1、第7章 非正弦周期电流电路第第7章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路7.1 非正弦周期量及其分解非正弦周期量及其分解7.2 非正弦周期电流电路中的有效非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和平均功率值、平均值和平均功率 7.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 第7章 非正弦周期电流电路7.1 非正弦周期量及其分解非正弦周期量及其分解 Ot(a)uOt(b)uOt(c)i图图 7.1 几种常见的非正弦波几种常见的非正弦波 第7章 非正弦周期电流电路 设周期函数f(t)的周期为T,角频率=2/T,则其分解为傅里叶级数为 1022110)sin()sin()2sin()sin(
2、)(kkkmkkmmmtkAAtkAtAtAAtf)sincos()sincoscossin(1010)(kkkkkkmkkmttkbtkaatkAtkAAf第7章 非正弦周期电流电路kkmkkkmkkkkkkkmAbAaAababaAcossintan,0022)(sin)(1sin)(2)(cos)(1cos)(2)()(21)(12002002000tdtktfdttktfTbtdtktfdttktfTatdtfdttfTaTkTkT第7章 非正弦周期电流电路 例例7.1 求图7.2所示矩形波的傅里叶级数。f(t)Um UmT2TtO图 7.2 例 7.1 图 第7章 非正弦周期电流电路
3、)2()()20()(TtTUtfTtUtfmm解解 图示周期函数在一个周期内的表达式为根据前述有关知识得)cos1(2)(sin)(1)(sin10)(cos)(1)(cos10)()(21)(210202020tkkUtdtkUtdtkUbtdtkUtdtkUatdUtdUammmkmmkmm第7章 非正弦周期电流电路kUbkmk4,1cos当k为奇数时,.0,1coskbk当k为偶数时,由此可知该函数的傅里叶级数表达式为)5sin513sin31(sin4)(tttUtfm第7章 非正弦周期电流电路表表 7.1 几种周期函数几种周期函数 名称波形傅里叶级数有效值平均值正弦波梯形波f(t)
4、Tt0T2Amf(t)Tt0AmT2a aT2tAtfmsin)()sinsin15sin5sin251)3sin3sin91sin(sin4)(2 tkkaktatataaAtfm(k为奇数)2mAmA2341aAm)1(aAm第7章 非正弦周期电流电路名称波形傅里叶级数有效值平均值三角波矩形波f(t)Tt0AmT2)sin)1(5sin2513sin91(sin8)(2212 tkktttAtfkm(k为奇数)f(t)Tt0AmT2)sin15sin513sin31(sin4)(tkktttAtfm(k为奇数)3mA2mAmAmA第7章 非正弦周期电流电路名称波形傅里叶级数有效值平均值半波
5、整流波全波整流波f(t)Tt0AmT4f(t)Tt0AmT4.)6,4,2(.)cos12cos6cos7514cos5312cos311cos421(2)(2 ktkkkttttAtfm.)6,4,2(.)cos12cos4cos5312cos31121(2)(2 ktkkkttAtfm2mAmA22mAmA第7章 非正弦周期电流电路名称波形傅里叶级数有效值平均值锯齿波3mA2mAf(t)2Tt0AmT.)3,2,1(.)sin1.3sin312sin21(sin2)(ktkktttAAtfmm第7章 非正弦周期电流电路1 周期函数为奇函数周期函数为奇函数 0,00kaa1sin)(kktk
6、btf第7章 非正弦周期电流电路 2 周期函数为偶函数周期函数为偶函数 偶函数的傅里叶级数中bk=0,所以偶函数的傅里叶级数中不含正弦项。第7章 非正弦周期电流电路3 奇谐波函数奇谐波函数 T2TtOf(t)图 7.3 奇谐波函数 第7章 非正弦周期电流电路1)sincos()(kkktkbtkatf(k为奇数).)5sin513sin31(sin4)(tttUUtummu(t)2UmT2TtO(a)u1(t)UmtO(b)u2(t)UmT2TtOUm(c)图 7.4 波形的分解 第7章 非正弦周期电流电路 例例7.2 试把表7.1中振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（
7、取至五次谐波）。解解 电压基波的角频率为sradT/10002.022VtttttttttUtum)500sin62.1300sin50.4100sin5.40()500sin251300sin91100(sin508)5sin2513sin91(sin8)(22第7章 非正弦周期电流电路7.2 非正弦周期电流电路中的有效值、非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和平均功率平均值和平均功率 7.2.1 有效值有效值 1002)sin()()(1kkkmTtkIItidttiTITkkkmdttkIITI0210)sin(1第7章 非正弦周期电流电路.)()sin()(21)(sin21)(sin
8、12212012202212012200001220012220kkkkkkqqmkTkmkTkmkkkTkkmUUUUUUIIIIIIqkdttqItkITdttkIITIIdttkIIT第7章 非正弦周期电流电路7.2.2 平均值平均值 TavdttiTI0)(1tItimsin)(当 时,其平均值为 IIItdtItdtIImmmmav898.0637.02sin1sin21020第7章 非正弦周期电流电路TavdttuTU0)(1IIKIIKmAavf 对周期量,有时还用波形因数Kf、波顶因数K和畸变因数Kj来反映其性质:第7章 非正弦周期电流电路IIKj1对上例的正弦量 1414.1
9、211.11IIKIIKIIKjmAavf第7章 非正弦周期电流电路7.2.3 平均功率平均功率 10100)sin()()sin()()(1kikkmkukkmTtkIItutkUUtudttpTPdttkIItkUUTdttituTdttpTPkikkmTkukkmTT)sin()sin(1)()(1)(11001000第7章 非正弦周期电流电路0000001IUdtIUTPTkkkikukkmkmTikkmukkmkIUIUdttkItkUTPcos)cos(21)sin()sin(10第7章 非正弦周期电流电路1sinkkkkIUQ12201220kkkkIIUUUISSPUIPcos
10、10coskkkkIUPP 等效正弦波替代原来的非正弦波。等效的条件是:等效正弦量的有效值为非正弦量的有效值，等效正弦量的频率为基波的频率,平均功率不变。第7章 非正弦周期电流电路例例7.4 已知某电路的电压、电流分别为VtttiVtttu)500sin2)30100sin(63)()30300sin(8)30100(2010)(求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。解解 平均功率为平均功率为var52)60sin(2622060)60cos(26220310QWP无功功率为无功功率为 视在功率为视在功率为 VAUIS1.9822)26(328)220(10222222第7章 非正弦周期电流
11、电路7.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 其分析电路的一般步骤步骤如下:(1)将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数,并根据计算精度要求,取有限项高次谐波。(2)分别计算各次谐波单独作用下电路的响应,计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量,电感元件等于短路,电容元件等于开路。对各次谐波,电路成为正弦交流电路。(3)应用叠加原理,将各次谐波作用下的响应解析式进行叠加。第7章 非正弦周期电流电路例例7.5 图7.5(a)所示电路中,)303sin(250sin210010)(Vtttu并且已知,10,5,15/1,221RRCL求各支路电流及R1支路吸收
12、的平均功率。(1)在直流分量0=10V单独作用下的等效电路如图7.5(b)所示,这时电感相当于短路,而电容相当于开路。各支路电流分别为AIIIARUI202510)0(1)0()0(210)0(1第7章 非正弦周期电流电路i2Ci1R2R1iu(t)(a)R2R1I(0)U0(b)I1(0)i2(1)Ci1(1)R2R1i(1)u1(t)(c)Li2(3)Ci1(3)R2R1i(3)u3(t)(d)LLI2(0)图 7.5 例 7.5 图 第7章 非正弦周期电流电路 (2)在基波分量 单独作用下,等效电路如图7.5(c)所示,用相量法计算如下:tVtusin2100)(1AIIIAjLjRUI
13、AjLjRUIVU38.65.20)3.5655.58.216.18(3.5655.5151001008.216.182501000100)1(2)1(1)1(111)1(111)1(11第7章 非正弦周期电流电路 (3)在三次谐波分量 单独作用下,等效电路如图7.5(d)所示。此时,感抗 ,容抗 。Vtu)303sin(250363)3(LXL531)3(CXCAIIIAjjXRUIAjjXRUIVUCL17.1062.857.5647.4510305019.204.66530503050)3(2)3(1)3()3(23)3(2)3(13)3(11第7章 非正弦周期电流电路AttiiItiA
14、ttiiItiAttiiIti)57.563sin(247.4)3.56sin(255.5)()19.203sin(24.6)8.21sin(26.182)()17.103sin(262.8)38.6sin(25.202)()3(2)1(2)0(22)3(1)1(1)0(11)3()1()0(第7章 非正弦周期电流电路WUIUIUIPAIAIAI8.19518.20417272019.50cos504.6)8.21cos(1006.18102coscos12.747.455.572.194.66.18226.2262.85.20233)3(111)1(10)0(112232221222第7章
15、非正弦周期电流电路 例例 7.6 图7.6所示电路中,已知 R=10,L=30,L1=10,1/C=90。试求 i(t)、i1(t)、u(t)。,)3sin230sin25010(Vttusi1L1uCLRius(t)图 7.6 例 7.6 图 第7章 非正弦周期电流电路ARUIIUso110100)0(100解解 (1)对直流分量(2)在基波作用下 37.7644.4225.1130109010901030101)1(0501111jjjjjCjLjCjLjLjRZVUs第7章 非正弦周期电流电路AjLjUIVjUAZUIs37.76325.11063.1325.1363.1325.1337
16、.76178.125.1137.76178.137.7644.420501)1()1(1)1(11)1(第7章 非正弦周期电流电路 (3)对 三 次 谐 波,并 联 的 L1、C 发 生 谐 振,即3L1=1/3C=30,这部分阻抗为无穷大,所以 VttuuUtuAttiiItiAtiiItiAjjLjUIVUUIss3sin230)63.13sin(225.13)()903sin(2)37.76sin(2325.11)()37.76sin(2178.11)(11030303300)3()1(0)3(1)1(1)0(11)3()1(03)3(13)3()3(第7章 非正弦周期电流电路LLCCCL(a)(b)图 7.7 简单滤波器
