1、第3章 电磁场基础电磁场基础1第3章 电磁场基础电磁场基础2 本章内容本章内容 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法镜像法 3.7 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自
2、的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 电磁场基础电磁场基础3微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：3.1 静电场的基本方程和电位方程静电场的基本方程和电位方程0DEdd0SCqDSElDE由由即即静电场静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位定义电位定义0EE 第3章 电磁场基础电磁场基础42.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电
3、荷，由面电荷的电位：面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：31()11()d()()d4411()()d4VVVrRE rVrVRRrVR Rrr31()RRR 1()()d4VrrVCR()1()d4SSrrSCR()1()d4lCrrlCR()4qrCR第3章 电磁场基础电磁场基础5两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力
4、使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功E dldd(ddd)dEllxyyxyy dd()()QQPPElPQ 第3章 电磁场基础电磁场基础6 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电
5、位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的
6、电位也就具有确定值，即()CC第3章 电磁场基础电磁场基础7在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程vvDEE 2v 020第3章 电磁场基础电磁场基础8 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 利用利用 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq2r1rr),(rP()4qrCR2101201 211()()44rrqqrrr
7、rr221222(/2)cos(/2)cosrrdrdrrdrdrd12cos,cos22ddrrrr223000cos()444rqdrrrrrp ep qdp(1)1axax 第3章 电磁场基础电磁场基础9 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图11()()sinrrrrr Eeee30(2cossin)4rqree第3章 电磁场基础电磁场基础10 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r
8、，则，则若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一的方向一致，即致，即 ，则有，则有 在圆柱面坐标系中，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 0ExzoPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。000()()ddPPooPoElErE r rrrrrrggg()0o0()PE r rrg0E0 E00 xe E E00ze E E000()coszPE re r EE r rrr rgg000()()cosxzPE re E ee zE rrrrggzre
9、e z第3章 电磁场基础电磁场基础11 例例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x=0和和 x=a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无
10、限大平行板0S1()x2()x0S212d()0,(0)dxxbx222d()0,()dxbxax111222()()xC xDxC xD第3章 电磁场基础电磁场基础利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得1(0)02()0a12()(),bb0 x xbxa0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 0210()()Sx bxxxx 010020()(),(0)()(),()SSabxxxbabxaxbxaa 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 0110()()()SxabE xxea 0220(
11、)()SxbExxea 111222()()xC xDxC xD第3章 电磁场基础电磁场基础133.2 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容导体：含有大量自由电荷的物体。导体：含有大量自由电荷的物体。特征：特征：1.1.导体内部各处电场强度均为导体内部各处电场强度均为0 02.2.导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于 导体表面导体表面3.3.导体为一等位体，其表面为等位面导体为一等位体，其表面为等位面4.4.导体表面切向电场为导体表面切向电场为0 0，而只有法向电场分量，而只有法向电场分量E En n/nnsEeE 第3章 电
12、磁场基础电磁场基础14任何两个导体都可看作一点容器任何两个导体都可看作一点容器电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率；第3章 电磁场基础电磁场基础
13、15 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。qC12qqCU第3章
14、 电磁场基础电磁场基础16(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和-q；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的步骤：计算电容的步骤：(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；21UE dlqCU或：或：(1)假定两导体间电压假定两导体间电压U；(3)根据根据 计算导体表面的电量；计算导体表面的电量；(2)由由 ，求出电场强度，求出电场强度E；21UE dlsnssQdseEds (4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。qCU第3章 电磁场基础电磁场基础17 解
15、：解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，abo 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab04abqCUbab 04Ca第3章 电磁场基础电磁场基础18 例例 3.1.5
16、 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为xyzxDallDa011
17、()()2lxE xexDx210011d()dln2D allaDaUElxxDxa001F/mln()ln()lCUDaaD a第3章 电磁场基础电磁场基础19 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差ll 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一
18、点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为ab同轴线同轴线()2lEe1()dd2bblaaUEeln(/)2lb a12F/mln(/)lCUb all第3章 电磁场基础电磁场基础203.4 静电场的边界条件静电场的边界条件电场强度和电位移矢量的边界条件电场强度和电位移矢量的边界条件或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或1212()()0nSneeDDEE12120nnSttDDEE1212()0()0nneeDDEE1212nnttDDEE第3章 电磁场基础电磁场基础21介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene 在静
19、电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件 介质介质1 1111Ene导体111111222222/tantan/tnntnnEEDEED0nSneeDE0nStDE第3章 电磁场基础电磁场基础22 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即 导体表面上电位的边界条件：导
20、体表面上电位的边界条件：SnDDe)(21由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P常数，常数，21120limd0PPlE l12D 2121Snn0s2121nnSn 静电位静电位的边界条件的边界条件讲解书中例题3.4-1第3章 电磁场基础电磁场基础233.5 静电场的边值问题，惟一性定理静电场的边值问题，惟一性定理已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即边值问题：在给定的边界条件下，求解位函边值问题：在给定的边界条件下，求解位函 数的泊松方程或拉普拉斯方程数的泊松方程或拉普拉斯方程第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的
21、位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面上的已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面位函数值，而另一部分边界面上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）SV1|()Sf S2|()SfSn111|()Sf S、222|()SfSn第3章 电磁场基础电磁场基础24 自然边界条件自然边界条件（无界空间）（无界空间）周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条
22、件，如1212rS2(2)limrr有限值121212,nn第3章 电磁场基础电磁场基础25例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）0Ubaoxy0Ubaoxy0 x0 x（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：22220 xy(0,)0,(,)0ya y0(,0)0,(,)xx bU22220 xy00,0 xx axx0(,0)0,(,)xx bU第3章 电磁场基础电磁场基础26 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。3.5.2 惟一性定理惟一性定理SV惟一性定理的重
23、要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述n第3章 电磁场基础电磁场基础27 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。布。非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可
24、以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1.问题的提出问题的提出几个实例几个实例接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷 3.6 镜像法镜像法第3章 电磁场基础电磁场基础28 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非
25、均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？第3章 电磁场基础电磁场基础292.镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分
26、析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的
27、一种有效的解析求解法种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3.镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理第3章 电磁场基础电磁场基础30 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素”；4.镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域
28、的边界条件来确定。的边界条件来确定。第3章 电磁场基础电磁场基础311.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.6.1 接地导体平面的点（线）电荷接地导体平面的点（线）电荷镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z=0时，时，q qhhq 有效区域有效区域RR q qh,qq hh 11()04qzRR（）00zRR第3章 电磁场基础电磁场基础32上半空间上半空间(z0）的电位函数）的电位函数q qh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上
29、的总感应电荷为22222211(,)4()()qx y zxyzhxyzh(0)z 222 3 202()Szqhzxyh 222 3 2d dd2()inSSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 第3章 电磁场基础电磁场基础332.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题hhl 有效区域有效区域RR l当当z=0时，时，2,0;0,0lx zhzz,llhh ln(0)2lRzRrr 0第3章 电磁场基础电磁场基础
30、343.6.2.导体劈间的点电荷导体劈间的点电荷 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1,d2)处。处。显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1,d2)对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于(d1,d2)只有在只有在(d1,d2)处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3=q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q
31、 d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d11231111()4qRRRR 第3章 电磁场基础电磁场基础35 例例3.6.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。移至无穷远处，需要做多少功？。qqx =0d-d 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷移至无穷远时电场力所做的功。远时电场力所做的功。由镜像法，感应电荷的电场可以由镜像
32、法，感应电荷的电场可以用像电荷用像电荷qq 替代。当电荷替代。当电荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷q应位于应位于x，则有，则有20()4(2)xqxxEe222001()dd4(2)16eddqqWqE xxxxd 2016oeqWWd 第3章 电磁场基础电磁场基础363.6.3 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱
33、lxoa0d图图2 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱的镜像的镜像ald(,)P xo0ld特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像l第3章 电磁场基础电磁场基础37由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到都成立，因此，将上式对求导，可以得到a由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱
34、接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数llld222211lnln222cos2cosllCdddd222211lnln0222cos2cosllCa adadadad2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad 2lladd a第3章 电磁场基础电磁场基础38导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：由由 时，时，故故导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应
35、电荷面密度为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。2242222cosln22cosldadaCddda2242222222cosln22cosldadaaa ddaln2ldCa2222()2(2cos)lSadaa adad 222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 0第3章 电磁场基础电磁场基础393.7 分离变量法分离变量法 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n个各自只个各自只含一个
36、变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：第3章 电磁场基础电磁场基础40在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
37、无关，则拉普拉斯方程为3.7.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法将将 (x,y)表示为两个一维函数表示为两个一维函数X(x)和和Y(y)的乘积，即的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以X(x)Y(y)，有，有分离常数分离常数22220 xy(,)()()x yX x Y y2222d()d()()()0ddX xY yY yX xxy22221d()1d()()d()dX xY yX xxY yy 第3章 电磁场基础电磁场基础41 若取若取k2，则有，则有当当当当222d()()0dX xk X xx222d()()0dY yk Y yy000
38、()()X xXxA xB000()()Y yY yC yD0000000(,)(,)()()()()x yx yXx Y yA xBC yD()sincosnnnnX xAk xBk x()()sinhcoshnnnnnY yYyCk yDk y(,)(,)()()nnnx yx yXx Y x(sincos)(sinhcosh)nnnnnnnnAk xBk x Ck yDk y0nkk0k 第3章 电磁场基础电磁场基础42将所有可能的将所有可能的 (x,y)线性线性叠加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取若取k2，同理可得到，同理可得到通解中的分离常数和待定系
39、数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。00001(,)()()(sincos)(sinhcosh)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y00001(,)()()(sinhcosh)(sincos)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y第3章 电磁场基础电磁场基础43 例例3.7.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的
40、电位分布。算此导体槽内的电位分布。解：解：位函数满足的方程和边界条位函数满足的方程和边界条件为件为0Ubaoxy因因 (0,y)0、(a,y)0，故，故位函数的通解应取为位函数的通解应取为222200(0,)0,(,)0(0)(,0)0,(,)(0)xyya yybxx bUxa00001(,)()()(sincos)(sinhcosh)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y第3章 电磁场基础电磁场基础44确定待定系数确定待定系数001sinhcosh0nnnnnnC yDBCk yDk y00,0nBB0001,sinsinhcoshnnnnnnnx yA
41、 x C yDAk x Ck yDk y0001sinsinhcosh0nnnnnnnA a C yDAk a Ck yDk y00,sin0nAk a00,nnAka00,sin0nnA aAk a1,sin(sinhcosh)nnnnn xn yn yx yACDaaa(0,)0y(,)0a y第3章 电磁场基础电磁场基础45将将U0 在（在（0，a）上按）上按 展开为傅立叶级数，即展开为傅立叶级数，即其中其中(,0)0 x0(,)x bUsinn xa01sinnnn xUfa00041,3,5,2sind02,4,6,anUnn xfUxnaan1sin0nnnn xA Da0nD 1
42、1(,)sinsinh sinsinhnnnnnn xn yn xn yx yA CAaaaa01 sinsinhnnn xn bAUaa第3章 电磁场基础电磁场基础46由由故得到故得到011 sinsinhsinnnnnn xn bn xAUfaaa041,3,5,sinh(/)sinh02,4,6,nnUnfnn b aAn bna01,3,54,sinsinhsinh(/)nUn xn yx ynn b aaa第3章 电磁场基础电磁场基础473.7.2 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为令其解为 代入方程，可得到代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分
43、方程由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与在圆柱坐标系中，若位函数与z z无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为 通常通常 (,)随变量随变量 的变化是以的变化是以 2 为周期的周期函数。因为周期的周期函数。因此，分离常数此，分离常数 k 应为整数，即应为整数，即k n(n0,1,2,)。22211()0222dd1 d()dddRkR(,)()()zR r 2222dd0ddRRk R222d0dk第3章 电磁场基础电磁场基础48当当n=0时时 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 当当n
44、 0时时 00()()A 000()()lnRRCD000000(,)(,)()()(ln)RCDA ()()cossinnnnAnBn ()()nnnnnRRCD(,)(,)()()()(cossin)nnnnnnnnnRCDAnBn 001(,)ln(cossin)()nnnnnnnrCDAmBnCD第3章 电磁场基础电磁场基础49 解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向轴为圆柱轴线，电场强度的方向与与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面
45、电场强度切向分量位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与为零，且柱外的电位分布函数应与z 无关。解的形式可取前述一般形无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：式，但应满足下列两个边界条件：例例 3.7.2 均匀外电场均匀外电场 中，有一半径为中，有一半径为 a、介电常、介电常数为数为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内外的电位函数和电场强度。空气，如图所示。试求介质圆柱内外的电位函数和电场强度。xyaE0oP(,)00 xEEe00 xEEe第3章 电磁场基础电磁
46、场基础50 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 此式表明，无限远处电位函数仅为此式表明，无限远处电位函数仅为cos 的函数，可见系的函数，可见系数数 ，且，且 m=0。因此电位函数为。因此电位函数为那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为10a E0a00(,)cosE xE 11(,)coscosDB 00mmAAC10BE 210DE a第3章 电磁场基础电磁场基础51代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 xyaE0电场线电场线等位面等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。200(,)coscosE aE 1 Eee220022(1)cos(1)sinaaEEee
