1、2.1 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度一、库仑定律一、库仑定律121221230044Rq qq qRRFeR注意下标！是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数（电容率）0)/(10854.8103611290mF适用范围：，指当带电体的尺度远远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。实际带电体分布在一定的区域内，称为。定律的意义真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小与它们的电量和的乘积成正比；与它们之间的距离的平方成反比；力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。库仑定律为。同时电荷之间的作用力满足。电荷所受到的作用力是空间其余电荷单独存在时
2、作用力的矢量代数和，即 ijijijjiiRqqRF304 二、电场强度二、电场强度（一）引入背景库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向，但没有表明这种作用力是如何传递的。电场对处在其中的任何电荷都有作用力，称为。电荷间的相互作用力就是通过电场传递的。（二）定义单位正实验电荷实验电荷所受到的作用力。是指带电量很小，引入到电场内不影响电场分布的电荷。点电荷产生的电场强度000()()limqqF rE r2300()44RqqeRRRE r电荷所在点观察点(,)x y zr(,)x y zr rrR222)()()(zzyyxxRrr30()()4qrrE rrr 如果真空中有n个点
3、电荷，则r点处的电场强度可由叠加原理计算。即真空中n个点电荷在r点处的电场强度，等于各个点电荷单独在该点产生电场强度的叠加。即 iRniiiniiRqerErE12014)()(（三）电荷密度电子是自然界中最小的带电粒子之一，任何带电体的电荷量都是以电子电荷量的整数倍数值量出现的。从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间的。从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以连续分布的形式充满于该体积中。基于这种假设，我们用电荷体密度（即体电荷密度）来描述电荷在空间的分布.的定义为03()lim/VVCqmr为20()m/liSSqSC m r为0(im/)l
4、llqmlC r分布式电荷产生电场的计算方法22100()()()44iiRRViiVdVRRrer eE r体：22100()()()44isiRsRSiiSdSRRrer eE r面：22100()()()44iliRlRliildlRRrer eE r线：【例例】已知一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上任意一点的电场强度。【解解】选择圆柱坐标系，如图2-3，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为 。则zzer yxraaaeeersincos2/122)(azRrrRRR rrRel 所以轴线上任意一点的电场强度为图2-3 带均匀线电荷的圆环 o yxzRdqaPza
5、ddl)(sincos44)()(202/322020adazaazdlRyxzllRleeeerrEzlzazae2/3220)(22.2 电位电位 一、静电场的无旋性根据体电荷的场强表达式来推导静电场的旋度。20()()4RVdVRr eE r)1()(410dVRVr)(410dVRVr()r由0)(E0Escdd0 SElE0lE dcStokes定理结论：静电场是（），电场强度E沿任一，静电场中。二、电位二、电位由于静电场的无旋性电场 强度可用标量函数完整的描 述静电场的特性，即该标量函数称为（电势），单位：伏特（V）。式中的负号也表示电场是指向电位下降的方向。电位并不是唯一的。把任
6、意一个常数C加到 上，并不会影响E。因此要确定某一给定点的电位，必须任意设定空间某一点的电位为零，该点称为)()(rrEdlPQCE图2-4 静电场中的电 位电场可由电位的负梯度来计算，那么电位是如何由电场计算呢？0lE dclElEQPcddQPldleQPdllQPdQPQPQPQPdUEl若选择Q点为电位参考点，即 ，则场域内任一点P的电位为 当电荷分布在有限区域时，通常取无穷远为参考点，即 0QlEQPdplEPdp点电荷 点电荷系 体电荷面电荷线电荷Rq04NiiiRq1044)(0dVRVr4)(0dSRSsr4)(0dlRllr【例例】一个半径为a的均匀带电圆环，其电荷线密度为
7、，求轴线上任一点的电位和电场强度。【解解】选择圆柱坐标系如图 l图2-5 带均匀线电荷的圆环 o yxzRdqaPz2/12202000)(244azaRdldlRlalll22 3/20()()2()lzzazzaz E rree2/122)(azR2.3 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质一、静电场中的导体一、静电场中的导体导体是一种拥有大量自由电子的物质，如金属。在静电场中，导体内的自由电子会在静电力的作用下，做反电场方向的运动，直至积累在导体表面的电荷产生的附加电场在导体内处处与外加电场相抵消，此时导体内净电场为零（即状态）。静电平衡由 知，导体中的电位为常数，导体为等位体，
8、导体表面是等位面。导体内，任何净电荷只能分布在导体表面上（包括空腔导体的内表面）。体表面上场强的：；导体表面只可能有电场的法向分量 ；0tE0EnE0snnE4)(0dSRSsr 二、静电场中的电介质二、静电场中的电介质1.电介质电介质 电介质与导体不同，它的原子核与周围的电子之间相互作用力很大，所有的电子均被束缚在原子核周围，没有可自由运动的自由电荷。因此在电场的作用下，唯一可能存在的运动，就是正负电荷向相反方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变化。因而有必要单独加以讨论。按照介质分子内部结构的不同，可将其分为两类：一类是，它的正负电荷的电中
9、心重合，偶极矩为零。另一类是，其正负电荷的电中心不重合而，具有固有偶极矩。但由于分子的热运动，它们的排列是随机的。在没有外加电场时，从整体上看呈电中性，即总的偶极矩为零。此外，还有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论由分子组成的介质。2.电介质的极化电介质的极化电介质在外电场的作用下，极性分子中的正负电荷要产生相反方向的微小位移，形成电偶极子；而对于极性分子会向外电场方向偏转，排列有序，总的电偶极矩不再为零。这两种现象均称为电介质的极化。极化的结果在电介质的内部和表面都产生了极化电荷，极化电荷产生的极化电场叠加在原来的电场上，使电场发生变化。3.电偶极子电偶极子在极化了的电介质中，每个分子都起
10、着电偶极子的作用。因此从微观上讨论电偶极子的场是很有必要的。电偶极子是指由间距很小的两个等量异号点电荷组成的系统，如图2-6所示。电偶极子的远区场 取电偶极子的轴与z轴重合，电偶极子的中心在坐标原点。则电偶极子在空间任意点P的 电位为 其中：由于 ，所以将 展开并略去高阶项，得)11(4210rrq2/1221)cos4(rllrr2/1222)cos4(rllrrlr 21,rrPr1r2rlO-q+q图2-6 电偶极子 故 通常用表示电偶极子的大小和取向，它定义为电荷乘以有向距离，即 电偶极子的远区场为)cos1(1rlrr)cos1(2rlrr204cosrqllpq202044cosr
11、rprep)sincos2(430eeErrp电偶极子的场图如图2-7所示。图2-7电偶极子的场图4极化强度极化强度 为定量地计算介质极化的 影响，引入极化强度矢量 P，以及极化电荷密度的 概念。定义为：在介 质极化后，给定点上单位体积内总的电偶极矩，即 若p是体积中的平均偶极矩，是分子密度，则极化强度也可表示为 ViVpP0limxPzyr0Vd)(rRr图2-10 切向边界条件pPN5.极化介质产生的电位极化介质产生的电位当介质极化后，可等效为真空中一系列电偶极子。极化介质产生的附加电场，实质上就是这些电偶极子产生的电场，如图2-8所示。在极化强度为P的电介质中取一体积元 ,则 中的电偶极
12、矩为 ，中的电偶极子在介质外r处产生的电位是整个极化介质产生的电位是利用矢量恒等式：204)()(RdVdRerPr020)1(4)(4)()(VVRdVRRdVrPerPr)(AAAdVPdVdVdV 变换为 将上式与自由电荷和 和等效面分布电荷在真空中共同产生的。等效体电荷密度和等效面电荷密度分别为 这个等效电荷也称为或。00)(41)(41)(VVdVRdVRrPrPr00)(41)(41VSdVRRdrPSrP004141VPSSPdVRRdS)()(rPrPnrPr)()(SP2.4 高斯定理高斯定理一、真空中的高斯定理立体角的概念 定义：球面面元：在一个半径为R的球面上任取一个面元
13、dS，则此面元可构成一个以球心为顶点的锥体，如图所示，dS对球心所张成的立体角定义为。用d表示。非球面面元：取投影22RdRdSCosdReS 故曲面S对O所张的立体角为若S为封闭曲面，则 SedRSR2042SedRSR(ooSS在 内）在 外）描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷之间的关系。先考虑点电荷的电场穿过任意封闭曲面S的通量：对或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为上式称为04020qdRqdSRSSeSE)()(外在内在SSqq0qdSSE如果闭合面内的电荷是密度为的体电荷 VVdVdV01EVSdVd01SE0E积分形式积分形式微分形式微分形式散度定理 v高斯定理的积分
14、形式：可直接用来计算某些对称分布电荷所产生的场强值。v高斯定理的微分形式：用来从电场分布计算电荷分布。【例例】已知电荷按体密度 分布于一个半径为a的球形区域内，试计算球内、外的电场强度及其电位。【解解】显然电场具有球对称性（1）时)1(220arar VSdVd021SEardrrarrE022200224)1(1420302152raEr所以球外电场为（2）时rraeE20302152()ra330022220022()1515rPrraadE drdrrrElrar VSdVd011SErrdrrarrE022200214)1(14所以球内电场为)53(23001arrErrarreE)5
15、3(23001ar 224011220()()22310arrPraarrdE drE draElr【例例】已知半径为a的球内、外的电场强度为求电荷分布。【解解】rreeE)2325(330220ararEraE)()(arar)(2150)(1223002200raaErErrrE)()(arar 二、介质中的高斯定理二、介质中的高斯定理在有介质存在的情况下，总电场（也称宏观电场）是外加电场和极化介质产生的电场之和，即 为闭合面内的。且所以0PSqqdSEPqVSVPPddVdVqSPP0SSdqdSPSEqdSSPE)(0令PED0D称为（电感应强度、电通量密度），单位：库仑每平方米（C/
16、m2）qdSSD介质中的高斯定介质中的高斯定理的积分形式理的积分形式 VVSdVqdVdDSD介质中的高斯定介质中的高斯定理的微分形式理的微分形式 D实验表明，对于各向同性的、线性的均匀介质，其极化强度P与宏观电场强度成正比，即EP0e是介质的极化率 e当介质的极化强度P与宏观电场强度E的方向一致，且比值相等时，称为。若介质的极化率与E无关，称为。若介质的极化率与坐标变量无关，则称为。EDPED0EP0eEEEEED0000)1(ree为介质的；0r为介质的。【例例】一个半径为a的导体球，带电量为q，在导体球外套有半径为b的同心介质球壳，壳外是空气。试计算空间任一点的电场强度。【解解】由于导体
17、球和球外介质都是球对称的，故场分布也应该是球对称的，可以用高斯定理求解。当 时，显然，导体内场强为零，即当 时，应用介质中的高斯定理，得 )(ar)(bra01EQdSSDrrQeD24rrQeDE2241 当 时，应用真空中的高斯定理，得 三、静电场的基本方程三、静电场的基本方程根据前面所学的静电场的特性，我们可以总结出静电场的基本方程为：)(br 0QdSSErrQeE20341.cd0lESqdSD2.0E D理论上求解一组基本方程可唯一地确定静电场的场强，但由于它们是矢量方程组，除了某些特例，直接求解相当困难。2.5 静电场的边界条件静电场的边界条件v在电磁场中，空间常常存在着两种或两
18、种以上的不同媒质。由于电介质的极化特性不同，在两种不同媒质的分界面上一般存在着面束缚电荷，它将使电场强度和电位移产生跃变。v电场强度和电位移在不同媒质的分界面上的跃变规律，称为。v由于分界面上的场量产生跃变，静电场方程的微分形式不成立，故只能从静电场方程的积分形式出发来讨论场的边界条件。一、法向边界条件一、法向边界条件在分界面上任取一点，包含该点做一闭合小圆柱，其上下底面与分界面平行，底面积非常小；侧面与分界面垂直，且侧高趋于零，如图2-9。对此闭合面应用介质中的高斯定理得 或 称为：hSD2D1 1 2en图2-10 切向边界条件qdSSDSSDSDSnn21SnnDD21S)(21DDnn
19、nDD210)(21DDnSnn2211当介质分界面不存在自由电荷时，法向边界条件变为该边界条件也可用电位来表示二、切向边界条件二、切向边界条件在分界面上任取一点，包含该点做一小矩形闭合回路。长边（足够短）分居界面两侧，并与界面平行，短边趋于零，且与界面垂直，如图2-10。由静电场的保守性得 两式称为电场切向分量的边界条件E12 11 2E2lhet图2-10 切向边界条件0lE dc021lElEttttEE2121EnEn211221112212tantannnntntEEEEEE切向边界条件也可用电位来表示 在介质分界面不存在自由电荷时 边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面上的一种
20、表现形式。只有同时满足基本方程和边界条件的场矢量D、E才是静电场问题的解。【例例】设平面y=0是两种介质的分界面，在y0的区域内，而在y0的区域内，。如已知 ，求 、。【解解】015023yxeeE201021D12ED 和ttEE211021xxEEnnDD21nnEE2211yyEE201035125321yyEEyxeeE12101)6050(0111yxeeED)6030(0222yxeeED2.6泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程求出空间的所有电荷分布，要求完成不规则的积分运算，通常是很困难的。促使寻求解决问题的其它途径，即求解电位所满足的微分方程。可根据静电场基本方程的微
21、分形式，推导出电位与场源之间满足的泊松方程和拉普拉斯方程。在 中，代入 和 关系式，得 DEDE2)(E2对于无电荷分布区域02泊松方程和拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，在一般情况下不易求解。但是如果场源电荷和边界形状具有某种对称性，那么电位也将具有某种对称性。这将使电位的偏微分方程简化为常微分方程，可以用直接积分法求解。常涉及场域限定在一个有限的范围内。在有限空间区域内，可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的分界面上都具有一定的边界条件。这些给定边界条件下求解场的问题，称为。所有这些问题的解决，都归结为求解满足给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程。【例例】两无限大平行板电极，板间距离为d，电压
22、为 ，并充满密度为的体电荷 。求极板间电场强度。【解解】由于极板面无限大，故板间电场为均匀场，且场源电荷仅与x有关，所以板间电场和电位也只是的函数。设 处电位为0，处电位为 。根据题意有0Udx00 xdx 0Udx002dx 0dxx0022 当 时，当 时，所以板间任意一点电位为 故板间任意一点电场为 210306)(CxCdxx0)0(2 C010306)(UdCddd00016ddUCxddUdxx)6(6)(000030 xxddUdxxeeE)62(0000200 xdx 2.7电容电容 一、电容一、电容若两个导体上的电量分别为-q和q，它们之间的电压为u时，定义为 电容量是一个与
23、两个导体形状、相对位置及周围介质有关的常数，单位为：法（F）。孤立导体的电容可以看成是孤立导体与无穷远之间的电容，即UqC qC 一个导体系统，如果它的形状、相对位置及周围介质确定，则其电容量也随之确定。因此在计算系统电容时，计算思路为qUCq UE求计算得【例例】如图所示的球形电容器是由半径分别为a、b的同心导体球面组成，两导体之间充以介电常数为的电介质。求其电容量。【解解】设球形电容器的内外导体上分别带有+q和-q的电荷，由于电荷分布具有球面对称，由高斯定理可得两导体之间的电场强度为图2-11 球形电容器abrrqeE24则内外导体之间的电压为 故球形电容器的电容量为 Cbaabababq
24、drrqdU442lEababUqCab4：有两个以上导体的系统。在多导体系统中，每个导体所带的电量都会影响其它导体的电位。在线性媒质中，应用叠加原理，可得到每个导体的电位和各导体所带电量的关系如下：二、部分电二、部分电容容nnnnnnnnnnqpqpqpqpqpqpqpqpqp22112222121212121111ijp 为电位系数ijjipp电位系数只与导体的几何形状、尺寸、相对位置及介质特性有关，而与导体所带电量无关。nnnnnnnnnnqpqpqpqpqpqpqpqpqp22112222121212121111 11iijjnn nnpq 111jijinnn nqpnnnnnnnn
25、nnqqq22112222121212121111ij为电容系数ijji电容系数也只与导体的几何参数及系统中介质的特性有关 0332211222323202221212111313121210111nnnnnnnnnnnnnnUCUCUCUCqUCUCUCUCqUCUCUCUCqv ，称为；v ，称为。v互部分电容也具有互易性，iniiiiC21)(jiCijij2.8静电场能量与静电力静电场能量与静电力 一、静电能一、静电能电场的最基本特征是对场域中的电荷有力的作用，说明静电场中储存有能量，称为。它是电场在建立过程中由外力做功转化而来的。静电能是势能，其总能量只与静电系统最终的电荷分布有关，
26、与形成这种分布的过程无关。可假设在电场的建立过程中，各带电体的电荷密度均按同一比例因子 增加，则各带电体的电位也按同一比例因子增加。则当 从0增加到1的过程中，对于某一体积元，新增加的微分电荷对于固定的 ，其电位为 ，所以整个空间增加的能量为Vdd)(VeVdddW)(1021VVedVVddWNiiieqW121将 代入得：DVedVW)(21DdVVDD)(21dVdVSDESD2121()AAA积分区域lim0SRdDS从而dVwdVWVeVeDE21DE21ew对于各向同性的、线性的均匀介质有 ED221EweVedVEW221【例例】若真空中电荷均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能
27、量。【解法1】：由高斯定理可得球内外的电场为 所以raqreE304)(ar rrqeE204)(ar VedVEW2021aadrrrqdrraqr022200223004)4(214)4(21aq02203【解法2】球内任一点的电位为)3(8442202030araqdrrqdraqrdaraPlE21VedVWdrraraqaqa2220034)3(83421aq02203 二、静电力二、静电力根据库仑定律或电场强度的定义可以计算电荷所受的电场力。在简单问题中，这种方法是有效的，但在复杂系统中，这种计算是很困难的。这时就需要用虚位移法来计算电场力。在一个与电源相连接的带电体系统中，假设某
28、个带电体在电场力的作用下产生了一个小位移，那么电场力就要对它做功。根据能量守恒原理应有：电场力所做的功+电场储能的增量=外电源所提供的能量，即 由于各带电体与电源相连，所以它们的电位是不变的，即有dWdWde rFNiiidqdW1 而电场储能的增量为 说明外电源所提供的能量一半使得电场储能增加，另一半提供给电场力做功，亦即 或 如果带电体系统是与外电源断开的隔离系统，则外电源对系统不提供能量，此时各带电体上的电量不变，式（2-73）变为 NiiiedqdW121edWd rFconsterWF0edWdrF即 或 由于计算的是没有位移（虚位移）时的力，故不论是那一种情况，其计算结果是一致的。
29、edWd rFconstqerWF2.9恒定电场恒定电场一、电流密度一、电流密度电荷在电场作用下作定向运动就形成电流，等速运动的电荷称为，维持恒定电流分布的电场称为。是指单位时间内通过某导体截面的电流量，即dtdqtqIt0lim电流可分为传导电流和运流电流：导电媒质中的恒定电流：真空中电子或离子运动形成的电流恒定电场的两个基本变量为电流密度电流密度和电场强度电场强度电流密度是一个矢量，它的方向与导体中该点正电荷运动的方向相同，大小等于与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度，即从电流密度可以求出流过任意面积的电流，即nnJdSdISIS0limSdISJn为该点正电荷运动的方向为该点正电荷
30、运动的方向 如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，则称为。任意一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位长度上的电流，即 nnJdldIlIlS0limSdlIeJ如果电荷沿着细导线或空间一线形区域流动，则可近似看成是。若运动电荷的密度和速度分别为 和 ，则线电流为 二、欧姆定律与焦耳定律二、欧姆定律与焦耳定律1.欧姆定律欧姆定律对于各向同性的、线性的均匀导电媒质，其中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即vlvvIvlEJ/S/m是导电媒质的电导率，单位为西门子 米通常的欧姆定律，称为欧姆定律的。积分形式的欧姆定律是描述一段导线上的导电规律，而的欧姆
31、定律是描述导体内任一点电流密度与电场强度的关系，它比积分形式更能细致地描述导体的导电规律。2.焦耳定律焦耳定律导体内的电子在运动过程中，不断与原子核碰撞，把自身的能量传递给质子，使得导体的温度升高。这就是，这种由电能转换来的热能称为。在单位时间内，电场力对体积元中的元电荷dq 所做的功为此功转换为焦耳热，故电场在导电媒质为 上式称为的微分形式。对于为dVdtdtdVdqdAvJEvElEJE dVdtdAdVdPP/0dVdVPPVVJE0三、电荷守恒定律三、电荷守恒定律电荷守恒定律表明，任一封闭系统内的电荷总量不变。从任一封闭曲面流出的电流，应等于曲面所包围的体积内，单位时间内电荷的减少量，
32、即焦耳定律不适用于运流电流。因为对于运流电流，电场力对电荷所做的功转变为电荷的动能，而非热能。dtdqdSSJVVSdVtdVdtddSJVVSdVtdVdtddSJVVdVtdVJ散度散度定理定理0)(VdVtJtJ对于恒定电场0t0SJSd0 J0lE dc0E00JE 四、恒定电场的基本方程与边界条件四、恒定电场的基本方程与边界条件1.恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程在恒定电场中，电荷的分布不随时间变化。故由该分布电荷产生的电场（电源外）必定与静电场的性质相同，也是保守场，即电源外部的恒定电场的基本方程可归纳如下：Scdd00SJlE0EE0J0EE022 EJ2.恒定电场的边界条件
33、恒定电场的边界条件将恒定电场基本方程的积分形式应用到两种不同导体的界面上，如图所示，可得出恒定电场的边界条件为法向边界条件 切向边界条件 1212nnJJn Jn J或1212ttEEnEnE或结论：在不同导体的分界面上，电流密度的法向分量连续，电场强度的切向分量连续。两个边界条件也可用电位表示 1212nn122121tantan五、恒定电场与静电场的比拟五、恒定电场与静电场的比拟把电源以外的恒定电场与不存在电荷区域的静电场加以比较。PN恒定电场PN静电场图2-15恒定电场与静电场的比拟恒定电场中的场量和分别与静电场中的场量和是相互对应的，它们在方程中的地位相同，是对偶量。且两者都满足拉普拉斯方程，若处在相同的边界条件下，根据唯一性定理，这两个场的电位函数必有相同的解。因此，可以把一种场的计算和实验所得的结果，通过对偶量的代换，应用于另一种场。这种方法称为。可以用静电比拟法根据电容求电导。一个球形电容器的电容为 其中：a是内球半径，b是外球壳半径。ababddUqCS421lESE只要将 换为 ，就可由电容求得电导，而不必去求解电场，即【例例】试计算半径为a的半球形接地电阻。【解解】先求半径为a的球形电容 根据对偶关系知，对应的球形电导为 故半球电阻为ababG4aarEErddUqCrraS4/422lESEaG4aGR212
