1、第第8章章 频率响应及信号的频谱频率响应及信号的频谱n8.1 谐振n8.2 频率特性n8.3 非正弦周期电路与频谱1.掌握掌握RLC串、并联电路谐振的条件、固有频率串、并联电路谐振的条件、固有频率及谐振时电路的性质；及谐振时电路的性质；2.掌握二阶电路中，不同对象作为响应时的电路掌握二阶电路中，不同对象作为响应时的电路幅频特性和相频特性的分析方法；幅频特性和相频特性的分析方法；3.了解通频带的概念和滤波器的原理；了解通频带的概念和滤波器的原理；4.初步掌握非正弦稳态电路的分析方法。初步掌握非正弦稳态电路的分析方法。8.1 谐振谐振 n谐振是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。在无谐振是正弦稳态电
2、路的一种特定的工作状态。在无线电、通信工程等弱电系统中常利用电路的谐振构线电、通信工程等弱电系统中常利用电路的谐振构成选频电路，而在强电系统中往往要避免谐振的发成选频电路，而在强电系统中往往要避免谐振的发生。最常见的谐振电路为串联谐振和并联谐振。生。最常见的谐振电路为串联谐振和并联谐振。含含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。定义：定义：R,L,C电路电路UIZIU 发生谐振发生谐振RjXR 1 RLC串联谐振串联谐振 1()Z jRjLC输入阻抗输入阻抗jRX当当
3、 时电路发生谐振，即时电路发生谐振，即0X 1 0 LC01LC 0 0：谐振角频率，：谐振角频率，与电路参数有关与电路参数有关001122fLCf0 0：谐振频率：谐振频率（或固有频率）（或固有频率）串联电路实现谐振的方式：串联电路实现谐振的方式：(1)L C 不变，改变不变，改变 或或f(2)电源频率不变，改变电源频率不变，改变 L 或或 C(常改变常改变C)。0由电路参数决定，一个由电路参数决定，一个R L C串联电路只有一个串联电路只有一个对应的对应的0,当外加电源频率等于谐振频率时，电路发当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。生谐振。LC10串联谐振的特点串联谐振的特点（1）电
4、路的）电路的电流有效值最大电流有效值最大，消耗的平均功率最大消耗的平均功率最大 ZR阻抗呈阻性，阻抗值最小阻抗呈阻性，阻抗值最小UUIZR（2）01,LC谐振频率仅与谐振频率仅与L，C有关，而与有关，而与R，U无关。无关。（3）LC上上的电压大小相等，相位相反，的电压大小相等，相位相反，LC串联串联总电压为零，总电压为零，也称电压谐振，即也称电压谐振，即LU CU RU I0LCUU001 LC RUULC相当于短路相当于短路谐振时：谐振时：（4）品质因数）品质因数Q0011LLQRCRRC定义反映电路的选择性能的重要指标定义反映电路的选择性能的重要指标品质因数：品质因数：R001LLCC令令
5、：称为特性阻抗称为特性阻抗则则：00LLUjLIjUjQUR0011CUjIjUjQUCCR LCUUQU当当 =0L=1/(0C)R，即，即 Q1 时，时，UL=UC U 由于由于UU UCL 可能会击穿电感或电容的可能会击穿电感或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振。振。如如Q=100,U=220V,则在谐振时则在谐振时22000VQUUUCL所以电力系统应避免发生串联谐振。所以电力系统应避免发生串联谐振。但在无线电工程上，常利用串联谐振，以获得比输但在无线电工程上，常利用串联谐振，以获得比输入电压大许多倍的电压，或达到选择信号的作用
6、。入电压大许多倍的电压，或达到选择信号的作用。应用举例应用举例接收机的输入电路接收机的输入电路L1：接收天线线圈：接收天线线圈LC：组成谐振电路：组成谐振电路 为来自为来自3个不同电台个不同电台(不同频率不同频率)的电压信号；的电压信号；210uuu、调调C，对，对所需信号所需信号频率产生频率产生串联谐振串联谐振CLR0u1u2u1f2f3f等效电路等效电路+-CuQUUIIC max0最大最大则则1LC电路图电路图L（5）谐振时的电容电感的功率和能量）谐振时的电容电感的功率和能量 P=UIcos UIRI2=U2/R，表明表明:电源向电阻提供能量，电源向电阻提供能量，电阻功率达最大。电阻功率
7、达最大。0sinCLQQUIQ LCQQ 表明表明:电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。1）功率）功率(5)谐振时的能量关系谐振时的能量关系222m011cos22CCWCuLIttICLtCIuC0mo00mcos)90sin(222m011sin22LWLiLIttUu0msin设设tItRUi0m0msinsin则则电场能量电场能量磁场能量磁场能量总能量：总能量：222002222221(sincos)21122LCmmCmCWWWLIttLICULIC
8、UCQ U总能量是不随时间变化的常量总能量是不随时间变化的常量C的电场能量和的电场能量和L的磁场能量作周期振荡性的交换的磁场能量作周期振荡性的交换22m01cos2CWLIt22m01sin2LWLIt22WCQ U Q越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的“品质品质”愈好愈好16.2R 0.26LmH100pF10 V10 V【例【例8.28.2】一线圈与电容串联，线圈电阻一线圈与电容串联，线圈电阻电感电感，当把电容调节到，当把电容调节到时发生时发生电容电压电容电压；（；（3）若外加
9、电压仍为）若外加电压仍为但其频率比谐振但其频率比谐振串联谐振，（串联谐振，（1）求谐振频率及品质因数）求谐振频率及品质因数；（2）设外加电压）设外加电压为为其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流及其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流及频率高频率高10%求电容电压。求电容电压。解：等效为解：等效为RLC串联电路（串联电路（1）谐振频率及品质因数为）谐振频率及品质因数为 3031211990 10 Hz220.26 10100 10fLC330022 990 100.26 1010016.2Lf LQRR（2）谐振时的电流及电容电压为）谐振时的电流及电容电压为ARUI617.010617.0
10、2.161010660VQUUC36101010100（3）电源频率比谐振频率提高）电源频率比谐振频率提高10%时时 30(10.1)1089 10ffHz31211146021089 10100 10CXC3321089 100.26 101780LXL2222()16.2(17801460)320LCZRXXVZUXIXUCCC4610456.032010101460当电源频率当电源频率偏离电路的偏离电路的谐振频率时，谐振频率时，电容电压显电容电压显著下降，可著下降，可起到选择信起到选择信号的作用。号的作用。1 RLC并联谐振并联谐振 输入导纳输入导纳1j()YGCL谐振时谐振时 10CL
11、谐振角频率谐振角频率01LC谐振频率：谐振频率：012fLC谐振特点：谐振特点：输入输入导纳为导纳为纯电导，导纳值纯电导，导纳值|Y|G最小，即阻抗值最小，即阻抗值|Z|R最大，输入电流一定时，端电压达最大。最大，输入电流一定时，端电压达最大。（2）LC上上的电流大小相等，相位相反，的电流大小相等，相位相反，LC并并联联总电总电流流为零，为零，也称电流谐振，即也称电流谐振，即CILIGIU0LCII001C LGSIILC相当于开路相当于开路谐振时：谐振时：（3）品质因数）品质因数Q0011CLQLGGGC00j jSCIIUCCG001 j j SLIUILGLIL(0)=IC(0)=QIS
12、 SjQISjQI（4）谐振时的功率）谐振时的功率20LUQL2PUIU G0C QQL20CQCU 表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能量表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换，作周期性的震荡。彼此相互交换，作周期性的震荡。能量的总和为能量的总和为22000()()()LCSWWWLQ I=常数常数3 实际的并联谐振电路实际的并联谐振电路 LRCYj1j)(j)(2222LRLCLRR0)(20200LRLC谐振时谐振时 2011CRLLC2011CRLLC可见电路发生谐振是有条件的可见电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足：，在电路参数一定时，满足：210,
13、CRL,LRC即时电路才能够发生谐振。电路才能够发生谐振。.,0是虚数是虚数因因不会发生谐振不会发生谐振时时当当CLR 谐振时的输入导纳为谐振时的输入导纳为 0220()()RCRY jR LL【例【例8.1】试判断图示电路能否发生谐振？如能发生谐振，试判断图示电路能否发生谐振？如能发生谐振，求出其谐振频率。求出其谐振频率。21212212211()(1)1()1mnj Lj LLL Cj CZjLL Cj Lj Lj C21LC当分子为零时，当分子为零时，LC2支路的阻抗为零，该支路产生串联谐振，支路的阻抗为零，该支路产生串联谐振，此时有此时有当分母为零时，当分母为零时，LC2支路和支路和L
14、1支路并联的阻抗为支路并联的阻抗为，产生并，产生并联谐振，此时有联谐振，此时有121()LL C8.2 频率特性频率特性 n当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，电路的工作状态跟随频率容抗将跟随频率变化，电路的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路的频率特性，又称频率而变化的现象，称为电路的频率特性，又称频率响应。响应。n频率特性分为幅频特性和相频特性频率特性分为幅频特性和相频特性 若若H(j)是一个复数，它的频率特性分为两个部分：是一个复数，它的频率特性分为两个部分：模与频率的关系模与频率的关系|)(j|H幅频特性幅频特性 幅
15、角与频率的关系幅角与频率的关系)(j相频特性相频特性 下面以下面以RLC串联电路为例子说明串联电路为例子说明1 幅频特性与幅频特性曲线幅频特性与幅频特性曲线 1()Z jRjLC)()(jjZ其中其中221()()Z jRLC：阻抗的幅频特性方程：阻抗的幅频特性方程 000当当时阻抗是呈容性；时阻抗是呈容性；时阻抗呈阻性时阻抗呈阻性时阻抗呈感性。时阻抗呈感性。当当当当阻抗的幅度频率曲线阻抗的幅度频率曲线:网络函数网络函数 在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输
16、入之比，称为该响应的网络输入之比，称为该响应的网络函数网络函数。1)电容电压为响应的网络函数电容电压为响应的网络函数 21()1()1(1)CCUj CHjURjLCLCj RC01/LC0011LLQRRCRC2222001()11()()CHjQ2222001()11()()CHjQ0()1CHj0()CHjQ()0CHj当当时时当当时时 当当时时可见：可见：RLC串联电路串联电路电容输出端对高频率电容输出端对高频率电压有较大衰减，从电压有较大衰减，从而构成而构成低通滤波电路低通滤波电路 电容电压幅频特性曲线电容电压幅频特性曲线 2)电感电压为响应的网络函数电感电压为响应的网络函数+_Rj
17、 L1jCUI+_LU01/LC0011LLQRRCRC()1()LLUHjUj LRjLC2220021|()|11()()LHjQ00当当时时当当时时 当当时时0)(jHLQjHL)()1LHj可见：可见：RLC串联电路电串联电路电感两端电压对低频电感两端电压对低频电压有较大衰减，从而压有较大衰减，从而构成构成高通滤波电路高通滤波电路 LCd()d()0 ,0ddHjHj 与与 的极值点：的极值点：令令()CHj()LHj当当02112Q时时 max2114LQHQ当当时时 02112Qmax2114CQHQmaxmaxCLHH21102Q12Q 可见：可见：，即，即 且要求且要求 3)电
18、阻电压为响应的网络函数电阻电压为响应的网络函数 00当当时时当当时时 当当时时()0RHj()1RHj()0RHj00()1()11()RRUHjURRjLCjQ22001|()|1()RHjQ可见：可见：RLC串联电路的串联电路的电阻电压具有电阻电压具有带通滤带通滤波波的性质的性质 4)LC电压为响应的网络函数电压为响应的网络函数 00当当时时当当时时 当当时时()1LCHj()0LCHj()1LCHj22022001()1()/()LCLCj LUUj CHjUjQRjLC 22022222200|()|()/LCHjQ 其响应具有其响应具有带带阻滤波阻滤波的性质的性质 2 相频特性与相频
19、特性曲线相频特性与相频特性曲线 1()Z jRjLC()()Z j 其中其中00 当当时时时时时时当当当当阻抗的相频特性曲线阻抗的相频特性曲线:1()arctanLCR()90 ()0 ()90 也为也为u、i的相位差的相位差1)电容电压相频特性电容电压相频特性 211()1(1)()CCUj CHjULCj RCRjLC2()arctan1CCRLC01/LC0011LLQRRCRC001()arctan()CQ 当当时时()0C 00当当时时()90C 01当当时时()180C 0 电感电压的相频特性电感电压的相频特性电阻电压的相频特性电阻电压的相频特性电容电压的相频特性曲线电容电压的相频
20、特性曲线:001()arctan()LQ 00()arctan()RQ 电感电压的相频特性曲线电感电压的相频特性曲线:电阻电压的相频特性曲线电阻电压的相频特性曲线:3 通频带通频带 1：上限截止频率：上限截止频率2：下限截止频率：下限截止频率通频带：通频带：12|()|()|0.707|()|RRRHjHjHj21BW220011|()|21()RHjQ令：令：22001Q22001Q2011142QQ002011122QQ21011122QQ22011122QQ021BWQ可见，通频带宽与电路谐振时的品质因数成反比，可见，通频带宽与电路谐振时的品质因数成反比，Q越大，带越大，带宽宽BW越小，
21、谐振曲线的形状越尖锐，电路的选择性越好。越小，谐振曲线的形状越尖锐，电路的选择性越好。4 滤波器滤波器 实际上就是选频电路，允许或者阻止一部实际上就是选频电路，允许或者阻止一部分频率通过电路分频率通过电路【例【例8.3】一阶】一阶RL低通滤波电路低通滤波电路 网络函数：网络函数：RRHjRj L22/(/)RR LHjR L幅频特性：幅频特性：0C 当当时时时时时时当当当当12RHj令：令：得截止频率：得截止频率：cRL()0.707RHj()1RHj()0RHj选择选择R和和L的值，构成一个截止频率为的值，构成一个截止频率为10Hz的低的低通滤波器通滤波器 选择选择L=100mH210c32
22、10 100 106cRL 如果以电感作为响应，就是高通滤波器，且截止如果以电感作为响应，就是高通滤波器，且截止频率仍然是频率仍然是cRL8.3 非正弦周期电路与频谱非正弦周期电路与频谱n在实际应用中，电信工程中传输的各种信号大多数是在实际应用中，电信工程中传输的各种信号大多数是按非正弦规律变动的，产生非正弦周期信号的原因一按非正弦规律变动的，产生非正弦周期信号的原因一般有两种，一是发电厂产生的电压不是标准的正弦电般有两种，一是发电厂产生的电压不是标准的正弦电压，二是电路中存在非线性元件，使其响应是非正弦压，二是电路中存在非线性元件，使其响应是非正弦信号。信号。n本节主要介绍非正弦周期电路的本
23、节主要介绍非正弦周期电路的谐波分析法谐波分析法，它是利，它是利用傅里叶级数将非正弦周期信号分解为一系列不同频用傅里叶级数将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后根据线性电路的叠加性质分别率的正弦量之和，然后根据线性电路的叠加性质分别计算各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦计算各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流或电压分量，把所得的分量按时域形式叠加。电流或电压分量，把所得的分量按时域形式叠加。1 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加 22cost3sin2t Vsu【例【例8.4】图示电路，已知】图示电路，已知，求稳态电压，求稳态电压u。解：网络函数为解：网络函数为211
24、/(1)()1()1()2()211/(1)SU jjjH jUjjjjj应用叠加定理，分别求出每个激励分量作用时的响应。应用叠加定理，分别求出每个激励分量作用时的响应。（1）当直流电压）当直流电压u=2V单独作用时单独作用时 02Vu 22cost3sin2t Vsu 2()1()()2()21SU jjH jUjjj(1)2 0 VSUj（2）当）当2cost单独作用时，激励相量为单独作用时，激励相量为响应电压相量：响应电压相量：21 1(1)(1)(1)2 01.2671.572(1)2(1)1SjU jH j UjVjj (2)390 VSUj（3）当）当3sin2t=3cos(2t-
25、90)单独作用时，激励相量为单独作用时，激励相量为11.26cos(71.57)Vut22 1(2)(2)(2)3900.83176.822(2)2(2)1SjU jH j UjVjj 20.83cos(2176.82)Vut11.26cos(71.57)Vut20.83cos(2176.82)Vut02Vu 叠加得叠加得01221.26cos(71.57)0.83cos(2176.82)Vuuuutt结论：结论：对于非正弦周期信号电路的分析，可以采用傅对于非正弦周期信号电路的分析，可以采用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦量，里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦量，然后用正弦
26、交流电路相量分析方法，分别对不同频率然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，将各个分量叠加，得到非正弦周期信号的叠加定理，将各个分量叠加，得到非正弦周期信号下的响应。下的响应。2 非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱 若周期函数若周期函数 ()()f tf tkT满足狄利赫利条件满足狄利赫利条件则可展开成收敛的傅里叶级数则可展开成收敛的傅里叶级数01122()cossin cos2sin2f taatbtatbtcossinkkak tbk t0
27、1cossinkkkaak tbk t001()Taf t dtT02()cosTkaf tk tdtT02()sinTkbf tk tdtT式中各个系数满足式中各个系数满足:也可表示成：也可表示成：0111()cos()f tcctcos()kkkct01cos()kkkcck t00ca22kkkcabarctankkkba212cos(2)ct直流分量直流分量基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2倍频）倍频）高次谐波高次谐波式中式中:偶函数偶函数奇函数奇函数当当f(t)是：是：()()f tft/2002()Taf t dtT/204()cosTkaf tk tdt
28、T0kb()()ftf t 00a 0ka/204()sinTkbf tk tdtT T/2t T/2f(t)0如如 T/2t T/2f(t)o如如奇谐波函数奇谐波函数()(/2)f tf tT 0/20/20000()4()cos()4()sin()kkTkTkaabkaf tk tdtkTbf tk tdtkT为偶数为奇数为奇数 利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化tf(t)T/2To如如【例【例8.5】将图】将图8-19所示的方波分解成傅里叶级数。所示的方波分解成傅里叶级数。T/2t T/2f(t)0AA解：解：是偶函数（也为是偶函数（也为奇谐波函数奇谐波
29、函数）()f t/2/4/2000/422()()0TTTTaf t dtAdtA dtTT/204()cosTkaf tk tdtT0kb 04()42TAtf tTTAt /4/20/44(coscos)TTTAk tdtAk tdtT/4/20/44(sin)(sin)TTTAk tkTk41,5,9,43,7,11AkkAkk 傅里叶级数为傅里叶级数为4111()(coscos3cos5cos7)357Af ttttt41,5,9,43,7,11kAkkaAkk T/2t T/2f(t)0AA3 非正弦周期函数的有效值与平均功率非正弦周期函数的有效值与平均功率 01()cos()kkk
30、i tIIk t若任一周期电流若任一周期电流 i的有效值的有效值I201()TIit dtT20011cos()TkkkIIk tdtT201()TIit dtT20011cos()TkkkIIk tdtT平方展开后含有平方展开后含有:220001TI dtIT22201cos()TkkkIk tdtIT0012cos()0TkIk tdtT012cos()cos()0()TkkkkI Ik tktdtkkT220112kkIII 222012III周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。值平方和的方根。0000010000110
31、1 1()1112cos()2cos()112cos()2cos()1 +2cos()2cos()TTTkukkikkTTkukkikkkTkukkikkkkkPuidtU I dtUk tIk tdtTTTIUk tdtUIk tdtTTUk tIktdtT 4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率01012cos()2cos()kukkkikkuUUk tiIIk t平均功率平均功率P00001coskkkkkPU IPU IU I为为0平均功率等于直流分平均功率等于直流分量的功率和各次谐波量的功率和各次谐波平均功率的代数和平均功率的代数和 00()10100cos(1
32、0030)40cos(20015)u tttV00()210sin(10060)5sin(30045)i tttA【例【例8.68.6】已知已知u、i，求其平均功率。，求其平均功率。00100 10102cos(30(30)2702PW 解：解：注意，各次谐波平均功率计算时电压与电流的注意，各次谐波平均功率计算时电压与电流的频率要一一对应且频率相同。频率要一一对应且频率相同。相位频谱相位频谱（）表征非正弦周期波形的各次谐波的相位与频率关系。表征非正弦周期波形的各次谐波的相位与频率关系。振幅频谱和相位频谱统称振幅频谱和相位频谱统称信号的频谱信号的频谱，它与傅里，它与傅里叶级数完全对应。叶级数完全
33、对应。4 信号的频谱信号的频谱 幅度频谱：幅度频谱：把各次谐波振幅大小相对应的线段，按把各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序排列起来。（频率的高低顺序排列起来。（）表征非正弦周期表征非正弦周期波形的各次谐波波形的各次谐波的振幅与频率关的振幅与频率关系。系。m1kAk的图形的图形 11117 5 3 Akm0k1的图形的图形 1kk【例【例8.7】作出图示方波的振幅频谱和相位频谱。】作出图示方波的振幅频谱和相位频谱。解：方波的傅里叶级数的系数为解：方波的傅里叶级数的系数为/204sinTkcAk tdtT/204(cos)TAk tTk 41,3,5,7,Akk 傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为 22228111()(sinsin3sin5sin7)357Af ttttt22228111()(sinsin3sin5sin7)357Af ttttt
