大小和方向均随时间按正弦规律变化的称正弦交流电。直流电的概念交流电的概念6.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的优越性 1 发电、输电、供电以及耗电基本上都发生在正弦稳态的条件下；交流发电机的构造简单、价格便宜
2、，运行可靠既可以实现远距离输电，又能保证安全用电；可以利用变压器升高或降低，这种变换方式既灵活又经济。5非正弦周期交流电路可用正弦交流电路的分析方法分析。2正弦交流电变化平滑，在正常情况下不会引起过电压而破坏电器的绝缘设备。3在一些非用直流电不可的场合，如工业上的电解和电镀等，也可利用整流设备，将交流电转化为直流电。4正弦函数是周期性函数，对其进行加、减、微分、积分等运算后结果仍然为同频率的正弦量，这就简化了正弦稳态电路的分析计算。正弦量的三要素正半周负半周 由同频正弦激励、线性电阻、线性电容、线性电感和线性受控源组成的的电路称为正弦交流电路。图中虚线箭头代表电流的实际方向；代表电压的实际方向
3、(极性)。大小和方向随时间按正弦规律变化的u，i 称为正弦量。正弦量tu,i正弦量的三要素角频率幅值 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角)cos(mtIi波形t i0TIm包括正弦函数sin或余弦函数cos，本书采用cos形式。正弦量变化的大小(3)有效值：与交流电热效应相同的直流的数值定义为交流电的有效值。也叫幅值：Im、Um最大值必须大写,下标加 m。(1)瞬时值：)cos(mitIi波形t i0TIm正弦量对应各个时刻的数值。(2)最大值：正弦量变化过程中的正向振幅。RiRI交流直流则有同理：有效值必须大写 正弦量变化的快慢周期角频率：频率无线通信频率电网频率高频炉频率中频炉
4、频率波形t i0TIm 正弦量变化的进程相位、初相位和相位差 相位)cos(mtIi波形t i0TIm 给出了观察正弦波的起点或参考点。:初相位：表示正弦量在 t=0时的相角。tu,iu iui0 两个同频正弦量间的相位差规定：|(180)等于初相位之差iuiutt)()(则设)cos()(mutUtu)cos()(mitIti特殊相位关系：=0，u 与i 同相：=(180o)，u 与i 反相：tu,i u i0 tu,iu i0 tu,iu i0 =90，u与i 正交 =/2：u 领先 i /2,不说 u 落后 i 3 /2；i 落后 u /2,不说 i 领先 u 3/2。同样可比较两个电压
5、或两个电流的相位差。不同频率的正弦量比较无意义。两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。=2f=23.1450 rad/s=314rad/s 所以i=10cos(314t+60)A6-1已知一正弦电流i的Im=10A，f=50Hz，=60，求电流 i 的瞬时值表达式。i tu,iu iui0)120cos(314210)30sin(314210ttu10V14.142220UI 0 2 t i、uuii、u波形图如图所示。其有效值为50Hz3.1423142fi、u 的频率为18060120iuu、i 的相位差为：)6020cos(314ti)V30sin(314210tu6
6、-2 已知正弦电流为 A，正弦电压为试分别画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率及相位差。)V60311cos(314tu6-3已知正弦电压，试求：(1)角频率、最大值Um和初相位u；(2)在t=0和t=0.001s时，电压的瞬时值；(3)用交流电压表去测量电压时，电压表的读数应为多少？频率f、周期T、0.02s1fT60u155.5V311cos60u64.66V311cos78 )30.001311cos(100u220V2mUU(1)=314rad/s，(2)t=0 时，t=0.001s时，(3)用交流电压表去测量电压时，电压表的读数应为有效值，即Z50H2f，311VmU，1.何谓正
7、弦量的三要素？三要素各反映了正弦量的哪些方面？2.平常我们所说的交流电流多少安培，交流电压多少伏特，是指什么值？3.常用的交流电流表与交流电压表，其读数是指什么值？4.各种电气设备的绝缘耐压值应该以什么值来考虑？正弦量的表示方法6.2 正弦量的相量表示法瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图相量UU ut 0)cos()(mutUtu注意：相量是正弦量的一种表示方法，它们之间是一一对应关系，而相量不等于正弦量。1.复数的表示形式代数式 指数式 极坐标式三角式 ReF FFFbaFje)jsin(cosjImF 复数表示法及运算法则FFab+1j 在复平面上用相量表示 几种表示
8、法的关系：或2.复数的运算：(1)加法运算：+1jF1F2F1F2 F2F1 F211111jFbaF)j()(212121bbaaFF(2)减法运算：)j()(212121bbaaFF(3)乘法运算：)(212121FFFF+1jF1F221FF (4)除法运算：)(212121FFFF21FF作图方法：首尾相连 平行四边形22222jFbaF6-4 已知F1=8 j6，F2=3+j4。试求：(1)F1 F2；(2)F1 F2；(3)F1F2；(4)F1/F2。(1)F1+F2=(8 j6)+(3+j4)=11 j2=11.18/10.3(2)F1 F2=(8 j6)(3 j4)=5 j10
9、=11.18/63.4(3)F1F2=(10/36.9)(5/53.1)=50/16.2(4)F1/F2=(10/36.9)(5/53.1)=2/90 1.正弦量的相量表示相量：表示正弦量的复数称相量。ee2Ree2Re)cos(2)cos()(jj)j(mttiiiiIItItIti)(cosmitIi设正弦量：电流的有效值相量相量表示：相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角iIIIije相量表示法电压的幅值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:)(cosmitIi？=(2)只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相
10、量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角UeUUmjmm 或：i IImjme2.相量图及参考相量 相量图：把相量表示在复平面的图形。+1+j 0(3)相量的书写方式 模用最大值表示，则用符号：mmI U、(2)相量的两种表示形式 相量图：把相量表示在复平面的图形。实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、如：已知)V45(cos220otuVe220j45m UVe2220j45 U则或)jsincos(ejUUUU 相量式：3.旋转因子及旋转相量ttttjsincos1ej(1)旋转因子IIje(2)旋转相量若：有向线段长度 =有向线段以速度 按逆时针方向旋转 则：该旋转有向线段每
11、一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角=初相位i0+1+j0it 0“j”的数学意义和物理意义设相量旋转 因子：90+j，j，-1 都可以看成旋转因子。1)jsin()cos(e)j(相量 乘以 ，将顺时针旋转 ，得到90相量 乘以 ，将逆时针旋转 ，得到90+1+j0A-BAV0110A455A301021UII)A30cos(3142101ti相量表达式为瞬时值表达式为：应用举例 6-5 在图示相量图中，己知I1=10A，I2=5A,U=110V，f=50Hz，试分别写出它们的相量表达式和瞬时值表达式，并说明它们之间的相位关系。)A45cos(314252ti
12、)Vcos(3142110tu 超前2i45u1i30u滞后,。4530-1.同频率正弦量相加减)e2Re()cos(2)()e2Re()cos(2)(j2222j1111ttUtUtuUtUtu正弦量运算的相量形式故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。i1 i2=i3321 III )e(2Re()e2e2Re()e2Re()e2Re()()()(j21j2j1j2j121tttttUUUUUUtututu 可得其相量关系为：如：V)60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要
13、作用，尤其适用于定性分析。V604V 306o2o1 UUV )9.41314cos(264.9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9.41UReIm9.41301U602UU首尾相接j3.462j35.19j6.467.19 V 9.4164.9o 602U 2.正弦量的微分 )cos(2iiIItIi)2cos(2 )sin(2 )cos(2ddddiiitItItIttiIItiij)2(dd微分运算:3.正弦量的积分 )cos(2iiIItIi IItiij)2(d积分运算:)2cos(2 )sin(2 )cos(2ddddiiitItItItti
14、(1)把时域问题变为复数问题；(2)把微积分方程的运算变为复数方程运算；(3)可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；应用举例 j4.226)(9.063j3.657)(3.4125104752.6112.48j0.56912.47?25104756-6 计算由此可见，正弦量用相量表示，可以使正弦量的运算简化。相量法的优点1.为什么要用相量表示正弦量？2.相量与正弦函数之间存在什么对应关系？3.为什么要学习相量？电路的相量是怎么得出来的？4.复数的表示形式有几种？它们之间如何转换？如何进行复数运算？6.3 电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式电路中基本元件的相量形式时域形式：相量形
15、式：相量模型R+-UR u相量关系：tu i0 u=i同相位uR(t)i(t)R+-时域模型有效值关系相位关系UR=RI u=i2.电感：时域形式：ttiLtud)(d)(i(t)u(t)L+-时域模型u 超前 i 90i 滞后u 90 o0 IIUI相量图相量形式：感抗:XL=L=2 fL单位:欧姆U=LI u=i+有效值关系 90相位关系2iuLIUj L相量模型+-UI3.14101050223LfLX22.5A3.1412100LXUI3140101010502233fLXL22.5mA314012100LXUI通过线圈的电流为：当 f=50kHZ 时 通过线圈的电流为：可见，电感线圈
16、能有效阻止高频电流通过。例：V100cos)(ttu6-7 一个L=10mH的电感元件，其两端电压为当电源频率为50HZ与50kHZ时，求流过电感元件的电流I。，当 f=50HZ 时解：相位关系:i 超前u 90u 滞后i 90o0UU3.电容时域模型i(t)u(t)C+-UI相量图相量模型IU+-Cj1相量形式：容抗：1jj1ICICU CXC1时域形式：ttuCtid)(d)(ttiCtu)d(1)(ICU121iuICU u=i有效值关系-90相位关系4.受控源：对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。ik=0+-+-ukujij+-+-0 kIjU jI
17、 kU 在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用。同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：基尔霍夫定律的相量形式 流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。表明表明应用举例 例：解：V,21010A,S2UIISU6-8 图示正弦稳态电路中，求电流和电压，并画出电路的相量图。j10V10j1j2IUabA4521010j1021IIIj10A11abUI电流1IabU2ISUILU45-A0102I为参考相量，即，则ab两端的电压相量为 设 2Iab
18、SU1I2Ij1-1+-Ij L222)(101)10()210(LLXXV45210j55 101)j10(jSLLabLXXUIXULLabLXXUIXU101)j10(jS 由KVL，得 V210SU 根据已知条件：21LX 从中解得1IabU2ISUILU45-abSU1I2Ij1-1+-Ij L1.为什么要用相量表示正弦量？2.如何理解电容元件的“通交隔直”作用？3.直流情况下，电容的容抗等于多少？容抗与哪些因素有关？4.电感和电容在直流和交流电路中的作用如何？6.4 应用案例：荧光灯照明电路 荧光灯照明电路主要由灯管、镇流器、启动器等元件组成，如图所示。一、正弦量：包括正弦函数si
19、n和余弦函数cos，本书采用cos形式。1.正弦量的三要素（瞬时值表达式）：)cos()(tFtfm -初相位（角）,度（）Fm -最大值 -角频率，rad/sTf2 2设电流量:i(t)=Imcos(t+)Im ti(t)=Imcos(t+)i波形图T0 最大值有效值2.同频率正弦量的相位差：设u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)相位差 =(t+u)-(t+i)=u-i)j()(212121bbaaFF3.复数的表示形式及计算：)(212121FFFF)(212121FFFFFFFbaFje)jsin(cosjiII 有效值相量：uUU4.最大值相量：ummUUim
20、mIIjFFab+1 参数LXLjjtiLuddLtuCiddCR基本关系iRu 阻抗R相量式相量图二、电路定律的相量形式1.基尔霍夫定律的相量形式：0 0)(0 0)(UtuIti2.电路元件的相量形式VCR关系：ICUtiCuILU tiLuIRURiuj1d1jdd由相量形式可写出时域形式的正弦量的瞬时值表达式，为6-1已知 试用相量表示u 和 i。，A)cos(.0303144141ti，最大值相量V.0601311mUA.0304141mI有效值相量V060220UA030100 I6-2 已知试写出正弦量的瞬时值表达式。A01550I，Hz50f，V06550mU，A)cos(01
21、5314250tiV)cos(06531450tuV)cos(.0603141311tuf2角频率：314 rad/s/6)Acos(31422ti正弦量函数式：波形图如下图所示。o30i6-3 已知正弦电流的I=2A，f=50HZ，求该正弦量的最大值、角频率；写出该电流的正弦量函数式；画出其波形图。A22mI最大值：V41.99.67j6.4647.196j3.4642j35.196V6043060oo21UUU6-4 V)cos()(013031426ttu已知，V)cos()(026031424ttu，求)()()(tututu21。V).cos(.)()()(0219413142679
22、ttututu6-5 判断正误A2010I(2)A1025)10cos(31425ti(1)iuXL(3)jLIU(4)把一个0.1H的电感接到 f=50Hz，U=10V的正弦电源上，求I。如保持U不变，而电源 f=5000Hz，这时I为多少？(1)当 f=50Hz 时31.40.1503.1422 fLXL 318mA31.410LXUI(2)当 f=5000Hz 时31400.150003.1422 fLXL3.18mA314010LXUI所以电感元件具有通低频阻高频的特性。6-7 电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少？判断下列表达式的正误。？RUi(1)RUI？(2)？(3)RU
23、im Rui(4)？6-8 纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。LXui(1)？LUI(2)？Lui(3)？LUIm(4)？6-9 纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。CXui(1)？CUI(2)？Cui(3)？CUIm(4)？6-10 图示正弦交流电路，已标明电流表A1和A2的读数，试用相量图 求电流表A的读数。Aj1090102IA4514.14j101021III+-AA1U I1 I2 ILjRA210A10A(a)0UU设(a)A0101I1 I2 I I0U3ACj1+-AA1U I1 I2 IRA24A(b)1I2II0Uj3A9031IA375j3421III0UU设(b)A042I 希望同学们对本章内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。希望同学们对本章内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。
