1、6-7 瞬态和稳态瞬态和稳态 6-8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 动态动态元件元件的的VCR为微分或积分形式，故线性、为微分或积分形式，故线性、时不变动态电路要用线性常系数微分方程来描述时不变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。分析分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。动态电路即是求解线性、常系数微分方程。含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。本章重点讨论一阶电路在直流激励下的动态本章重点讨论一阶电路在直流激励下的动态分析。分别介绍换路定律、
2、零输入响应、零状态分析。分别介绍换路定律、零输入响应、零状态响应和全响应，并推导出一阶电路在直流激励下响应和全响应，并推导出一阶电路在直流激励下求解任一变量响应的一般方法求解任一变量响应的一般方法 三要素法。三要素法。本章还将介绍瞬态（暂态）和稳态的概念。本章还将介绍瞬态（暂态）和稳态的概念。(1)把给定的网络把给定的网络N分解为两个分解为两个明确的明确的单口网络单口网络 N1和和N2(P114)；(2)分别求单口网络分别求单口网络 N1、N2 的的VCR(4-2)；(3)联立联立VCR，求单口网络端钮上的电压求单口网络端钮上的电压 u=a a 和电流和电流 i=b b；(4)应用置换定理，应
3、用置换定理，分别求单口网络分别求单口网络N1、N2中的电压和电流中的电压和电流。6-1 分解方法在动态电路分析中的运分解方法在动态电路分析中的运用用0uia ab bu=f2(i)u=k1i+A1网络网络Nu=k1i+A1N1N2i=u=+-u=f2(i)u=k1i+A1b bN1u=a a+-i=b ba a+-N1置换置换6-1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用用戴维南定理用戴维南定理15V14 uc(t)+-+-CiC+i4 1F2 2i18V0.75A+-uc(t)CiC+-uc(t)1514A14 用用诺顿定理诺顿定理6-1 分解方法在动态电路分析中的运用
4、分解方法在动态电路分析中的运用 ROic+uC=uOC+uC=uOC ROCduCdt初始值初始值 uC(t0)=iC+iGO=iSCC+G0uC=iSCduCdt初始值初始值 uC(t0)=isc(t)G0+-CiGOiCuc(t)uoc(t)uc(t)R0+-+-CiCNCuc(t)+-iC 戴维南戴维南等效电路等效电路 诺顿诺顿等效电路等效电路 一阶微分方程求解一阶微分方程求解 dYdt-AY=BXY(t0)=Y0 初始条件初始条件 非齐次常系数线性微分方程非齐次常系数线性微分方程 齐次常系数线性微分方程齐次常系数线性微分方程dYdt-AY=0Y(t0)=Y0 初始条件初始条件求解求解，
5、且应满足初始条件且应满足初始条件 Y(t0)=Y0，（1）解的结构：）解的结构：Y(t)=Yh(t)+Yp(t)BXAYtY dd有两种解法：有两种解法：（2）Yh(t)：对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解（3）Yp(t)：非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解 一般与输入（激励）函数具有相同形式一般与输入（激励）函数具有相同形式（4）根据）根据初始条件，初始条件，确定积分常数确定积分常数稳定状态稳定状态:指电路中的电压和电流在给定的条件下指电路中的电压和电流在给定的条件下已达到某一稳定值（对交流量是指它的幅值达到稳已达到某一稳定值（对交流量是指它的幅值达到稳定值）。定值）。稳定状态稳
6、定状态简称简称稳态。稳态。瞬瞬态态（暂暂态态）:电路从一个稳定状态变化到另一个稳电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态往往不能跃变，而是需要一定过程（时间）的，定状态往往不能跃变，而是需要一定过程（时间）的，这个物理过程就称为这个物理过程就称为过渡过程过渡过程。电路的过渡过程往往。电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态暂态（瞬态瞬态），），因而过渡过程又称为因而过渡过程又称为暂态暂态过程过程。换路换路:指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数 改变等。改变等。产生过渡过程的原因产
7、生过渡过程的原因：当电路中有储能元件电容或电感，：当电路中有储能元件电容或电感，而且换路的结果将引起电容中的电场能或电感中的磁场而且换路的结果将引起电容中的电场能或电感中的磁场能发生变化时，因为电路元件中能量的储存和释放是需能发生变化时，因为电路元件中能量的储存和释放是需要一定的时间的，所以电路中就会出现过渡过程。要一定的时间的，所以电路中就会出现过渡过程。电感储存的磁场能电感储存的磁场能 WL=12L iL2不能跃变不能跃变 WC=12C uC2电容储存的电场能电容储存的电场能不能跃变不能跃变 本章将要分析本章将要分析RC和和RL一阶线性电路的过渡过程，一阶线性电路的过渡过程，着重讨论下面两
8、个问题：着重讨论下面两个问题：(1)暂态过程中电压和电流暂态过程中电压和电流(响应响应)随时间的变化规律随时间的变化规律;(2)影响暂态过程快慢的电路的影响暂态过程快慢的电路的时间常数时间常数。设设 t=0 为换路瞬间，而以为换路瞬间，而以 t=0 表示换路前的表示换路前的终了瞬间，终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。表示换路后的初始瞬间。由于电容中的电场能和电感中的磁场能不会由于电容中的电场能和电感中的磁场能不会突变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的突变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流是不可能突变的。因此，电流是不可能突变的。因此，电容电压和电感电电容电压和电感电流在换路后
9、的初始值应等于换路前的终了值流在换路后的初始值应等于换路前的终了值，这，这一规律，称为电路的一规律，称为电路的换路定律换路定律。iL(0)=iL(0+)uC(0)=uC(0+)以下利用叠加方法求解一阶动态电路的零输入响应、以下利用叠加方法求解一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应。零状态响应和全响应。设电路中电容电压在设电路中电容电压在 t0 时的值为时的值为uC(t0)。将其分解为将其分解为一个未充电的电容一个未充电的电容 C 和一个和一个数值为数值为uC(t0)的电压源的串联。的电压源的串联。+uC(t)i(t)RCuC(t0)+u1(t)+uC(t)i(t)RuOC(t)+CuC(
10、t0)+u1(t)+tt0+uC(t)i(t)RuOC(t)+Cu1(t)+tt0最终得最终得00C)0(UKeKuCR 代入初始条件代入初始条件 uC(0)=U0，CRteUtu 0C)(t 0利用利用直接积分法直接积分法：tCRuud1dCCCRutuCCdd CRtu ClnCRteKtu )(C故有故有0ddCC utuCR积分得积分得一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程将解的形式将解的形式uC(t)=KestRCsKest+Kest=0RCs+1=0特征方程的根特征方程的根（固有频率）（固有频率）代入原方程代入原方程得得 特征方程特征方程CRs1 猜试法猜试法：RCu
11、Rt=0ba+-U0iSuC是指无电源激励，是指无电源激励，输入信号为零，由电容元件输入信号为零，由电容元件的初始状态的初始状态uC(0+)所产生的所产生的响应。分析响应。分析RC电路的零输入电路的零输入响应，实际上就是分析它的响应，实际上就是分析它的放电过程。放电过程。上图中，若原来开关上图中，若原来开关S合于合于a，电容上电压已充电到电容上电压已充电到U0，在在t=0时时将将S由由a合向合向b，即即 uC(0)=U0，根据根据KVL Ri+uC=0RCd uC dt+uC=0 6-2 零输入响应零输入响应+uC=Ae pt上式的通解为指数函数，即上式的通解为指数函数，即由特征方程由特征方程
12、 RCp+1=0 得得特征根特征根（固有频率）（固有频率）p=1/RC 通解通解 uC=Ae t/RC 确定积分常数确定积分常数A，由换路定律由换路定律uC(0+)=uC(0)=U0，得，得 A=U0所以所以 otU0U0U0RuCuRi变化曲线变化曲线RCd uC dt+uC=0RCuRt=0ba+-U0iSuC+otU0U0U0RuCuRi变化曲线变化曲线 RCuRt=0ba+-U0iSuC+在零输入响应电路中，各在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。按同一指数规律衰减到零。=RC 称为称为RC电路的电路的时间常数时间常数时间常数
13、时间常数 Fs单位单位tuC/U0(%)36.82 13.53 4.984 1.835 0.6746 0.09127 0.004548 3.72 10 42CRteUtu 0C)(0100C368.0)(UeUeUuCR 从理论上讲，电路只有在从理论上讲，电路只有在 t 时时才能衰减到零。但在工程上，通常才能衰减到零。但在工程上，通常认为认为 t(45)时，电容放电过程基本结束。时，电容放电过程基本结束。时间常数时间常数 越大，越大，衰减衰减越慢；越慢；时间常数时间常数 越小，越小，衰减衰减越快。越快。OtU0ucotU00.368 U0 1 2 3 3 2 1 电压电压uC衰减的快衰减的快慢
14、决定于慢决定于电路的时电路的时间常数间常数 ,时间常数时间常数越大，越大，uC衰减衰减(电容电容器放电器放电)越越慢。慢。uC tCUu e0随时间变化曲线随时间变化曲线0uU0t0.368U0 时间常数时间常数 =RC当当 t=时，时，uC=36.8%U0零输入响应零输入响应RCt=0ba+-iSucuRU0 例例1 电路如图，已知电路如图，已知uc(0)=15V,求求uc(t),ic(t)和和i(t),t0。iC(t)=C =3e-20tAduCdtt0解：解：uC(0)=15VRO=+3=5363+6 =ROC=50.01=0.05S i(t)=(3e-20t)=2e-20tA 63+6
15、t0=15e-20t V t03 3360.01Fi(t)icuc+_uC(t)=uC(0)e-t15VuC3AiCot 求求 ic(t)和和i(t)，解法解法1：例例1 电路如图，已知电路如图，已知uc(0)=15V,求求uc(t),ic(t)和和i(t),t0。解法解法2：应用置换定理：应用置换定理 i(t)=(3e-20t)=2e-20tA 63+6t03 336i(t)uC(t)+_iciC(t)=3e-20tA-uCt0RO用电压源用电压源uC(t)置换电容置换电容CRO=+3=5363+6=15e-20t V t0uC(t)=uC(0)e-t解：解：3 3360.01Fi(t)ic
16、uc+_例例2 求图示电路中求图示电路中i(t),t0,已知已知uC(0)=6V。解解:提出电容，用外加电压法求提出电容，用外加电压法求ROi1=+u2000u2000i160008000i1=4uRO=2000ui1 =ROC=2103s6K2K1Fuc(t)2000i(t)i(t)6K2K1Fu2000i1(t)i1(t)2K1Fuc(t)i(t)ROVuC(t)=6e-1210-3tt0i(t)=CduCdtmA=3e-1210-3tuC(0)=6V或：或：i(t)=uC(t)ROt0例例3 下图所示电路中下图所示电路中,开关开关S合在合在a点时点时,电路已处于稳态，电路已处于稳态，t=
17、0时开关时开关S由由a点合向点合向b点，试求点，试求:t0 时时 uc、i1、i2 和和 i3 随时间的变化规律随时间的变化规律,画出变化曲线。画出变化曲线。Ct=0ba+-SuC 4 2 4 8 10F+-10Vi1i2i3uC(0+)=uC(0-)=10 4/(2+4+4)=4V,U0=4V换路后放电电路等效电阻换路后放电电路等效电阻 R0=(8+4/4)=10 =R0 C=10 10 106 F=104 s=U0 et/uC=4e 10000t VCd uc dti2=i1=i3=i2/2=0.4e 10000tA=0.2e 10000tAotuc4Viui20.4Ai1 i30.2Au
18、C=4e 10000t VCba+-SuC 4 2 4 8 10F+-10Vi1i2i3Rt=0baUiLSuLuR S合在位置合在位置a时时,电感中通有电感中通有电流电流,t=0时时,开关开关S由由位置位置a合向合向位置位置b,RL电路被短路。电路被短路。若若iL(0-)=I0，则，则iL(0+)=I0(若换路前电路已处于稳态若换路前电路已处于稳态,则则I0=U/R )根据根据KVL uL+uR=0+RiL=0 diL dtL+-齐次常系数线性微分方程齐次常系数线性微分方程通解为通解为 iL=Ae pt +-+-特征方程是特征方程是 Lp+R=0特征根特征根(固有频率固有频率):p=R/L
19、微分方程的通解为微分方程的通解为 iL(0+)=I0,故故A=I0在在t=0+时时,所以所以 iL =I0 e t RL=I0 e t =L/R =GL单位单位 秒秒 亨亨 欧姆欧姆=Ae t RLiL=Ae pt 变化曲线变化曲线iLI0t0iL0.368I0+RiL=0 diL dtL 通解为通解为 iL=Ae pt Rt=0baUiLSuLuR+-+-+-iL =I0 e t RL=I0 e t uR=R iL=R I0 e t diL dtuL=L =R I0 e t RI0uRRI0uLotuRt=0baUiLSuLuR+-+-+-iLiLI0t00.368I0 根据根据KVL uL
20、+uR=00.368RI0 t=0SRLuViLV+2 4V例例4 已知电压表的内阻已知电压表的内阻RV=1000,求求uV(0+)。解解:iL(0+)=iL(0-)=4/2=2AuV(0+)=iL(0+)RV =2 1000=2000V因电压表的内阻很大，在因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将断开之前，应先将电压表取下电压表取下!以免引起过电压而损坏电压表。以免引起过电压而损坏电压表。4.一阶电路的一阶电路的零输入响应零输入响应代表了电路的固有性质，又代表了电路的固有性质，又 称为称为固有响应固有响应，特征根，特征根 s=1/又称为固有频率。又称为固有频率。2.一阶电路的零输入响应是按指
21、数规律衰减的，衰减一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢由时间常数的快慢由时间常数决定，决定，越小，衰减越快。越小，衰减越快。3.求出求出uC(t)或或iL(t)再根据置换定理，用电压为再根据置换定理，用电压为uC(t)的电的电压源置换电容，用电流值为压源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，的电流源置换电感，在置换后的电路中求其他电压电流。在置换后的电路中求其他电压电流。5.线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，6.即初始状态增大即初始状态增大 k 倍，零输入响应也增大倍，零输入响应也增大 k 倍。倍。零输入响应零输
22、入响应小结小结 1.一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应RC电路：电路：t0 =RCuC(t)=uC(0)e-tRL电路：电路：t0 =GLLRiL(t)=iL(0)e-t 6-3 阶跃响应阶跃响应一一.阶跃函数阶跃函数.单位阶跃函数单位阶跃函数 2.延时单位阶跃函数延时单位阶跃函数 0tt0 (t t0)1 0t1 (t)0 t0(t)=0 tt0二二.用单位阶跃函数表示电源的接入用单位阶跃函数表示电源的接入 若电源在若电源在t=t0时接入电路时接入电路uS(t)=US (t-t0)iS(t)=IS (t-t0)任一信号在任一信号在t=0时接入电路时接入电路uS(t)=f(t)(t)ab
23、Nus(t)t=0时，开关由时，开关由b a uS(t)=US Nus(t)uS(t)=US (t)6-3 阶跃响应阶跃响应三三.阶跃信号、阶跃响应阶跃信号、阶跃响应 1.阶跃信号阶跃信号 2.阶跃响应阶跃响应 单位阶跃信号作用下的单位阶跃信号作用下的零状态响应零状态响应称为阶跃响应，用称为阶跃响应，用(t)表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为(t-t0)。uS(t)=US (t)阶跃信号阶跃信号uS(t)=US (t-t0)延时信号延时信号0tusUsUs0tust0四四.分段常量信号作用下一阶电路的求解分段常量信号作用下一阶电路的求解 01 tf(t)1
24、 0tf1(t)1 1 f(t)=f1(t)+f2(t)=(t)-(t-1)0tf2(t)-1 1 0tf(t)1 2 3-1 1-2 f(t)=(t)-2 (t-1)+3(t-2)-2(t-3)是指换路前电容元件未储有能量是指换路前电容元件未储有能量,uC(0)=0,由电源激励在电路中所产生的响应。分析由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。态响应，实际上就是分析它的充电过程。下图中，下图中，t=0时开关时开关S由由b点合向点合向a点，相当于输入一个点，相当于输入一个阶跃电压阶跃电压u，其表示式为其表示式为u=0 t 0oUut阶跃电压
25、阶跃电压 6-4 零状态响应零状态响应 RCuRt=0ba+-UiSuC+-+-根据根据KVL，列出列出t 0时电路的一阶线性非齐次常微分方程时电路的一阶线性非齐次常微分方程Ri+uC=URCduC dt+uC=U设特解设特解 uC=K 代入上式代入上式 RCd Kdt+K=U得得 K=U ，即即 uC=U uC=Ae pt=Ae t/RC 补函数补函数uC是齐次微分方程是齐次微分方程RCduC dt+uC=0 的解的解式式(7.1)的通解为的通解为 uC=uC+uC=U+Ae t/RC 上式的通解有两个部分：一个是上式的通解有两个部分：一个是特解特解 uC，一个是补函数一个是补函数uC(7.
26、1)RCuRt 0ba+-UiSuC+-+-uC=uC+uC=U+Ae t/RC 根据根据 uC(0+)=uC(0)=0，可确定积分常数可确定积分常数 A=UuC=U Ue t/RC=U(1et/)时间常数时间常数 =RC当当 t=时，时，uC=63.2%UtuCuOUuC UuC 暂态过程中暂态过程中uC可视为由可视为由两个分量相加而得两个分量相加而得:uC 是到达稳定状态时的是到达稳定状态时的电压电压,称为称为稳态分量稳态分量;uC仅仅存于存于暂态过程中暂态过程中,称为称为暂态分暂态分量量,它总是按指数规律衰减。它总是按指数规律衰减。63.2%U uC的变化曲线的变化曲线e-t/RCUR=
27、uR =Ri=U e-t/RCotUuCuRui iURi=CduC dtuC=U(1e t/)uC、uR及及i 的变化曲线的变化曲线RCuRt 0ba+-UiSuC+-+-uC=U(1e t/)t U 1 et/uC 2 3 4 5 1e 1 1e 2 1e 3 1e 4 1e 5 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 同样可同样可认为认为t(45)以后暂态过程已经结束。以后暂态过程已经结束。tuCu0U63.2%U RCuRt 0ba+-UiSuC+-+-上述上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较复杂时，可以用戴维南定理将换
28、路后的电路化简为一复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维南等效电源，再将储能元件接上），然后利简为戴维南等效电源，再将储能元件接上），然后利用经典法所得出的公式。用经典法所得出的公式。例例7.8 下图所示电路中，已知：下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k ，C1=40 F，C2=C3=20 F，U=12V,开关开关S闭合前闭合前,电路电路已处于稳态，试求已处于稳态，试求:t 0 时的电压时的电压 uC。t=0+-USR1R2C1C2C3+uCC2和和C3并联后再与并联后再与C1串
29、联，其等效电容为串联，其等效电容为C=20 F C1(C2+C3)C1+(C2+C3)将将t 0的电路除的电路除C以外的部分化为以外的部分化为戴维南等效电源戴维南等效电源,E=8VUR2(R1+R2)等效电源的内阻为等效电源的内阻为R0=2k R1 R2(R1+R2)R0C+uC+-Et 0+-USR2C+uCR1等效电源的电动势为等效电源的电动势为R0C+uC+-E由等效电路可得出电路的时间常数由等效电路可得出电路的时间常数 =R0 C=2 103 20 106 =40 103suC=E(1 e-t/)=8(1e 25t)V输出电压为输出电压为tuC/V8ORt=0UiLSuLuR在换路前电
30、感元件未储有在换路前电感元件未储有能量，即电路处于零稳态。能量，即电路处于零稳态。+在在 t=0时，将开关时，将开关S合上，合上，电路即与一恒定电压为电路即与一恒定电压为U的电压源接通。的电压源接通。根据根据KVL uL+uR=U+RiL=U diL dtL 特解特解 iL 就是稳态分量就是稳态分量(7.2)iL=UR补函数补函数 iL=Ae t RL式式(7.2)的通解为的通解为 iL=iL +iL=UR+Ae t RL在在 t=0时，时，iL(0+)=iL(0-)=0 +A=0 UR A=URiL =(1 UR e )t uRuLU diL dtuL=L =Ue t uR=R iL=U(1
31、 e )t iLotuiL URiL URotiL变化曲线变化曲线4.一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大k倍，零状态响应也扩大倍，零状态响应也扩大k倍，如有多个电压源作用，也可倍，如有多个电压源作用，也可用叠加定理来求零状态响应。用叠加定理来求零状态响应。2.uC(t)、iL(t)的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，越小越小，上升越快。上升越快。3.求出求出uC(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为根据置换定理，电容用电压值为uC(t)的电压源置换，电感用电流值为的电压源置换，电感用
32、电流值为iL(t)的电流源置换，在置的电流源置换，在置换后的电路中求其它电压和电流。换后的电路中求其它电压和电流。5.如果是非直流激励电路，则需列微分方程求解如果是非直流激励电路，则需列微分方程求解。1.恒定输入（恒定输入（直流激励直流激励）下一阶电路的零状态响应）下一阶电路的零状态响应RC电路电路 =RCuC(t)=uC()(1-e)t0-tRL电路电路iL(t)=iL()(1-e)t0t-=GLLR零状态响应零状态响应小结小结 例例5 下图所示电路中下图所示电路中,已知：已知：R1=R2=1k，L1=15mH，L2=L3=10mH，(设线圈间无互感设线圈间无互感,)电流源电流源 I=10m
33、A,开关开关S闭合前闭合前,各电感均未储有能量各电感均未储有能量,试求试求:t 0 时的电流时的电流 i。t=0SiIR1R2L1L2L3解解:等效电感等效电感L=L1+L2 L3L2+L3=10mH将电流源与将电流源与R1并联的电路进行等效变换并联的电路进行等效变换E=R1I=10VR0=R1=1k t=0SiR0R2L+E由等效电路可得出由等效电路可得出电路的时间常数电路的时间常数 =LR0+R2=10 si =(1 e )t ER0+R 2=5(1 e-10 t )mA5ti5oi/mA等效电路等效电路是指电源激励和电容元件的初始状态是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均均不为零
34、时电路的响应，也就是不为零时电路的响应，也就是和和的叠加。的叠加。下图中，若开关下图中，若开关S合于合于b时，时，电路已处于稳态电路已处于稳态,则则 uC(0)=U0，t=0时将时将S由由b合向合向a，t 0时电路时电路的微分方程为的微分方程为RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t 0RCduC dt+uC=U其通解有两个部分其通解有两个部分:一个一个是特解是特解 uC，一个是一个是补函数补函数uC通解通解 uC=uC+uC 6-5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t 0RCduC dt+uC=U通解通解 uC=uC+uC =U+Ae t
35、/RC uC(0+)=uC(0)=U0积分常数积分常数 A=U0Ut=0+时时,U0=U+A e0 uC=U+(U0U)e-t/全响应全响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量uC=U0 e-t/+U(1e-t/)或者写成或者写成全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应一阶线性非齐次常微分方程一阶线性非齐次常微分方程(三要素法三要素法)全响应曲线全响应曲线otUuU0稳态分量稳态分量UuC(全响应全响应)uC=U+(U0U)e-t/设设U U0U0 U暂态分量暂态分量(U0U)e-t/otUuU0uC=U0 e-t/+U(1e-t/)uC(全响应全响应)零状态响应零状态响应 零
36、输入响应零输入响应或或全响应曲线全响应曲线otUuiUU0RU0稳态分量稳态分量UuC(全响应全响应)uC=U+(U0U)e-t/设设U U0U0 U暂态分量暂态分量(U0U)e-t/求出求出uC后后,可用可用 和和 uR=R i得得i=CduC dtU U0R i=e-t/uR=(U U0)e-t/uR+-URCt=0baiSuC+-U0t=0 tCUUUu e)(0uCuC随时间变化曲线随时间变化曲线0uU0tU（2）当）当U0U 时，时，tuCU0uuC随时间变化曲线随时间变化曲线U0（1）当）当U0U 时，时，SCRt=0+U21+uR+uCi+U0 这种由外加激励和初始这种由外加激励
37、和初始储能共同作用引起的响应储能共同作用引起的响应,称为称为RC电路的电路的全响应全响应。放电过程放电过程充电过程充电过程 tCUUUu e)(0 若若U=0，在在t=0时将开关时将开关S由由1合到合到2 的位置，如右图。这时的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初始储能引起的，故称为始储能引起的，故称为RC电路的电路的零输入响应零输入响应。tCUu e0 电容两端的电压电容两端的电压uc由初始值由初始值U0向稳态值零衰减，向稳态值零衰减，这是电容的这是电容的放电过程放电过程，其随时间变化表达式为，其随时间变化表达式为SCRt=0
38、+U21+uR+uCi+U0全响应全响应uC=U0 e-t/+U(1e-t/)或或 若换路前电容元件没有储能，即若换路前电容元件没有储能，即uC(0+)=U0=0，则则上式变为上式变为)1(e ttCeUUUu 这种初始储能为零，由外加电源激励产生的响应，这种初始储能为零，由外加电源激励产生的响应，常称为常称为RC电路的电路的零状态响应零状态响应，这是电容的，这是电容的充电过程。充电过程。SCRt=0+U21+uR+uCi+U0 tCUUUu e)(0全响应全响应uC=U0 e-t/+U(1e-t/)或或uC tCUu e0随时间变化曲线随时间变化曲线0uU0t0.368U0 时间常数时间常数
39、 =RC当当 t=时，时，uC=36.8%U0零输入响应零输入响应tuCU0u时间常数时间常数 =RC当当 t=时，时，uC=63.2%U0.632U)1(tCeUu 随时间变化曲线随时间变化曲线零状态响应零状态响应Rt=0UiLSuLuR+R0如图所示电路中，如图所示电路中，iL(0-)=I0在在 t=0时，将开关时，将开关S合上，则合上，则t 0时电路的微分方程为时电路的微分方程为+RiL=U diL dtL 通解也为通解也为 iL=iL +iL=UR+Ae t RL但积分常数但积分常数A与零状态时不同与零状态时不同,在在 t=0时，时，iL(0+)=iL(0-)=I0，A=I0 URiL
40、 =+(I0 )UR e t UR(6.5.3)iL =+(I0 )UR e t UR全响应全响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应上式可改写为上式可改写为 +(1 UR e )t iL =I0 e t otU/RI0iL(全响应全响应)零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应式式(6.5.3)中中,将电感电流的将电感电流的稳态分量稳态分量 U/R 用用表示得表示得稳态值稳态值 初始值初始值 时间常数时间常数(三要素法三要素法)只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路，称为一阶线性电
41、路，其微分方程都是一阶线性电路，称为一阶线性电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。常系数线性微分方程。对于一阶线性电路，在直流激励作用下，电路的对于一阶线性电路，在直流激励作用下，电路的响应是由稳态分量响应是由稳态分量(包括零值包括零值)和暂态分量两部分相加和暂态分量两部分相加而得，写成一般式子，则为而得，写成一般式子，则为f(t)=f (t)+f(t)=f()+Ae t/式中式中f(t)是电压或电流，是电压或电流，f()是稳态分量是稳态分量(即稳态值即稳态值),Ae t/是暂态分量是暂态分量,若若 f(0+)为为初始值初始值,则得则得A=f(0+)f()于是于是稳态值稳态值 初始值初始
42、值 时间常数时间常数6-6 分解方法和叠加方法的综合运用分解方法和叠加方法的综合运用三要素法三要素法 三要素法三要素法 直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，它们的变化无非四种情况。它们的变化无非四种情况。0tf(t)f()0tf(t)f(0+)f(t)=f()(1-e )t0 -tf(t)=f(0+)e t0-t0tf(t)f()f(0+)f(0+)0tf(t)f()对于一阶电路，若求恒定输入下的响应，只需求出对于一阶电路，若求恒定输入下的响应，只需求出这三个要素，就可画出它的波形并写出表示式，这就是三这三个要素，就可画出它的波形并写出表
43、示式，这就是三要素法。要素法。三个参数（三要素）三个参数（三要素）f(0+)、f()、f(t)=f(0+)+f()-f(0+)(1-e)t0-tf(t)=f()+f(0+)-f()et0-t一一.求初始值求初始值 f(0+)1.先求先求uC(0-)、iL(0-)2.做做t=0+时等效电路时等效电路 C用电压值等于用电压值等于uC(0+)的电压源置换的电压源置换 L用电流值等于用电流值等于iL(0+)的电流源置换的电流源置换二二.求稳态值求稳态值 f()3.在在t=0+的等效电路中求各初始值的等效电路中求各初始值 在在t=的电路中求的电路中求 f()C开路开路 L短路短路三三.求时间常数求时间常
44、数 求动态元件两端看进去戴维南等效电阻：求动态元件两端看进去戴维南等效电阻：RC电路：电路：=ROC RL电路：电路：=L/RO三要素法三要素法例例6 在下图中，已知在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k R2=2k，C=3 F，t0时电路已处于稳态。用三要时电路已处于稳态。用三要素法求素法求t 0 时的时的 uC(t),并并画出变化曲线画出变化曲线。解解 先确定先确定uC(0+)uC()和时间常数和时间常数 R2R1 U1C+1+uCU2+t0时电路已处于时电路已处于稳态，意味着电容相稳态，意味着电容相当于开路。当于开路。2t=0SV2)0()0(2112 RRURuuCCV4)(
45、2122 RRURuC例例6 在下图中，已知在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k R2=2k，C=3 F，t0时电路已处于稳态。用三要时电路已处于稳态。用三要素法求素法求t 0 时的时的 uC(t),并并画出变化曲线画出变化曲线。解解 先确定先确定uC(0+)uC()和时间常数和时间常数 R2 U1C+1+uCU2+2t=0SR1V2)0()0(CCuuV4)(CusCRRm2332)/(21 tCCCCuuuu-e)()0()(uc=4+(2 4)e-t/(210-3)=4 2e-500t V(t 0)例例6 在下图中，已知在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k R2=
46、2k，C=3 F，t 0及开关动作后瞬间及开关动作后瞬间4 电阻电阻上吸收的功率。（上吸收的功率。（15分）分）10V4 t=0i1(t)0.1FuC(t)10V2 6 2 i(t)S1S2uC(0+)=uC(0-)=10V=5V2+42+4+6i(0+)t=0+时的电路时的电路10Vi1(0+)i2(0+)2 2 4 uc(0+)i(0+)+i2(0+)=i1(0+)2i(0+)+4 i1(0+)=10 2i2(0+)+4 i1(0+)=uc(0+)解方程得解方程得 i(0+)=2A,i1(0+)=1.5A开关动作后瞬间开关动作后瞬间4 电阻上吸收的功率电阻上吸收的功率 p=4 i12(0+
47、)=41.52=9W例例11 图示电路中图示电路中t=0时时开关开关S1闭合，闭合，S2打开。已知开关打开。已知开关动作前电路处于稳态，求动作前电路处于稳态，求i(t),t 0及开关动作后瞬间及开关动作后瞬间4 电电阻上吸收的功率。（阻上吸收的功率。（15分）分）10V4 t=0i1(t)0.1FuC(t)10V2 6 2 i(t)S1S2（2）求）求i()（3）求）求 i(t)=i()+i(0+)-i()e-t 解：解：(1)i(0+)=2Ai()=A10V2+4 53R0=2+2/4 =310 =R0C=S 31i(t)=+(2 )e 3t=+e 3t A t 0 33335551（注意：
48、（注意：一定要在换路后的电路中求一定要在换路后的电路中求 ）例例12 图示电路中，开关图示电路中，开关S闭合前闭合前,电路已处于稳态，电路已处于稳态，C=10 F,t=0时，将开关时，将开关S闭合，闭合，经经0.4ms再将再将S打开，打开，试求试求 t 0 时的时的 uC(t),画出变化曲线。画出变化曲线。30 Rr_+_+S60 RE=90VC uCr(1)uC(0+)=uC(0)=E =60VR+rr E(2)uC(0.4ms)=30(1+e-1)=41V uC()=30V R+rRE rE =2(R r )C=0.4 ms(0 t 0.4ms)即为第二个即为第二个暂态过程暂态过程的初始值
49、的初始值=(r+R r)C=0.5 msuC()=60V(0.4ms t )3060410.4t/ms0uC/V变化曲线变化曲线30 Rr90V_+_+S60 REC uCr第一次作业：第一次作业：7-5 7-8 7-10 7-16 第二次作业第二次作业:7-22 7-26 7-32 7-36 7-38第第 6 章作业章作业学号最后一位数为学号最后一位数为 的同学，请交上周的作业。的同学，请交上周的作业。例例7.14 图示电路中图示电路中,开关开关S合在合在a点时点时,电路已处于稳态，电路已处于稳态，t=0时开关时开关S由由a点合向点合向b点，试用三要素法求点，试用三要素法求:t0 时时 uc
50、、i1、i2 和和 i3 的变化规律的变化规律,画出变化曲线。画出变化曲线。Ct=0ba+-SuC 4 2 4 8 10F+-10Vi1i2i3uC(0+)=uC(0-)=10 4/(2+4+4)=4V,=0换路后放电电路等效电阻换路后放电电路等效电阻 R0=(8+4/4)=10 =R0 C=10 10 106 F=104 s=4e 10000t VCd uc dti2=i1=i3=i2/2=0.4e 10000tA=0.2e 10000tAotuc4Viui20.4Ai1 i30.2AuC=4e 10000t VCba+-SuC 4 2 4 8 10F+-10Vi1i2i3 6-7 阶跃响应
