1、第三章第三章 正弦稳态电路的相量分析法正弦稳态电路的相量分析法3.1 3.1 正弦稳态交流电路的基本概念正弦稳态交流电路的基本概念3.2 3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3 R3.3 R、L L、C C各元件的相量模型各元件的相量模型3.4 3.4 复阻抗、复导纳及正弦电路的相量分析法复阻抗、复导纳及正弦电路的相量分析法3.5 3.5 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.6 3.6 谐振电路谐振电路3.7 3.7 三相电路三相电路3.8 3.8 互感耦合电路互感耦合电路直流电路直流电路3.1 3.1 正弦交流电路的基本概念正弦交流电路的基本概念正弦正弦交流电路波形交流电路波形
2、tu iO+t OU/I一一.正弦量的三要素正弦量的三要素1.1.几个概念几个概念正弦量正弦量正弦量的瞬时值正弦量的瞬时值正弦量的波形正弦量的波形正弦量的解析式正弦量的解析式正弦电压正弦电压u(t)u(t)的解析式为的解析式为正弦电流正弦电流i(t)i(t)的解析式为的解析式为)sin()(umtUtu)sin()(imtIti.振幅振幅正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值。正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值。振幅规定用大写字母并加下标振幅规定用大写字母并加下标m表示，为正值。表示，为正值。Um(或或 Im m)2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素振幅、角频率、初相位振幅、角频率、初相位
3、.周期、频率和角频率周期、频率和角频率周期周期T T 正弦量完成一个循环所需的时间。正弦量完成一个循环所需的时间。单位：单位：s s。2mUU 2mII 正弦电压有效值正弦电压有效值正弦电流有效值正弦电流有效值TtRuTRU022d常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。频率频率f f 正弦量每秒内变化的次数，单位：正弦量每秒内变化的次数，单位：HzHz。角频率角频率 正弦量在单位时间内变化的弧度，单位正弦量在单位时间内变化的弧度，单位rad/srad/s)(sin)sin()(umumTtUtUtufT22Tf1*电网频率：电网频率：中国中国 50 Hz
4、美国美国、日本日本 60 Hz 小常识小常识*有线通讯频率有线通讯频率：300-5000 Hz*无线通讯频率无线通讯频率：30 KHz-3104 MHz正弦零值：正弦零值：靠近计时起点最近的，靠近计时起点最近的，负值向正值变负值向正值变 化所经过的零值。化所经过的零值。.初相初相相位：相位：t初相：初相：，规定，规定若零值在坐标原点左侧，若零值在坐标原点左侧，00若零值在坐标原点右侧，若零值在坐标原点右侧，00iIm ti(t)=Imsin(t+i)i波形图波形图t一般一般i0i=/20i=-/20ii0i=00表表明明1 1与与2 2反反相相表表明明1 1与与2 2正正交交表表明明1 1与与
5、2 2同同相相角角表表明明1 1滞滞后后2 2角角表表明明1 1超超前前2 22 20 00 00 0两个两个同频率同频率正弦量的相位之差。正弦量的相位之差。2121)()(tt相位差：相位差：二二.相位差相位差0ii1 ti2i1比比 i2超前超前i1i2t=+/2 tiOi1i2i3i1 与与 i3 反相反相i1 与与 i2 同相同相例例b b超前与落后是相对的。一般限定相位差在超前与落后是相对的。一般限定相位差在2 2 范范围内，取围内，取 。a a只有同频率的正弦信号才可以比较相位只有同频率的正弦信号才可以比较相位注注 意意AtiVtu)45sin(210,)235sin(2220已知
6、已知求求u u和和i i的初相及两者间的相位关系。的初相及两者间的相位关系。VtVtu)125sin(2220)235sin(2220解解所以电压所以电压u u的初相为的初相为-125-125,电流电流i i的初相为的初相为4545。017045125iuui表明电压表明电压u u滞后于电流滞后于电流i i 170170。3.2 3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示一一.复数的表示形式及运算规则复数的表示形式及运算规则1.1.复数复数 jbaA )(abarctanbaAr22rsinbrcosabaO j 1PrA2.2.复数的表示形式复数的表示形式 (1)(1)代数形式代数形式 jba
7、A(2(2)三角函数形式三角函数形式sincosjrrA(3(3)指数形式指数形式jreA(4(4)极坐标形式极坐标形式 rA（2 2）复数的乘除法）复数的乘除法3.3.复数的运算法则复数的运算法则 （1 1）复数的加减法）复数的加减法)()(2121bbjaaBA)()(2121221121212211rrrrBArrrrBA设设2222211111rjbaArjbaA二二.正弦量的相量表示正弦量的相量表示1.1.正弦量的相量表示形式正弦量的相量表示形式)sin(2)cos(2)(2)(iiitIjtItIti)sin(2)(itItiiII造一个复函数造一个复函数)sin(2)(itIti
8、iII还原时应将还原时应将时间项加上时间项加上()2sin()uuu tUtUU 例例.试写出电流的瞬时值表达式试写出电流的瞬时值表达式解：解：A)15314sin(250oti.50Hz A,1550 fIo已已知知已知已知例例.试用相量表示试用相量表示 i i,u u 。)V6014t311.1sin(3A)30314sin(4.141oouti解：解：V60220A30100oo UI2.2.相量图相量图相量图：把画在同一复平面上表示正弦量相量的相量图：把画在同一复平面上表示正弦量相量的 图称为相量图。图称为相量图。Attention:相位的幅角应以逆时针方向的角度为相位的幅角应以逆时针
9、方向的角度为正，顺时针方向的角度为负。正，顺时针方向的角度为负。VUAI452222030253021030O j 145UIe.g.相量只是相量只是表示表示正弦量，不是等于正弦量。正弦量，不是等于正弦量。只有正弦量只有正弦量才能用相量表示；才能用相量表示；只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上；的正弦量才能画在同一相量图上；注意Review:正弦量的表示方法正弦量的表示方法e.g.)sin()(imtIti正弦电流正弦电流正弦量解析式（瞬时值表达式）正弦量解析式（瞬时值表达式）正弦量的波形图正弦量的波形图iIm ti相量表示相量表示R1R2R3ui1i2i3e.g.()2sin()
10、uuu tUtUU()2 sin()iii tItII 相量图相量图O1jUu u1Uu ui iI相量和复数一样可以在复平面上用有向线段表示相量和复数一样可以在复平面上用有向线段表示瞬时值瞬时值-小写小写u、i有效值有效值-大写大写U、I最大值最大值-大写大写+下标下标Um、Im相量相量-大写大写+“+“”U符号说明符号说明)sin(2)sin(2)sin(2iuutItRURuitUu3.3 R3.3 R、L L、C C各元件的相量模型各元件的相量模型一一.电阻元件电压、电流关系的相量形式电阻元件电压、电流关系的相量形式 uiR根据欧姆定律根据欧姆定律 iRu 则则 设在电阻元件的交流电路
11、中，电压、电流参考方设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。向如图所示。RUI Ra.频率相同频率相同b.初相相同初相相同c.有效值关系有效值关系：IRU d.相量关系相量关系：uiuiRUI(c)相量图相量图二二.电感元件电压、电流关系的相量形式电感元件电压、电流关系的相量形式tiLudd 基本基本关系式关系式：设设)sin(2itIi)sin(2)90sin(2)(cos2ddiuiitUtLItLItLu 设在电感元件的交流电路中，电压、设在电感元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。电流参考方向如图所示。iuLLUj LI a.频率相同频率相同b.初相关系初相关系c
12、.有效值关系有效值关系：LIUd.相量关系相量关系：090uiiuL(a)纯电感电路纯电感电路jL(b)相量模型相量模型IUIU1(c)相量图相量图i复阻抗：复阻抗：在交流电路中，电压相量与电流相量的比在交流电路中，电压相量与电流相量的比 值值,简称阻抗，用简称阻抗，用Z Z 表示，单位表示，单位（欧）。（欧）。举例举例电感的阻抗电感的阻抗Z ZL L为为LUZj LI LXL电感阻抗的模电感阻抗的模 称为称为感抗感抗，用，用X XL L表示表示LZLLUjX I所以所以三三.电容元件电压、电流关系的相量形式电容元件电压、电流关系的相量形式基本关系式基本关系式:tuCidd设：设：)sin(2
13、utUu则：则：设在电容元件的交流电路中，电压、设在电容元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。电流参考方向如图所示。)sin(2)90sin(2)(cos2ddiuutItCUtUCtuCiu ui iC C1CUjIC a.频率相同频率相同b.初相关系初相关系c.有效值关系有效值关系：ICU1d.相量关系相量关系：090uiu ui iC C(a)纯电容电路纯电容电路-jXC(b)相量模型相量模型IUIU1(c)相量图相量图u电容的阻抗电容的阻抗Z ZC C为为CjIUZC1CXC1电容阻抗的模电容阻抗的模 称为称为容抗容抗，用，用X XC C表示表示CZCCUjXI 所以所以CCU
14、jX I电容电路电容电路 在正弦交流电路中，若正弦量用相量在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，表示，电路参数用复数阻抗（电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。似。IU、,CLRRCjXLjX 电阻电路电阻电路RUIRLLUjX I电感电路电感电路复数形式的欧姆定律复数形式的欧姆定律电路电路电压和电流的大电压和电流的大小关系小关系相位关系相位关系阻抗阻抗相量相量关系关系电阻电阻R R 感抗感抗容抗容抗U.I.iuLU.I.iuCU.I.iuIRU LIXLIUIXCIUC1LXLCXC1RUIRLLUjX ICC
15、UjX I总结总结3.4 3.4 复阻抗、复导纳及简单正弦电流电复阻抗、复导纳及简单正弦电流电路的分析路的分析一一.复阻抗、复导纳及阻抗的串、并联复阻抗、复导纳及阻抗的串、并联1.1.复阻抗复阻抗Z Z，单位单位（欧姆）（欧姆）RZRLjZLRYR1CjYCCjZC1LjYL12.2.复导纳复导纳Y Y：复阻抗的倒数复阻抗的倒数，单位单位S S（西门子）（西门子）Z1U2UUnZ2Zn.U1.I.ZIZZZIZIZIZIUUUUnnn )(2121213.3.阻抗串联阻抗串联+ZIU（a a）多阻抗多阻抗串联电串联电路路（b b）等效电等效电路路 nkknZZZZZ1214.4.阻抗并联阻抗并
16、联YUYYYUZUZUZUIIIInnn )(212121 nkknYYYYY121+ZIU（b b）等效电路等效电路（a a）多阻抗多阻抗并联电并联电路路I1I2IZ1nIUZ2Zn二二.简单正弦交流电路的分析简单正弦交流电路的分析1.1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）EeIiUuXCXLRRCL j j 、2.2.根据相量模型列出相量方程式或画相量图根据相量模型列出相量方程式或画相量图3.3.用复数进行相量运算或相量图求解用复数进行相量运算或相量图求解4.4.将结果变换成要求的形式将结果变换成要求的形式 在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示
17、，电路在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、参数用复阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：公式、分析方法都能用。具体步骤如下：Review:1.元件的相量模型：元件的相量模型：电阻电阻电感电感电容电容CCUjX I RUIRLLUj X IuiUIR90uiULI 90uiIUC复阻抗：复阻抗：RZRLjZLCjZC1UIUIUIjL电感相量模型电感相量模型IU电阻相量模型电阻相量模型-jXC电容相量模型电容相量模型IU2.阻抗的串、并联：阻抗的串、并联：串联串联并联并联 nkknZZZZZ121 nkknY
18、YYYY121例例3-3 电路如图所示，端口电压为电路如图所示，端口电压为 ，试求各，试求各支路电流及电压。支路电流及电压。V0127oUo0(0.5j1.5)1.58 71.6Z 电路的等效复阻抗为：电路的等效复阻抗为：21210ZZZZZZooo00o11.314510.12 37.8114.57.28j88j6.216.16.4ZZ oo07.110.80.5j1.57.11j0.17.61j1.47.74 10.4Z解解 图中注明的各段电路的复阻抗为：图中注明的各段电路的复阻抗为：o2(8j6.2)10.12 37.8Z o1(8j8)11.3145Z 电路的总电流为：电路的总电流为：
19、ooo127 016.410.4 A7.74 10.4UIZ各支路电流为：各支路电流为：ooo21o1210.12 37.816.410.410.3 33.8 A16.16.4ZIIZZooo12o1211.314516.410.411.549 A16.16.4ZIIZZ各支路电压为：各支路电压为：ooo001.58 71.616.410.425.9 61.2 VUZ Iooo11111.314510.3 33.8116.511.2 VUZ I利用相量图求结果利用相量图求结果下图中已知：下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：求：A、UO 的读数的读数AAB C25 j5UOC1 10
20、j1I2II例例解解利用相量图求解利用相量图求解设：设：V0100ABUABU2I 45由已知由已知条件得：条件得：10A1I、领先领先 901I2IA21055100222IABU 45落后于落后于I=10 A、UO=141V由图得：由图得：21IIIABCoUUU1求：求：A、UO的读数的读数已知：已知：I1=10A、UAB=100V，UC1=I XC1=100VuC1落后于落后于 i 901CUOUIAAB C25 j5UOC1 10j1I2II3.5 3.5 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率一一.瞬时功率和平均功率瞬时功率和平均功率1.1.瞬时功率瞬时功率 p p(t)(t)i图图
21、 正弦二端网络正弦二端网络 2 sinii tIt 2sinuu tUt ()2sin()sin()coscos(22)uiup tu t i tUIttUIUIt 式中，式中，是二端网络端电压与端电流是二端网络端电压与端电流的相位差。的相位差。ui 则则2.2.平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）平均功率平均功率是指周期性变化的瞬时功率在一个周期是指周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，用内的平均值，用P表示表示,单位是瓦（单位是瓦（W W）。）。dttpTPT0)(101coscos 2TuiUItdtT UIUIcoscos讨讨 论论a.a.二端网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个
22、电阻二端网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻()cos2()up tUIUIt 瞬时功率瞬时功率平均功率平均功率RURIUIP22p(t)0，电阻是耗能元件。，电阻是耗能元件。i ()2sin()sin()coscos(22)uiup tu t i tUIttUIUIt b.b.二端网络是一个电感或电容，或其等效阻抗为二端网络是一个电感或电容，或其等效阻抗为 一个电抗一个电抗()sin2()LuptUIt 瞬时功率瞬时功率平均功率平均功率0)90cos(0UIP()sin2()CuptUIt 电容、电感不消耗能量，只和电源进行能量电容、电感不消耗能量，只和电源进行能量 交换。交换。()2si
23、n()sin()coscos(22)uiup tu t i tUIttUIUIt 设设 ，二二.复功率、复功率、视在功率和无功功率视在功率和无功功率i图图 正弦二端网络正弦二端网络1.1.复功率复功率uUUiII()uiSU IUIUI iII 复功率复功率2.2.视在功率和无功功率视在功率和无功功率jQPjUIUIUISsincos无功功率无功功率 ：它反映了电源与二端：它反映了电源与二端网络内储能元件之间能量交换情况，单位网络内储能元件之间能量交换情况，单位Var（乏）（乏）sinUIQ 视在功率视在功率 ：它表征一个电气设备的：它表征一个电气设备的功率容量，单位功率容量，单位VA(VA(
24、伏安伏安)UISS3.3.功率因数的提高功率因数的提高为什么要提高功率因数？为什么要提高功率因数？增大有用功率，提高电源设备容量的利用程度。增大有用功率，提高电源设备容量的利用程度。如如 一台一台1000kVA的发电机的发电机=1时时输出功率输出功率 1000kW=0.7时时输出功率输出功率 700kWcosUPI负载的功率因数过低负载的功率因数过低,在供电线上引起较大的能量在供电线上引起较大的能量损耗和线路压将增大。损耗和线路压将增大。在一定的电压下在一定的电压下,向负载输送一定的有功功率时向负载输送一定的有功功率时P线线=I2RU线线=IR（2 2）提高功率因数的方法提高功率因数的方法22
25、SPQ视在功率视在功率1.1.避免或尽量减少轻载或空载避免或尽量减少轻载或空载2.2.给感性负载并联一个电容器，比如：日光灯电路给感性负载并联一个电容器，比如：日光灯电路3.6 3.6 谐振电路谐振电路 谐振，是正弦交流电路中一种物理现象，它在电工和谐振，是正弦交流电路中一种物理现象，它在电工和电子技术中得到广泛应用，但它也可能给电路系统造成危电子技术中得到广泛应用，但它也可能给电路系统造成危害。因此，研究电路的谐振现象，有着重要的实际意义。害。因此，研究电路的谐振现象，有着重要的实际意义。在含有电感和电容的交流电路中，若调节电路的参数或电在含有电感和电容的交流电路中，若调节电路的参数或电源的
26、频率，使电路中的电流与电源电压同相位，称这时电路中源的频率，使电路中的电流与电源电压同相位，称这时电路中发生了发生了谐振谐振现象。现象。按发生谐振电路的不同，谐振现象分为按发生谐振电路的不同，谐振现象分为串联谐振串联谐振和和并联并联谐振谐振。本节讨论串联谐振与并联谐振的本节讨论串联谐振与并联谐振的条件和特征条件和特征。一一.RLC.RLC串联谐振电路串联谐振电路1.1.谐振条件谐振条件LCff 210谐振条件谐振条件谐振频率谐振频率 +L L +u uC CR Ri iu uL Lu uC Cu uR R +)1(CLjRZZZZCLR 当当 时时u u与与i i 同相，这时称电同相，这时称电
27、 路发生了路发生了串联谐振串联谐振。CL1LC10谐振电路的特性阻抗谐振电路的特性阻抗CLCL/)/(100 IRj L+_Cj1 U+_RU LU CU .).1(同相同相与与 IU2.2.串联谐振的特点串联谐振的特点(2).(2).阻抗最小、电流最大阻抗最小、电流最大 Z Z=R R 最大谐振电流最大谐振电流 I I0 0=U/R (U=U/R (U一定一定)。cos1,=0Q无功功率X()|Z()|XL()XC()R 0 Z()ORUZUISS设电源电压为设电源电压为 ,则电路谐振时的电流为则电路谐振时的电流为SUSSLUjQURLjILjU00SRUIRU式中式中 ，称为串联电路的品质
28、因数，称为串联电路的品质因数RRCRLQ001SSCUjQURCjICjU0011R R、L L、C C上的电压分别为上的电压分别为(3).(3).串联谐振时各元件的电串联谐振时各元件的电压压SSLUjQURLjILjU00SSCUjQURCjICjU0011 谐振电路的谐振电路的Q Q值一般在值一般在5050200200之间，即使外加之间，即使外加电压不是很高，谐振时电感和电容上的电压仍然可电压不是很高，谐振时电感和电容上的电压仍然可能很大，引起电气设备的损坏。因此，在电力系统能很大，引起电气设备的损坏。因此，在电力系统中必须在选择电路参数中必须在选择电路参数L L和和C C，避免发生串联谐
29、振。，避免发生串联谐振。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。(4)4)谐振时的功率谐振时的功率P=UIcos UI0RI02=U2/R电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源不向电路输送无功。电电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。进行能量交换。+_PQLCR二二.RLC.RLC并联谐振电路并联谐振电路电路等效复阻抗为电路等效复阻抗为111jjj()RLCYYYYCGCRLL 01LC LCf
30、f210谐振条件谐振条件谐振频率谐振频率2.2.并联谐振的特点并联谐振的特点(1).(1).阻抗最大、端电压最大阻抗最大、端电压最大 SSRIIZUSS0011jjjLIUIQ ILLG 0CLII00SSjjjCCICUIQ IG 式中式中Q Q称为并联谐振电路的品质因数：称为并联谐振电路的品质因数：0011CCQLGGGL(2).(2).并联谐振时各元件上的电流并联谐振时各元件上的电流3.7 3.7 三相电路三相电路一一.三相电源三相电源 可以提供三个幅值相等、频率相同而相位互可以提供三个幅值相等、频率相同而相位互不相同的正弦电压为不相同的正弦电压为三相电源三相电源。由这种电源供电的电路叫
31、做由这种电源供电的电路叫做三相交流电路三相交流电路，简，简称称三相电路三相电路。我们把幅值相等，频率相同，彼此之间的相我们把幅值相等，频率相同，彼此之间的相位差角相差位差角相差120120的三个电源称为的三个电源称为对称三相电源对称三相电源。A AX XY YC CB BZ ZS SN N定子定子转子转子 定子中放三个线圈定子中放三个线圈：A A X XB B Y YC C Z Z首端首端末端末端三线圈空间位置三线圈空间位置各差各差120120o o 转子装有磁极并以转子装有磁极并以 的速度旋转。三个的速度旋转。三个线圈中便产生三个单相电动势线圈中便产生三个单相电动势。1.1.三相电动势三相电
32、动势三相电动势的特征：三相电动势的特征：大小相等，频率相同，相位互差大小相等，频率相同，相位互差120240sin120sinsintEetEetEemZCmYBmXA)120sin(tEmAEBECE三相电动势的相量关系：三相电动势的相量关系：EmBeAeCe0CBAEEE1201200EEEEEECBA2.三相交流电源的星形连接三相交流电源的星形连接AeCeBeAXYCBZNCe（中线中线）（火线火线）（火线火线）（火线）火线）ceBeAXYCBZNAe三相四线三相四线制供电制供电火线（相线）火线（相线）:ABC中线（零线）：中线（零线）：N 3.三相电源三相电源星形接法的两组电压星形接法
33、的两组电压CBAeCueBueAu相电压相电压：火线对零线间的电压。：火线对零线间的电压。OPCOPBOPAUUUUUU2401200CeceBeACBNAe120O120O120OAUBUCUAuBuCu线电压线电压：火线间的电压。：火线间的电压。ACCACBBCBAABUUUUUUUUUABuBCuCAuCABCABuuuCABN注意规定的注意规定的正方向正方向线电压和相电压的关系线电压和相电压的关系BUABUBUAUCU30OBABAABUUUUUOAABUU30330 330 3CACCABCBBCUUUUUUUU 同同理：理：330ABABAUUUUBUAUCUABUBCUCAU线电压与相电压的通用关系表达式：线电压与相电压的通用关系表达式：30 3plUUlU pU-为相电压为相电压 -为线电压为线电压在日常生活与工农业生产中，多数用户的电压等级为在日常生活与工农业生产中，多数用户的电压等级为VUVUlP380 ,220
