1、 20182018 江苏省高考压轴卷江苏省高考压轴卷 数数 学学 参考公式：参考公式： 球体的体积公式：V 3 3 4 R，其中 为球体的半径 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置 上）上） 1全集123 4 5U ， ， ， ，集合13 435AB ， ， ，则 U AB（） 2已知i是虚数单位，若12iaiaR（ )(） ，则a 3我国古代数学算经十书之一的九章算术一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五 千四百人，凡三
2、乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出 500 人服役，则北乡比南乡多 抽 人 4如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 5已知函数 2 2 353 log (1)3 x x f x xx （ ），若f（m）6，则f（m61） 6已知f（x）sin（x1） ，若p1，3，5，7，则f（p）0 的概率为 7 已知函数f（x） 2sin （x+） （0， | 2 ） 的部分图象如图所示， 则f（ 7 6 ） 的值为 8已知A，B分别是双曲线 22 1 2 xy C m ： -的左、右顶点，P（3，4）为C上一点，则PAB的外接圆的标 准方程为 9 已知f（x） 是R上的偶函数，
3、 且当x0 时，f（x） |x 23x|， 则不等式 f（x2） 2 的解集为 10 若函数f（x） a1nx，（aR） 与函数g（x） x， 在公共点处有共同的切线， 则实数a的值为 11设A，B在圆x 2+y24 上运动，且 2 3AB，点P在直线 3x+4y150 上运动则|PAPB|的 最小值是 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC 2 3 ，ABC的平分线交AC于点D，BD 1，则a+c的最小值为 13如图，点D为ABC的边BC上一点，2BDDC，En（nN）为AC上一列点，且满足： 1 1 41 4 n n nnn E AE DE a Ba （） 5 ， 其
4、中实数列an满足 4an10， 且a12， 则 1 1 1a + 2 1 1a + 3 1 1a + + 1 1 n a 14已知函数 2 9 10(1)e,0 2 3 x xx f x xx （ ） +6 ,x0 ，其中e是自然对数的底数若集合xZ|x（f（x）m） 0中有且仅有 4 个元素，则整数m的个数为 二、解答题（二、解答题（本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在 答题卡的指定区域内）答题卡的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 如图，在直四棱柱AB
5、CDA1B1C1D1中，已知点M为棱BC上异于B，C的一点 （1）若M为BC中点，求证：A1C平面AB1M； （2）若平面AB1M平面BB1C1C，求证：AMBC 16.（本小题满分 14 分）已知 12 (, ),(0,cos(),. 2273 ), （1）求22sin（ ）的值； （2）求cos的值 17(本小题满分 14 分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知ABC中， C 2 ，CBA，BCa在它的内接正方形DEFG中建房，其余部分绿化，假设ABC的面积为S，正方 形DEFG的面积为T （1）用a， 表示S和T； （2）设f（） T S ，试求f（）的最大
6、值P； 18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 22 22 1 xy C ab ： +0ab（ ）的离心率为 2 2 ，短轴长为2 2 （）求C的方程； （）如图，经过椭圆左项点A且斜率为k（k0）直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段 AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作与OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且 APM面积为 2 3 ，求k的值 19(本小题满分 16 分) 已知函数 2 1 2ln 2 f xxxax aR， （1）当3a 时，求函数 f x的极值； （2）设函数 f x在 0 xx处的切线方程为 yg x，若函数 yf xg x是0
7、，上的单调增函 数，求 0 x的值； （3）是否存在一条直线与函数 yf x的图象相切于两个不同的点？并说明理由 20(本小题满分 16 分) 已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2） ，l（A）表示和ai+aj （1ijn）中所有不同值的个数 （）设集合P2，4，6，8，Q2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q） ； （）若集合A2，4，8，2 n，求证： (1) ( ) 2 n n l A ； （）l A（ ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学（附加题） 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选
8、做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共分，共 20 分分请在请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作作 答解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤答解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置
9、，在其它 位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 A选修选修 41：几何证明选讲几何证明选讲 如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BDCD于点 D. 求证： 2 BCBA BD B选修选修 42：矩阵与变换矩阵与变换 已知矩阵= ab M cd ， 10 = 1 0 2 N ，且 1 1 0 4 02 MN ，求矩阵M C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 2 xt yt （t 为参数） 在极坐标系中（与直角坐标系 xOy 取 相同的长度单
10、位，且以原点 O 为极点，极轴与 x 轴的非负半轴重合） ，圆 C 的方程为4 2cos 4 ， 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知正实数xyz、 、，满足3xyzxyz，求xyyzxz的最小值 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答解答应写出作答解答应写出 文字说文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD 4，
11、PD2 （1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值 （2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 23（本小题满分 10 分）在集合A1，2，3，4，2n中，任取m（mn，m，nN N*）元素构成 集合 m A若 m A的所有元素之和为偶数，则称 m A为A的偶子集，其个数记为( )f m；若 m A的所有元素之和为 奇数，则称 m A为A的奇子集，其个数记为( )g m令( )( )( )F mf mg m （1）当2n 时，求(1)F，(2)F，的值； （2）求( )F m 20192019 江苏江苏省高考压轴卷省高考压轴卷 数学数学 1 【答案】1，2，4，5 【解析】解：AB3， 则U（A
12、B）1，2，4，5， 故答案为：1，2，4，5， 2 【答案】1 【解析】解：（1i） （a+i）（a+1）+（1a）i2， 12 10 a a ，即a1 故答案为：1 3 【答案】60 【解析】解：由题意可知，抽样比为 5001 81009000540045 故北乡应抽 8100 1 45 180，南乡应抽 5400 1 45 120， 所以 18012060， 即北乡比南乡多抽 60 人， 故答案为：60 4 【答案】2 2 31， 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量 1 230 30 x xx yx x 的值， 由于当x0 时， 1 23yx x 2 2 3
13、， 当x0 时，y3 x（0，1， 则输出y的取值范围是2 2 31， 故答案为：2 2 31， 5 【答案】-4 【解析】解：函数 2 2 353 log (1)3 x x f x xx （ ），f（m）6， 当m3 时，f（m）3 m256，无解； 当m3 时，f（m）log2（m+1）6， 解得m63， f（m61）f（2）3 2254 故答案为：4 6 【答案】 3 4 【解析】解：f（x）sin（x1） ，p1，3，5，7， f（1）sin00， f（3）sin20， f（5）sin40， f（7）sin60， f（p）0 的概率为p 3 4 故答案为： 3 4 7 【答案】1 【解
14、析】解：根据函数f（x）2sin（x+） （0，| 2 ）的部分图象，可得 1 25 21212 ， 2， 再根据五点法作图可得20 12 ，求得 6 ，函数f（x）2sin（2 6 x ） ， f（ 7 6 ）2sin（ 7 36 ）2sin13 6 2sin 6 1， 故答案为：1 8 【答案】x 2+（y3）210 【解析】解：P（3，4）为C上的一点， 所以 916 1 2m -，解得m1， 所以A（1，0）B（1，0） ， 设PAB的外接圆的圆心（0，b） ， 则 1+b 232+（b4）2，解得 b3， 则PAB的外接圆的标准方程为x 2+（y3）210 故答案为：x 2+（y3）
15、210 9 【答案】x|3x1 或 0x 171 2 或 717 2 x4 【解析】解：根据题意，当x0 时，f（x）|x 23x|， 此时若有f（x）2，即 2 0 |3 | 2 x xx ，解可得 0x1 或 2x 317 2 ，即此时f（x）2 的解集为x|0 x1 或 2x 317 2 ， 又由f（x）为偶函数，则当x0 时，f（x）2 的解集为x|1x0 或 317 2 x2， 综合可得：f（x）2 的解集为x|1x1 或 2x 317 2 或 317 2 x2； 则不等式f（x2）2 的解集x|3x1 或 0x 171 2 或 717 2 x4； 故答案为：x|3x1 或 0x 1
16、71 2 或 717 2 x4 10 【答案】 2 e 【解析】解：函数f（x）alnx的定义域为（0，+） ，f（x） a x ，g（x） 1 2 x ， 设曲线f（x）alnx与曲线g（x）x公共点为（x0，y0） ， 由于在公共点处有共同的切线， 0 0 1 2 a xx ，解得 2 0 4xa，a0 由f（x0）g（x0） ，可得 00 alnxx 联立 2 0 00 4xa alnxx ，解得 2 e a 故答案为： 2 e 11 【答案】5 【解析】解：取AB的中点M，连OM，则OMAB， 22 |OM|OA|BM|431，即点M的轨迹是以O为圆心，1 为半径的圆 |PAPB| 2
17、|PM， 设点O到直线 3x+4y150 的距离为 15 3 9 16 d ， 所以 2|PM|2d1615（当且仅当OPl，M为线段OP与圆x 2+y21 的交点时取等） 故答案为：5 12 【答案】4 【解析】解：由题意得 1211 232323 acsinasincsin ， 即aca+c， 得+1， 得a+c（a+c） （ 1 a + 1 c ）222224 cac a aca c ， 当且仅当ac时，取等号， 故答案为：4 13 【答案】 1 334 2 n n 【解析】解：点D为ABC的边BC上一点，2,2() nnnn BDDC E DE BE CE D 31 22 nnn E
18、CE DE B 又 3 22 nnnn E AE CE DE B ， 1 1 413 45 n n a a ， 1 3 45 41 n n a a ， 1 443 441 4141 n n nn a a aa ， 1 1 14113 1,4 41111 nn n nnnn aa a aaaa ， ， 1 11 23(2) 11 nn aa ， 11 23 ,32. 11 nn nn aa ， 1 3 (1 3 )334 2 1 32 nn n n Sn 故答案为： 1 334 2 n n 14已知函数f（x），其中e是自然对数的底数若集合xZ|x（f（x） m）0中有且仅有 4 个元素，则整数
19、m的个数为 【答案】34 【解析】解：x0A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可 画出f（x）的图象如下图： 当x0 时，f（x）m；当x0 时，mf（x） 即y轴左侧的图象在ym下面，y轴右侧的图象在ym上面， f（3）39+189，f（4）316+2424， f（3）（3） 33（3）2+44， f（4）（4） 33（4）2+420， 平移ya，由图可知： 当24a9 时，A1，2，3，符合题意； a0 时，A1，1，2，符合题意； 2a3 时，A1，1，2，符合题意； 4a20 时，A1，2，3，符合题意； 整数m的值为23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，1
20、3，12，11， 10，9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共 34 个 故答案为：34 15 【答案】见解析. 【解析】证明： （1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点， 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M为BC中点， MNA1C， A1C平面AB1M，MN平面AB1M， A1C平面AB1M 解： （2）过B作BPB1M，垂足为P， 平面AB1M平面B1BCC1，且交线为B1M， BP平面AB1M，AM平面ABCD， BB1AM， 直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD， AM平面ABCD，BB1AM
21、， 又BPBB1B，AM平面BB1C1C， 又BC平面BB1C1C，AMBC 16 【答案】 （1） 8 3 49 （2） 7 14 【解析】解： （1）已知 12 (, ),(0,cos(), 2273 ),， 2 4 3 1 cos 7 sin （ ）（ ）， 8 3 222 49 sinsincos （ ）（ ） （ ） （2）2coscoscoscossinsin （） （ ） （） （ ）- （） （ 2 1 13 4 313 21 2 72714 cos ， 求得 7 14 cos，或 7 14 cos-（舍去） ， 综上， 7 14 cos 17 【答案】 （1）S 1 2 a
22、2tan，（0， 2 ） ； 2 2 ( s i n ) ( s i n c o s1 ) a T ，（0， 2 ）；（2） 4 9 【解析】解： （1）由题意知，ACatan， 所以ABC的面积为： S 1 2 ACBC 1 2 a 2tan，其中 （0， 2 ） ； 又DGGFBGsin coscos CGaBG ， 所以BG sincos1 a ， DG sin sincos1 a ， 所以正方形DEFG的面积为： 2 TDG= 2 2 ( sin ) (sincos1) a ，其中 （0， 2 ） ； （2）由题意知 2 2sincos (sincos1) f （ ），其中 （0， 2
23、 ） ， 所以 2 1 sincos2 sincos f （ ）； 由 sincos 1 2 sin2（0， 1 2 ， 所以 15 sincos sincos2 ， 即f（） 4 9 ，当且仅当 sin21，即 4 时“”成立； 所以f（）的最大值P为 4 9 18.【答案】 （） 22 1 42 xy +；（） 2 2 k . 【解析】解： （）由题意可得 222 2 2 22 2 c e a b abc ，解得a2，b2，c2， 椭圆C的方程为 22 1 42 xy +. （）易知椭圆左顶点A（2，0） ， 设直线l的方程为yk（x+2） ，则E（0，2k） ，H（0，2k） ， 由 2
24、2 (2) 1 42 yk x xy + 消y可得（1+2k 2）x2+8k2x+8k240 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，P（x0，y0） ， 64k 44（8k24） （1+2k2）16 则有x1+x2 2 2 8 1 2 k k ，x1x2 2 2 84 12 k k ， x0 1 2 （x1+x2） 2 2 4 12 k k ，y0k（x0+2） 2 2 12 k k ， 0 0 1 2 OP y k xk ， 直线EM的斜率kEM2k， 直线EM的方程为y2kx+2k，直线AH的方程为yk（x+2） ， 点M（ 4 3 ， 2 3 k） ， 点M到直线l：kxy+2k0
25、的距离 2 4 | 3 1 k d k ， 2 22 1212 2 4 1 |AB|1(xx )4x x 1 2 k k k ， 2 2 12 1 21 2 k APAB k ， 2 22 2 44 |k|k| 11 2 12 33 2212123 1 APM k SAPd kk k ， 解得 2 2 k . 19.【答案】 （1） f x的极大值为 5 1 2 f ；极小值为22ln24f； （2） 0 2x ； （3）见解析 【解析】 （1） 当3a 时，函数 2 1 2ln3 2 fxxxx 的定义域为0 ，. 则 2 2x3x2 fxx3 xx ，令 fx0得，1x 或2x列表： x
26、0 1， 1 1 2， 2 2 ， fx + 0 0 + f x 极大值 极小值 所以函数的极大值为 5 1 2 f ；极小值为22ln24f （2）依题意，切线方程为 0000 yfxxxf x(x0)， 从而 0000 g(x)fxxxf x(x0)， 记 p xf xg x， 则 000 p xf xf xfxxx在0 ，上为单调增函数， 所以 0 pxfxfx0在0 ，上恒成立， 即 0 0 22 pxxx0 xx 在0 ，上恒成立 变形得 0 0 22 xx xx 在0 ，上恒成立 ， 因为 22 x2x2 2 xx （当且仅当2x 时，等号成立） ， 所以 0 0 2 2 2x x
27、 ，从而 2 0 x20，所以 0 2x （3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 111 T xy， 222 T xy，不妨 12 0xx， 则 1 T处切线 1 l的方程为： 111 yf xfxxx， 2 T处切线 2 l的方程为： 222 yf xfxxx 因为 1 l， 2 l为同一直线，所以 12 111222 fxfx xx fxxx fx.ff ， 即 12 12 22 11111122222 12 22 xx xx 1212 2 xxxxxa2 xxxxxa . 2x2x aa lnalna ， 整理得， 12 22 1122 x x2 11 2 xx2 xx. 2
28、2 lnln ， 消去 2 x得， 22 11 2 1 xx2 2ln0 2x2 令 2 1 x t 2 ，由 12 0xx与 12 x x2，得0 1t， 记 1 p t2lntt t ，则 2 22 t121 p t10 ttt ， 所以 p t为0 1，上的单调减函数，所以 p tp 10 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数 f x的图象有两个不同的切点 20 【答案】 （）l（P）5 l（Q）6； （）证明见解析； （）l（A）存在最小值，且最小值为 2n3 【解析】解： （）根据题中的定义可知：由 2+46，2+68，2+810，4+610，4+812，6+8
29、14，得l （P）5 由 2+46，2+810，2+1618，4+812，4+1620，8+1624，得l（Q）6 （5 分） （）证明：因为ai+aj（1ijn）最多有 2 (1) 2 n n n C 个值，所以 (1) ( ) 2 n n l A 又集合A2，4，8， ，2 n，任取 ai+aj，ak+al（1ijn，1kln） ， 当jl时，不妨设jl，则ai+aj2aj2 j+1a lak+al， 即ai+ajak+al当jl，ik时，ai+ajak+al 因此，当且仅当ik，jl时，ai+ajak+al 即所有ai+aj（1ijn）的值两两不同， 所以 (1) ( ) 2 n n l
30、 A （9 分） （）l（A）存在最小值，且最小值为 2n3 不妨设a1a2a3an，可得a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an， 所以ai+aj（1ijn）中至少有 2n3 个不同的数，即l（A）2n3 事实上，设a1，a2，a3， ，an成等差数列， 考虑ai+aj（1ijn） ，根据等差数列的性质， 当i+jn时，ai+aja1+ai+j1； 当i+jn时，ai+ajai+jn+an； 因此每个和ai+aj（1ijn）等于a1+ak（2kn）中的一个， 或者等于al+an（2ln1）中的一个 所以对这样的A，l（A）2n3，所以l（A）的最小值为 2n3 21 A选修选修
31、41：几何证明选讲几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】 证明：因为CD为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC， 所以 BCDBAC 又因为为半圆 的直径， 所以90ACB 又BDCD，所以90CDBACB 由得ABCCBD， 所以 2 ABBC BCBA BD BCBD B选修选修 42：矩阵与变换矩阵与变换 【答案】 40 = 01 M 【解析】 由题意， 1 1 0 4 02 MN ，则 40 1 0 2 MN 因为 10 = 1 0 2 N ，则 1 10 = 02 N 所以矩阵 40 1040 = 1 02010 2 M . C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 【
32、答案】12 5 5 【解析】 将直线 l 的参数方程为 2 2 xt yt 化为方程： 240xy 圆 的方程为4 2cos 4 化为直角坐标系方程： 2 4cossin， 即 22 440xyxy， 22 228xy，其圆心2, 2，半径为2 2 圆心 C 到直线 l 的距离为 2442 55 d 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 2 212 5 22 2 55 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 【答案】3 【解析】 因3xyzxyz，所以 111 3 xyyzxz ， 又 2 111 ()()(1 1 1)9xyyzxz xyyzxz ， 3xyyzxz，当且仅当1xyz时取等
33、号， 所以xyyzxz的最小值为 3. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答解析应写出作答解析应写出 文字说文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 22.【答案】 （1） 5 5 ； （2） 5 5 【解析】解： （1）因为ADBC，所以DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角， 因为AD平面PDC，所以ADPD， 在 RtPDA中， 22 5APADPD，故 cosDAP 5 5 AD AP ， 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 5 5 （2）过点D作A
34、B的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角 ADPD，ADBC，PDBC， 又PDPB，PBBCB， PD平面PBC， DFP为直线DF和平面PBC所成的角 由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2 又ADDC，故BCDC，在 RtDCF中，可得 22 2 5DFDCCF 在 RtDPF中，sinDFP 5 5 PD DF 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 5 5 23. 【答案】 （1）0，-2； （2） 22 ( 1) C , ( ) 0, mm n m F m m 为偶数， 为奇数 【解析】 （1）当2n 时，
35、集合为1,2,3,4 当1m 时，偶子集有2，4，奇子集有1，3，(1)2f，(1)2g，(1)0F； 当2m时，偶子集有2,4，1,3，奇子集有1,2，1,4，2,3，3,4， (2)2f，(2)4g，(2)2F ； （2）当m为奇数时，偶子集的个数 0224411 ( )C CC CC CCC mmmm nnnnnnnn f m ， 奇子集的个数 11330 ( )C CC CC C mmm nnnnnn g m ， 所以( )( )f mg m，( )( )( )0F mf mg m 当m为偶数时，偶子集的个数 022440 ( )C CC CC CC C mmmm nnnnnnnn f
36、 m ， 奇子集的个数 113311 ( )C CC CCC mmm nnnnnn g m ， 所以()()()F mf mg m 0112233110 C CC CC CC CCCC C mmmmmm nnnnnnnnnnnn 一方面， 01220122 (1) (1)(CCCC)CCC( 1) C nnnnnnn nnnnnnnn xxxxxxxx ， 所以(1) (1) nn xx中 m x的系数为 0112233110 C CC CC CC CCCC C mmmmmm nnnnnnnnnnnn ； 另一方面， 2 (1) (1)(1) nnn xxx， 2 (1)nx中 m x的系数为 22 ( 1) C mm n ， 故()F m 22 ( 1) C mm n 综上， 22 ( 1) C , ( ) 0, mm n m F m m 为偶数， 为奇数
