1、第4章1 本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 时谐电磁场时谐电磁场第4章24.1 波动方程波动方程 在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系间的相互作用关
2、系 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程波动方程 问题的提出问题的提出电磁波动方程电磁波动方程2220EEt2220HHt第4章3同理可得同理可得 推证推证 问题问题 若为有源空间，结果如何？若为有源空间，结果如何？若为导电媒质，结果如何？若为导电媒质，结果如何？00HtHtH()EHt 22()HHHt 22220HHt2220EEt第4章44.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程位函数的微分方程第4章5引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述
3、时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义0BBA Bt()0AtAEt 第4章6 位函数的不确定性位函数的不确定性）、（A 满足下列变换关系的两组位函数满足下列变换关系的两组位函数 和和 能描述同能描述同一个电磁场问题。一个电磁场问题。即即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换函数之间的上述变换称为规范变换A 原因：未规定原因：未规定 的散度的散度为任意可微函数为任意可微函数AAt ()()()AAAAAAtttt A（、）A（、）A第
4、4章7除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得的散度使位函数满足的方程得以简化。以简化。AAAA0At0A第4章8 位函数的微分方程位函数的微分方程BDEHDHJtEBJtABAEt ()AAJtt2()AAA 222()AAJAtt 222AAJ
5、t 0At第4章9同样同样D()At 222t ADEEt、0At第4章10 说明说明 若应用库仑条件，若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程位函数满足什么样的方程?具有什么特点具有什么特点?问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需
6、解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位用不同的规范条件，矢量位A和标量位和标量位 的解也不相同，但最终的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。222AAJt 222t 第4章114.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量第4章12 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能
7、量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量电场能量密度电场能量密度：磁场能量密度磁场能量密度：电磁能量密度电磁能量密度：空间区域空间区域V中的电磁能量中的电磁能量：特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系：电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系ddWtVS12ew E D 12mw H B1122emwwwE DH B11d()d22VVWw VE DVH B第4章13 其中其中：单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增
8、加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；中的电流所作的功；在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式：坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：11()()22tE HE DH BE J d11()d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J d11()dd22VVtE DH B dVVE J()dSE HS第4章14 在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有在线性
9、和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到由由 推证推证DHJtBt DH JtBHHt DBHH JHtt1()1()22D Dtttt1()1()22BHH HHHH Btttt第4章15即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：在任意闭曲面在任意闭曲面S 所包围的体积所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能
10、量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。d11()d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J ()HHH 11()()22H DH B Jt 第4章16 定义：定义：(W/m2)物理意义物理意义：的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）H S 能能流流密
11、密度度矢矢量量 E SH S S 第4章17 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电，导体中流过的电流为流为I。（。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线第4章18电磁能量在内外导体之间的介质中沿
12、轴方向流动，即由电源向负电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。载，如图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）2d2d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 第4章19 解：解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易量，只有电场的径
13、向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为求得内外导体之间的电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量,ln()UEeb a 2IHe ()ab 2()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a 第4章20 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为磁场则仍为
14、内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）2zJIEea zzEE 外外 2ln()zaUIEeeab aa 外外2aIHea 外外2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外外外外第4章21式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。进入每单位长度内导体的功率为进入每单位长度内导体的功率为由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也
15、有径由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。向分量，如图所示。以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。22122320(e)d2d2SaIIPSSa zRIaa 外外21Ra 第4章224.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域内为边界的有界区域内V，如果给定
16、如果给定t0时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区
17、域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题惟一性问题VS第4章23 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟内的解不是惟一的，那么至少存在两组解一的，那么至少存在两组解 、和和 、满足同样的麦克斯韦满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令则在区域则在区域V 内内 和和 的初始值为零；在的初始值为零；在边界面边界面S 上电场强度上电场强
18、度 的的切向分量为零或磁场强度切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且的切向分量为零，且 和和 满足麦满足麦克斯韦方程克斯韦方程1E2E0E0E0E0H 0H 0H 1H 2H 012EEE012HHH000EHEt 00HEt 0()0H 0()0E 第4章24根据坡印廷定理，应有根据坡印廷定理，应有所以，得所以，得由于的初始值为零，将上式两边对由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得积分，可得根据根据 和和 的边界条件，上式左端的被积函数为的边界条件，上式左端的被积函数为0E0H 22200000d11()d()ddd22nSVVEHeSHEVEVt 000000()()()0nn
19、nSSSEHeeEHHeE222000d11()dd0d22VVHEVEVt222000011()d(d)d022tVVHEVEVt 第4章25上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）（证毕）即即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。00E 00H 12,EE 12HH 第4章264.5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程
20、复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第4章27 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义研究时
21、谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。第4章284.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。题得分析得以简化。设设 是一个以角频率是一个以角频率 随时间随时间t t 作正弦变化
22、的场量，它作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成其中其中时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0为振幅、为振幅、为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法复数表示法复数表示法复振幅复振幅(,)A r t()r 0(,)cos()A r tAtr ()0(,)ReRe()ejtrj tA r tA eA r ()0()ejrA rA 第4章29 复数式只是数学表
23、示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量的部份就可表示复矢量照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量 ()(,)Re()eReijtrj tiiimE r tE rE e ()()()()()()()yz
24、xjrjrjrmxxmyymzzmEre Er ee Er ee Er e (,)Re()ej tmE r tEr 第4章30 例例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：（解：（1）由于）由于（1）所以所以(,)cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz 00(,)()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta (,)cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz (/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E
25、(/2)()()eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E ()eyxjjjkzxxmyyme Eee jEe 第4章31（2）因为）因为 故故 所以所以 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz00(,)()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza 200(,)()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa 第4章32 例例4.5.2 已知电场强度复矢量已知
26、电场强度复矢量解解其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量()cos()mxxmzEze jEk z ()2(,)Recos()eRecos()ecos()cos()2cos()sin()jtxxmzjtxxmzxxmzxxmzE z te jEk ze Ek ze Ek zte Ek zt 第4章33以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得t Re 将将 、交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0，得，得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程令令t
27、/2，得，得即即BEt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt Ret 与与Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBj Bt ReRemmEj B ReRe()mmjEjj B ImIm()mmEj B mmEj B 第4章34从形式上讲，只要把微分算子从形式上讲，只要把微分算子 用用 代替，就可以把时谐电磁代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程t 略去略去“.”和下标和下标mtjDHJBEB0Dtt 0mmmmmmmmHJj DEj BBD 0HJj
28、DEj BDB t j 第4章35 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中式中解：解：（1）因为）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。12(,)(,)(,)E z tE z tEz t8182(,)0.03sin(10)(,)0.04cos(10/3)xxz ttkzz ttkz EeEe 888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)(,)0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re0.03eRe
29、0.04eRe0.03e0.04eexxxxjt kzjt kzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee 810t/2/3()0.030.04ejjjkzxzee Ee第4章36（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值0032054321()()0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexyjjjkzyjjjkzyEjzzjzkk HEeee58(,)Re()e7.6 10sin(10)j tyz tze ktkz HH481.01 10cos(10)3tkz 第
30、4章374.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 导电媒质导电媒质理想介质理想介质 在时谐时情况下，将在时谐时情况下，将 、，即可得到复矢即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量()k()cck jt 222t 22222200EEtHHt 222200Ek EHk H 22222200EEEttHHHtt 222200ccEk EHk H 第4章384.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。表示成复数形式。洛仑兹条
31、件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量BAAEt BAEjA At Aj 222222AAJtt 2222Ak AJk 第4章39 时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。式，不能将复数形式的场量直接代入。设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关系
32、，这种关系式称为二次式。4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 00(,)cos()(,)cos()E r tEtrH r tHtr第4章40则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实部，再代入先取实部，再代入 200cos()SEHEHtr ()()00()e()ejrjrE rEH rH()()002()0000Re(ee)ReeeRe ecos 22()rrrSEHEHEHEHrjtjtj tj tjtt ()()00200ReeReecos()jtrjtrSEHEHtr 第4章41使用二
33、次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘先取实后相乘”如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子第4章42 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢
34、量平均电场能量密度平均电场能量密度平均磁场能量密度平均磁场能量密度 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有算，有00111dd2TTeavewwtE D tTT 00111dd2TTmavmwwtH B tTT 0011d()dTTavSS tEHtTT111Re(),Re(),Re()244aveavmavSEHwE DwH B 第4章43则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关 例如某正弦电磁场的电场强
35、度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出00(,)cos(),(,)cos()E r tEtrH r tHtr2000000111()dcos()d2TTavSEHtEHtrtEHTT()0()0()e()ejrjrE rEH rH 001Re(e)Re(e)2j tj tavavSEHEH*1Re()2avSEH()()000011Reee22jrjrEHEH 第4章44 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。在在 中，中，
36、和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而在某一个瞬时的取值；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。(,)tS r()E r()H r()avSr 利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说(,)tS r()avSr()avSr(,)tS r(,)tS r()avSr
37、 关于关于 和和 的几点说明的几点说明()E r(,)S r t ()avSr (,)S r t ()avSr (,)(,)(,)S r tE r tH r t(,)E r t (,)H r t (,)S r t 1()Re()()2avSrE rHr ()H r ()avSr 01()(,)dTavSrS r ttT (,)S r t ()avSr ()avSr (,)S r t (,)Re()ej tavS r tSr 第4章45 例例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：
38、（1）磁场强度复矢）磁场强度复矢量量H；（；（2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量S；（；（3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav。解解：（1）由得）由得（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为0()ejkzyE ze E 0EjH 000000011()()()(e)1(e)ejkzzyjkzjkzxxH zE zee EjjzkEeEejz 0(,)Re()ecos()j tyE z tE ze Etkz 00(,)Re()ecos()j txkEH z tH zetkz 第4章46瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为000cos()cos()yxkESEHe Etkzetkz 220
39、0cos()zkEetkz 第4章47 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得0002200001Ree(e)221Re()2zjkzjkzavyxzkESe EekEkeeE 2002222000001dd2cos()d22TavzzSS tS tTkEketkzteE 第4章48 例例4.5.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为解解:(1)由于由于所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1)w 和和 wav；(2)S 和和 Sav。00(,)cos(),(,)cos()xyE
40、z te EtkzH z te Htkz22002222000011()()221cos()cos()2emwwwE DB HEHEtkzHtkz *000000e,e,e,ejkzjkzjkzjkzxxyyEe EDeEHe HBeH*22000011Re()()44aveavmavwwwE DB HEH 第4章(2)200(,)(,)cos()zSE z tH z te E Htkz *0011Re()22avzSEHeE H 第4章50例例4.5.6 已知截面为已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 式中式中H0、都是常数。试求：（都是常数。试求：（
41、1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。解：解：（1）和和 的瞬时值为的瞬时值为EH ab 000sine(sincos)ej zyj zxzaxe jHaaxxHe jHe Haa E0(,)Re esinsin()j tyaxx z teHtza EE0(,)Reesinsin()j txaxH x z tHeHtza 0coscos()zxe Htza 第4章51（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量202220(,)(,)(,)2sin()sin(22)4()sin()sin()xzS x z tE x z tH x z taxeHtzaaxeHtza *222011Re()sin()22avzaxSEHeHa
