1、第二章第二章 静静 电电 场场(二二)2n2-1 静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用n2-2 平行双电轴法平行双电轴法 n2-3 无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法 n2-4 球形导体面的镜象球形导体面的镜象 n2-5 无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象n2-6 电容与电容的计算电容与电容的计算 n2-7 双输电线的电容双输电线的电容 n2-8 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 n2-9 带电导体系统的电场能量及其分布带电导体系统的电场能量及其分布n2-10 虚位移法计算电场力虚位移法计算电场力 目目 录录3除唯一性定理以外，都属于静电场求解方
2、面的应用问题除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题 1、唯一性定理及其重要意义、唯一性定理及其重要意义 2、电、电 轴轴 法法 3、镜象法、镜象法 4、电容的计算、电容的计算5、带电导体系统部分电容、带电导体系统部分电容 6、多导体系统的电场能量与电场力、多导体系统的电场能量与电场力 本章内容本章内容42-1 静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用 一、唯一性定理及其重要意义一、唯一性定理及其重要意义 唯一性定理：静电场中，满足一定边界条件唯一性定理：静电场中，满足一定边界条件(即前述三类即前述三类边界条件边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。的泊松方程或拉普
3、拉斯方程的解是唯一的。当场中介质及各导体的分布一定时：当场中介质及各导体的分布一定时：1、给定各导体表面的、给定各导体表面的电位值电位值此时由边值问题解得之电位此时由边值问题解得之电位函数为唯一；函数为唯一；52、导体表面为等位面，给定各导、导体表面为等位面，给定各导体表面的体表面的电荷量电荷量，此时由边值问，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数，而电位的梯度无关紧要的常数，而电位的梯度E是唯一的。是唯一的。3、若给定某些导体表面的、若给定某些导体表面的电电位值位值，及其它导体表面，及其它导体表面(导体导体表面为等位面表面为等位面)的的电荷量电荷量
4、，此，此时由边值问题所解得的电位函时由边值问题所解得的电位函数为唯一。数为唯一。静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用6由唯一性定理可获得的重要概念：由唯一性定理可获得的重要概念：1.明确哪些条件可以完全而且唯一地确定静电场的解，明确哪些条件可以完全而且唯一地确定静电场的解，从而使我们在求解静电场问题时能正确地提出边界条件。从而使我们在求解静电场问题时能正确地提出边界条件。在处理实际问题时，就能根据所提条件判明问题是否有解在处理实际问题时，就能根据所提条件判明问题是否有解如何正确提供条件才能有解。如何正确提供条件才能有解。2.在许多实际问题中，往往不能对泊松方程或拉普拉在许多实际
5、问题中，往往不能对泊松方程或拉普拉斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之解是否正确唯一，要看它是否满足唯一性定理所要求满足解是否正确唯一，要看它是否满足唯一性定理所要求满足的条件来进行判定。的条件来进行判定。3.有许多实际问题，由于采用不同的方法求解，其解有许多实际问题，由于采用不同的方法求解，其解的形式可能不一样，如果求得的解都满足唯一性定理所要的形式可能不一样，如果求得的解都满足唯一性定理所要求满足的条件，则可以判定这些不同形式的解彼此相等且求满足的条件，则可以判定这些不同形式的解彼此相等且均为有效。均为有效。说明说明静电场的唯
6、一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用7 根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。则等位面另侧的电场保持不变。两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧之一侧(内或外侧内或外侧)填充导电媒质，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。填充导电媒质，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。二、唯一性定理的应用二、唯一性定理的应用等位面法等位面法静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用8例例:空气中有半径为空气中有半径为R1 1的导体球，其电位为已知。试确
7、定导的导体球，其电位为已知。试确定导体球外距球心体球外距球心RR1 1区域的电场强度。区域的电场强度。10114Rq唯一确定一定，则反过来，唯一确定已知，11110114qRq102110201140RRRRRRRqERRE解：设导体带电荷解：设导体带电荷1q9若若RR2导体球带有同样的电荷导体球带有同样的电荷11014Rq 202110201240RRRRRRRqERRE2RR 电场的分布完全一样，这就是等位体法电场的分布完全一样，这就是等位体法唯一性定理应用的一个例证唯一性定理应用的一个例证101.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一
8、侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即边界条件没有变化。上所穿过的总电通量，即边界条件没有变化。SdnSdD2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用等位面法的实质：等位面法
9、的实质：11例例2-12-1 静电场唯一性定理在解静电屏静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。蔽现象中的应用。解解 静电屏蔽现象：静电屏蔽现象：(1)(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；外的电场；(2)(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。的电场不受壳外电荷的影响。一种情形：设封闭导体壳的外表面为一种情形：设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，在数量上增减或作位置上的移动，
10、由于导体壳接地，恒有由于导体壳接地，恒有 ，始终没有改变壳外区域边界面，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。场。01s静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用121qSdnS 第二种情形：设封闭导体壳的内表第二种情形：设封闭导体壳的内表面为面为S2 2，对于壳内区域而言它是一，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，个边界面。首先，S2 2是一个等位面。是一个等位面。其次，如在壳内紧贴其次，如在壳内紧贴S2 2作一高斯面作一高斯面S，则有，则有 以以S2 2作为导体壳内电场的一个
11、边界面，通过它的电通量仅仅作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷电荷q2 2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。（电位移矢量电位移矢量 的通量为的通量为q1）D13例例:一点电荷位于两种介质的交
12、界面，试确定上下两部分一点电荷位于两种介质的交界面，试确定上下两部分的电位。的电位。Rk21 0121满足拉氏方程，且：、02220211RRkERRkE解：解：试探法试探法 试探解试探解2、介质的交界面介质的交界面n2n1t22t10DDERkE3、作一高斯面作一高斯面球坐标球坐标14qRRkRRkqdSEdSESdDSSs2222212221112202212121222RRqERqqk15设介质电容率为设介质电容率为0的空间有两无限长平行电轴，两电轴的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为所带有的电荷线密度分别为0102RRE0202RRE ,2-2 平平 行行 双双 电
13、电 轴轴 法法 一、平行双电轴电场一、平行双电轴电场 由高斯定理可得两电轴分别产由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为生的电场强度表达式为平行双电轴电场是一个平行平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形面上，场有完全相同的分布图形平平 行行 双双 电电 轴轴 法法16 202/220102/110ln2ln22ln2ln2221RDdRRRdERDdRRRdEDROPPDROPP120210ln2ln2lnln2ln2RRRDRDppp选取坐标轴的原点选取坐标轴的原点o为零电位点为零电位点，点点P电位为电位为由叠加原理
14、，点由叠加原理，点P的电位为的电位为1RdRd平平 行行 双双 电电 轴轴 法法17等位线的分布规律等位线的分布规律 在双电轴的电场中，等位在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面面是一组偏心的圆柱族面120ln2RRp轴左侧在轴轴右侧在y1y1y1121212RRkRRkRRk平平 行行 双双 电电 轴轴 法法18某个等位圆之半径为某个等位圆之半径为R0等位圆圆心至中性面距离为等位圆圆心至中性面距离为x0电轴至中性面的距离为电轴至中性面的距离为 D/2在等位圆上选择特殊点在等位圆上选择特殊点A及及BR2/R1=R2/R1=K(常数常数)000000002222RDxDDxRRxDDxRk
15、22002DxR等位面与电轴之间的关系等位面与电轴之间的关系平平 行行 双双 电电 轴轴 法法19可知：可知：1)若已知电轴位置，选取任意点若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作为圆心，即可作出以出以x0为圆心为圆心R0为半径的等位圆。为半径的等位圆。2)若已知电轴位置，给定任意的若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等，亦可作出此等位圆圆心所在处位圆圆心所在处x0的等位圆。的等位圆。3)若已知若已知R0，及圆心的位置，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离的位置，亦即推求出距离D平平 行行 双双 电电 轴轴 法法20 具有相同半径具有相同半径R0
16、的平行双输电线。的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为量分别为+及及-，求电场分布。，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，媒质所得，根据等位面法，此问题此问题转化为求解双电轴的电场转化为求解双电轴的电场 二、平行双电轴法二、平行双电轴法22002DRx1、相同半径相同半径的平行双输电线双电轴的位置：的平行双输电线双电轴的位置：平平 行行 双双 电电 轴轴 法法212020202022RxRxD得得dxx00dRRdx22020202、
17、对于相互平行但对于相互平行但半径不同半径不同的双输电线的双输电线 半径半径R0与与R0以及两圆柱体轴心距离以及两圆柱体轴心距离d已知，得已知，得02020202xddRRdx解得解得x0及及x0可求两电轴的距离可求两电轴的距离平平 行行 双双 电电 轴轴 法法22 3、两偏心圆柱套筒的电场两偏心圆柱套筒的电场 已知两圆柱套筒半径已知两圆柱套筒半径R0、R0以及圆柱轴心间距离以及圆柱轴心间距离dddRRx2220200ddRRx2220200从而可求两电轴的距离从而可求两电轴的距离D 电轴法在求解双输电线电容及电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广偏心圆柱套筒等的电容问题中被广
18、泛运用泛运用2020202022RxRxDdxx00平平 行行 双双 电电 轴轴 法法23cmdRRdx25.235022015502222202020例例2-2 空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量量异号电荷。设单位长度的电量=10-8C/m，圆柱的半径，圆柱的半径各为各为R0=15cm,R0=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位。试求电轴的位置、零位(中性中性)面的位置。面的位置。解解:可确定中性面到半径为可确定中性面到半径为R0的圆柱面的几何中心的距离为的
19、圆柱面的几何中心的距离为平平 行行 双双 电电 轴轴 法法24cmxdx75.265.235000cmRxD76.171525.232222020电轴到中性面的距离为电轴到中性面的距离为中性面到半径中性面到半径R0的圆柱面的几何中心的距离为的圆柱面的几何中心的距离为平平 行行 双双 电电 轴轴 法法25cmRxDAOcmRxDAOcmRxDAOcmRxDAO01.112075.2676.17251.242075.2676.17201.261525.2376.17251.91525.2376.172002001002001平平 行行 双双 电电 轴轴 法法26cmDxRBOcmDxRBOcmDx
20、RBOcmDxRBO99.28251.64201.56249.202002001002001平平 行行 双双 电电 轴轴 法法2728212821/1009.222/1029.222mCAoAoDmCAoAoDAnAnAA29212921/1002.322/1093.422mCBoBoDmCBoBoDBnBnBB外法线方向均相反外法线方向均相反外法线方向均一致外法线方向均一致外法线方向一个外法线方向一个相反一个一致相反一个一致28 基于唯一性定理的镜象法基于唯一性定理的镜象法 以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件
21、保持不变，从而保持被研究的场不变使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变 由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜平面镜象或曲面镜象象或曲面镜象)，故称为，故称为镜象法镜象法。2-3 无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法 一、点电荷对无限大导电平面的镜象一、点电荷对无限大导电平面的镜象无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法29 对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷电荷(感应电荷感应电荷)已知为已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半。设想将无限大地平面
22、撤去，而将下半场域亦充以电容率为场域亦充以电容率为0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的的镜象位置，放置一点电荷镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变qSdnSdD无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法30导电平面镜象问题的特点：导电平面镜象问题的特点：1、镜象电荷必在被研究场域边界外，、镜象电荷必在被研究场域边界外，2、所处位置与场源电荷以平面对称。、所处位置与场源电荷以平面对称。3、镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相
23、等，与场源电荷、镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法31二、无限大导电平面镜象法的应用二、无限大导电平面镜象法的应用应用应用1(a)直角区域内的点电荷直角区域内的点电荷(b)图图(a)的镜象电荷的镜象电荷应用应用2(a)特殊角特殊角(2/偶数偶数)区域的点电区域的点电荷荷(b)图图(a)的镜象电荷的镜象电荷无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法32应用应用3(a)大地上方h处平行放置长直圆柱导体；(b)图(a)的镜象无限大导电平面的镜
24、象法无限大导电平面的镜象法33例例2-3 带电的云与地面之间形成带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场一均匀向下的电场E0。将导致高度。将导致高度为为l处的高压输电线处的高压输电线A的电位升高。的电位升高。若在若在A的上方又架设有架空地线的上方又架设有架空地线G，半径为半径为r0，G是经过支架接地的，是经过支架接地的，则在架空地线则在架空地线G上感应出负电荷，上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低以降低A处的电位。工程上采用这处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，种方法使得高压
25、输电线免受雷击，试求由于架空地线的屏蔽作用而导试求由于架空地线的屏蔽作用而导致致A处电位的变化。处电位的变化。无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法34hr2ln2001hE02hEhr000212ln2hrhE2ln2000解：解：设架空地线单位长度上的感应负电荷为设架空地线单位长度上的感应负电荷为-。地面上的感应正。地面上的感应正电荷可视为电荷可视为-感应所致，它在大气中产生的电场可以用感应所致，它在大气中产生的电场可以用-的镜象电的镜象电荷荷+来代替。因为架空地线的半径来代替。因为架空地线的半径r0较之它与镜象之间的距离较之它与镜象之间的距离2h小得多，可以认为电轴与几何轴线重合。
26、架空地线的电位为小得多，可以认为电轴与几何轴线重合。架空地线的电位为故得故得因为接地因为接地在大气电场中架空地线的电位为在大气电场中架空地线的电位为无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法35高压输电线高压输电线A处的电位由原来的处的电位由原来的 降低为降低为lE00hrlhlhhElElhlhlE2lnlnln200000hrlhlhlh2lnln100%1.610 架空地线的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值架空地线的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生
27、雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高压输电线免受直接的雷击压输电线免受直接的雷击。若若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得，得相对值为相对值为无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法362-4 球形导体面的镜象球形导体面的镜象 点电荷点电荷q的电场中，置有一半径为的电场中，置有一半径为R的接地导体球。的接地导体球。一、接地导体球对点电荷的镜象一、接地导体球对点电荷的镜象 球心至点电荷的距离为球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量
28、而异号的感应电荷性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷+q与与-q。其数值必较。其数值必较电荷电荷q为小，即为小，即qq。球形导体面的镜象球形导体面的镜象37 导体球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作导体球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电位为零。位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为0的同一媒质，并在距球心的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷处，置一虚拟的集中镜象电荷-q，来
29、代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷则球面以外的电场，可视为点电荷q及及-q所共同产生的电场，所共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。球形导体面的镜象球形导体面的镜象380442010RqRqp 设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径为半径的圆周上的任意点的圆周上的任意点P，其电位表达式为其电位表达式为qqRR12 点电荷点电荷q为确定值，为确定值，q亦必为确定值亦必为确定值 在圆
30、上选取两特殊点在圆上选取两特殊点C及及DkqqRR12(k常数常数)RdbRRdbRk解上式得解上式得dRb2球形导体面的镜象球形导体面的镜象39dRqRddRRqRdbRqq2在求得在求得q与与b值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题dRb2分析：分析：（1）当距离）当距离d一定时导体球半径一定时导体球半径R愈大则镜象电荷愈大则镜象电荷q亦愈大。这亦愈大。这是因为半径愈大时，球面愈大，其离点电荷是因为半径愈大时，球面愈大，其离点电荷q愈近，所受电场力愈近，所受电场力愈大，因而球面上感应电荷亦愈多。同理，当愈大，因而球面上感应电荷亦愈多。同理，当R一定
31、时一定时d愈大，愈大，球面离点电荷距离愈远，球面所受电场力亦愈小，故球面感应电球面离点电荷距离愈远，球面所受电场力亦愈小，故球面感应电荷愈小。荷愈小。球形导体面的镜象球形导体面的镜象40（2）当导体球半径愈大时，靠近点电荷）当导体球半径愈大时，靠近点电荷q一侧的导体球面其一侧的导体球面其所感应的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等效的镜象电所感应的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等效的镜象电荷荷q的位置将愈靠近点电荷的位置将愈靠近点电荷q之一侧，亦即之一侧，亦即b愈大；当点电荷愈大；当点电荷q远离导体球时，球面感应电荷的密集程度减少，整个球面上远离导体球时，球面感应电荷的密集程度减少，整个球面上
32、感应电荷面密度愈来愈均匀，因而镜象电荷将愈靠近导体球感应电荷面密度愈来愈均匀，因而镜象电荷将愈靠近导体球心，即心，即b随距离随距离d的增大而减小。的增大而减小。（3）若运用等位面法考虑上述问题时，球外电场可以认为是）若运用等位面法考虑上述问题时，球外电场可以认为是沿等位球面填充导电媒质所得。当沿等位球面填充导电媒质沿等位球面填充导电媒质所得。当沿等位球面填充导电媒质后，电荷后，电荷q即转移至导体球表面，此时导体球外侧的电场仍保即转移至导体球表面，此时导体球外侧的电场仍保持不变，亦即球外的电场，可以视为两点电荷持不变，亦即球外的电场，可以视为两点电荷(-q及及q)的电场的电场进行求解。进行求解。
33、球形导体面的镜象球形导体面的镜象41若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件:)球面为等位面；球面为等位面；)因导体球原不带电，引入电场后，其所感应的正电荷量与负因导体球原不带电，引入电场后，其所感应的正电荷量与负电荷量相等，故电荷量相等，故球面总电荷量为零球面总电荷量为零。在球心在球心o处放置一点电荷处放置一点电荷q，则能满足上述的边界条件，则能满足上述的边界条件 导体球外的电场，即可看为由点电荷导体球外的电场，即可看为由点电荷q、q及及-q三者所共同激三者所共同激发的电场发的电场。二、不接地导体球对点电荷的镜象二、不接地导
34、体球对点电荷的镜象球形导体面的镜象球形导体面的镜象42例例2-4 空气中有一内外半径分别空气中有一内外半径分别为为R11和和R22的导体球壳原不带电，的导体球壳原不带电，其内腔介质为其内腔介质为0，若于壳内距球心，若于壳内距球心为为b处放置点电荷处放置点电荷q，求球壳，求球壳内外内外的的电场强度和电位。电场强度和电位。解：解：点电荷点电荷q在球壳的内、外表面在球壳的内、外表面上感应电荷分别为上感应电荷分别为-q和和q。可以证。可以证明球壳外表面的电荷明球壳外表面的电荷q是均匀分布是均匀分布的。壳外的电场完全由这些均匀分的。壳外的电场完全由这些均匀分布的感应电荷所激发布的感应电荷所激发0204R
35、RqE外壳外的电场强度：壳外的电场强度：电位为：电位为：Rq04外(RR22)43 球壳内表面作不均匀分布的感应电荷球壳内表面作不均匀分布的感应电荷-q和点电荷和点电荷q只在球壳只在球壳内部激发电场，壳内的电场使得半径为内部激发电场，壳内的电场使得半径为R11的内球面为等位面的内球面为等位面和进入内球面的电位移和进入内球面的电位移 的通量为的通量为q。D 仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的方法求解仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的方法求解球面内的电场，在球面外设置镜象电荷球面内的电场，在球面外设置镜象电荷-q，如图，如图(b)所示。所示。0442010RqRqpdRb2dRqq
36、 0442010RqRqpbRd211bRqRdqq1111比较比较44 点电荷点电荷-q和和q使得半径为使得半径为R11的球面电位为零，满足等位面的球面电位为零，满足等位面的要求，并且没有改变进入内球面的电位移的要求，并且没有改变进入内球面的电位移 的通量。所以球的通量。所以球面外镜象电荷面外镜象电荷-q可以代替分布的感应电荷，其在球面内任一点可以代替分布的感应电荷，其在球面内任一点P所产生的电场强度为所产生的电场强度为02221121010022001210444RbRRRRqRRqRRqE内DR1、R2分别是点电荷分别是点电荷q、-q到场点到场点P的距离的距离 为相应的单位矢径为相应的单
37、位矢径0201,RR 球内点球内点P处的电位应由此两点电处的电位应由此两点电荷所产生的电位，及荷所产生的电位，及导体球壳电位导体球壳电位叠加而成。叠加而成。220112010444RqbRRqRq内452-5 无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象 有电容率分别为有电容率分别为1及及2的媒质区域的媒质区域 区域交界处为无限大平面区域交界处为无限大平面 在媒质在媒质1中，离界面高度中，离界面高度h处，置一点电荷处，置一点电荷q 如何求此时上、下半无限大场域的电场？如何求此时上、下半无限大场域的电场？介质交界面外的点电荷介质交界面外的点电荷介质交界面上的极化电荷介质交界面上的极化电荷46
38、交界面上的束缚电荷和原电荷交界面上的束缚电荷和原电荷用用q来代替来代替交界面上束缚电荷用镜象电交界面上束缚电荷用镜象电荷荷q来代替来代替0sin4sin4221RqRqDn上半无限大场域的电场上半无限大场域的电场11144RqRqsin422RqDn 224Rq 下半无限大场域的电场下半无限大场域的电场无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象47121221nnDD121221211qqqqqq 根据两种介质边界条件：根据两种介质边界条件：得得qq2121qq2122 镜象电荷有惟一确定的值镜象电荷有惟一确定的值 上半场域与下半场域的电场上半场域与下半场域的电场 12时，时，q=0，q
39、=q，整场域变为均匀媒质场域，束缚，整场域变为均匀媒质场域，束缚电荷将不复存在。电荷将不复存在。无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象48平行于介质交界面的线分布电荷平行于介质交界面的线分布电荷 线分布电荷在两种不同介质线分布电荷在两种不同介质中的电场中的电场推广：推广：无限大介质平面上，置有一带电长直导线的电场，即无限大介质平面上，置有一带电长直导线的电场，即可运用上述方法求解。可运用上述方法求解。21212122 无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象49解解:可将导线表面电荷视为集中可将导线表面电荷视为集中到几何轴线上的线电荷。求水中到几何轴线上的线电荷。求水中电场时
40、，将上半空间的媒质换为电场时，将上半空间的媒质换为800，而导线的电荷，而导线的电荷连同交界面连同交界面上分布的极化电荷可等效为上分布的极化电荷可等效为例例2-5 离河面高度为离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量长度的电荷量，且导线半径，且导线半径Rh。设河水的电容率为。设河水的电容率为800，求水中的电场强度。，求水中的电场强度。81160808022000212 无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象50 yxyxyxehyxhyehyxxeRhyeRxeRhyeRxRRRE22220220202818016216022故水中任一点故
41、水中任一点P(x，y)的电场强度的电场强度无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象51UQC (2)孤立导体电容的定义：当空间仅存有一孤立导体时，孤立导体电容的定义：当空间仅存有一孤立导体时，可设另一导体在无限远处，因而孤立导体的电容即是导体所可设另一导体在无限远处，因而孤立导体的电容即是导体所带的电量与其电位之比。即带的电量与其电位之比。即 一、电容 (1)双导体电容的定义：设空间仅有两导体，若两导体分双导体电容的定义：设空间仅有两导体，若两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值q与两导体间电压与两导体间电压U之比，定义为两导体间的电容，通常以
42、之比，定义为两导体间的电容，通常以C表示表示 QC2-6 电电 容容 与与 电电 容容 的的 计计 算算 52RqC04孤立导体球的电容计算公式孤立导体球的电容计算公式在线性媒质中，两导体间的电容在线性媒质中，两导体间的电容仅决定于两导体本身几何尺寸、仅决定于两导体本身几何尺寸、相互位置和空间媒质的电容率的相互位置和空间媒质的电容率的量，而与两导体所带的电量以及量，而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。两导体间电压的数值无关。ll dEU1、可先赋予两导体以等值而异号的电量、可先赋予两导体以等值而异号的电量q，再求在其作用下，再求在其作用下，两导体间的电压两导体间的电压U，然后按定义
43、式求得两导体间电容，然后按定义式求得两导体间电容C。2、也可先赋予两导体以电压、也可先赋予两导体以电压U，求得每导体所具有的电量，求得每导体所具有的电量q后得两导体间电容后得两导体间电容C。sSndSEdSq二、电容的求解方法二、电容的求解方法 53dAabUQCAQddddzbal dEabUAQzeE0,解：导体间电场强度为例：例：两间距为两间距为d板面积为板面积为A的平行导电的平行导电板构成一平板电容器，上面板电荷为板构成一平板电容器，上面板电荷为Q，下面板为，下面板为Q，问电容是多少？，问电容是多少？54 球形电容器的半径比球形电容器的半径比 R2/R1101例例2-6：球形电容器的内
44、球外半径为球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为，外球的内半径为R2。介质的电容率为介质的电容率为0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电，试确定球形电容器的内外半径比容器的内外半径比(R2/R1)。解解 设球形电容器的内导体球的电荷为设球形电容器的内导体球的电荷为q，则，则0204RRqE21012204421RRRRqdRRqURR12210124RRRRUqC1014RC10011112211112RRRRRRCCC(R1RC0，在上，在上式中，令式中，令
45、h，同样可以得到忽略地面影响的电容计，同样可以得到忽略地面影响的电容计算式算式0220024lnRhdhdUC000lnRdC双输电线的电容双输电线的电容64 在实际问题中常常要遇到带电的在实际问题中常常要遇到带电的多导体系统多导体系统，此，此时每两带电导体间均有所谓时每两带电导体间均有所谓部分电容部分电容存在。存在。因为，多导体系统任意两个导体间的因为，多导体系统任意两个导体间的电压电压不仅要不仅要受到它们自身电荷的影响，还要受到其余导体电荷的受到它们自身电荷的影响，还要受到其余导体电荷的影响。这时，系统导体间的电压与导体电荷的关系，影响。这时，系统导体间的电压与导体电荷的关系，一般不能仅用
46、一个电容来表示，需要将电容的概念加一般不能仅用一个电容来表示，需要将电容的概念加以扩充，引入部分电容的概念以扩充，引入部分电容的概念2-8 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 一、部分电容的概念的引入一、部分电容的概念的引入多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容65独立导体系统（静电独立系统）独立导体系统（静电独立系统）一个系统一切电的联系均在系统内，与外系统无一个系统一切电的联系均在系统内，与外系统无关。关。每个导体的电位仅与本系统内的带点导体的电荷每个导体的电位仅与本系统内的带点导体的电荷有关，或者说电场分布只与本系统内各带电导体的形有关，或者说电场分布只与本系统内各带电导体的形状
47、、尺寸、相互位置及电介质的分布有关。状、尺寸、相互位置及电介质的分布有关。所有电通量密度（所有电通量密度（D）全部从带电体出发，也全）全部从带电体出发，也全部终止与系统内。部终止与系统内。多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容66 例：例：外壳接地的三芯电缆外壳接地的三芯电缆 其中其中:C11、C22、C33分别为导体分别为导体1、2、3对地的对地的自部分电容自部分电容 C12为导体为导体1、2间的互部分电容间的互部分电容 C23为导体为导体2、3间的互部分电容，间的互部分电容，C31则为导体则为导体3、1间的互部分电容。间的互部分电容。多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容67例：例：受
48、大地影响的双输电线系统是一个多导体系受大地影响的双输电线系统是一个多导体系统，它们的互部分电容和自部分电容表示在图中统，它们的互部分电容和自部分电容表示在图中 例：例：考虑大地影响时，三相输电线的部分电容情考虑大地影响时，三相输电线的部分电容情形。形。在带电的多导体系统中，每一导体的电在带电的多导体系统中，每一导体的电位与所有带电导体的电荷都是相关的。位与所有带电导体的电荷都是相关的。多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容68导体导体1电荷量为电荷量为q1，其它导体不带电荷时，其它导体不带电荷时导体导体1上的电荷量由上的电荷量由q1增加至增加至q1，则导体，则导体1上各处的电荷密上各处的电荷
49、密度，均将同时增加度，均将同时增加K倍倍导体所带的总电荷量与其表面电荷密度间存在着线性关系。导体所带的总电荷量与其表面电荷密度间存在着线性关系。二、多导体系统中导体电荷与电位的线性关系二、多导体系统中导体电荷与电位的线性关系给定导体给定导体1的电荷量在导体的电荷量在导体2、3上感应的电荷上感应的电荷感应电荷量与引起感应的感应电荷量与引起感应的电荷成比例电荷成比例至至q1电荷密度，均将同时增加电荷密度，均将同时增加K K倍倍多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容69运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度增加增加K倍时，场中所
50、有点的电位倍时，场中所有点的电位(包括导体表面点包括导体表面点)亦增加亦增加K倍倍这就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体这就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体1的电荷的电荷(或或电位电位)增加增加K倍时，场中所有点的电位于倍时，场中所有点的电位于(或电荷或电荷)亦将增加亦将增加K倍。倍。更一般的说法是：在线性媒质空间的多导体系统中，场中所更一般的说法是：在线性媒质空间的多导体系统中，场中所有点有点(包括导体表面点包括导体表面点)的电位，与每一导体的电荷量间具有线的电位，与每一导体的电荷量间具有线性关系。性关系。332211321qqqAAAAAAA多导体系统的部分电容多导体系统的部分电
