1、2022-11-201/126通信原理第第2 2章章 基础知识基础知识2/1262022-11-20 本章节复习、梳理与扩充相关基础知识。本章节复习、梳理与扩充相关基础知识。主要内容有：主要内容有：掌握：信号的基本参数、频谱与功率谱、带宽、高斯白掌握：信号的基本参数、频谱与功率谱、带宽、高斯白噪声、信号无失真传输条件，带通信号的基本特点、带通信噪声、信号无失真传输条件，带通信号的基本特点、带通信号的复包络表示与带通噪声的同相与正交分量。号的复包络表示与带通噪声的同相与正交分量。3/1262022-11-20 电子通信系统通过某种电子或电气物理量来传输信息，如电子通信系统通过某种电子或电气物理量
2、来传输信息，如电流、电压、电磁波等，其数学模型是时间的函数，统称为电流、电压、电磁波等，其数学模型是时间的函数，统称为信号信号。2.1 确知信号确知信号2.2 随机信号随机信号2.3 高斯信号与高斯白噪声高斯信号与高斯白噪声2.4 信号通过线性时不变系统信号通过线性时不变系统2.5 带带通信通信号号4/1262022-11-202.1.1 信号及其基本参数信号及其基本参数 信号信号某个随时间变化的电子或电气物理量，如某个随时间变化的电子或电气物理量，如v(t)或或i(t)，也常常称为波形。，也常常称为波形。实际物理波形的特点：实际物理波形的特点：1）实的、连续的、峰值有限的）实的、连续的、峰值
3、有限的2）存在于有限的时间段内）存在于有限的时间段内3）频谱主要集中在某个频带中）频谱主要集中在某个频带中 2.1 确知信号5/1262022-11-20时间平均运算符时间平均运算符 1lim2TTTdtT1.周期信号周期信号：()()v tv tT2.直流分量直流分量：1()lim()2TdcTTvv tv t dtT周期为周期为T0的周期信号的周期信号v(t)，00/2/2011()lim()()2TTTTTv tv t dtv t dtTT6/1262022-11-203.3.信号的信号的功率功率22()()v tPPi t RR或“归一化功率归一化功率”，令，令1R（欧姆），（欧姆），
4、()x t的归一化平均功率的归一化平均功率：221()lim()2TTTPx tx t dtT()x t的归一化能量的归一化能量：22lim()()TTTEx t dtx t dt信号有两种类型：信号有两种类型：（1）功率信号：功率信号：为有限值，而为有限值，而 为无穷大；为无穷大；（2）能量信号：）能量信号：为有限值，而为有限值，而 EEP0P 7/1262022-11-20:.ootermsrmsanquare4.均方根值均方根值：2()rmsvv t幅度的一种度量，例如：幅度的一种度量，例如：（1）直流）直流，则()v tArmsvA（2）正弦波）正弦波，则cos(2)Aft0.707r
5、msvA基于基于 计算功率：计算功率：rmsv2rmsPv8/1262022-11-205.分贝分贝：采用：采用10为底的对数度量功率的相对比值为底的对数度量功率的相对比值 1010log()outinPGdBP_10_20logormsirmsxx（1）功率增益）功率增益：输入与负载阻值为输入与负载阻值为Ri与与RL，则实际增益为，则实际增益为，22_101022_/10log10log/ormsLormsLirmsiirmsivRiRGvRiR9/1262022-11-20（2 2）信号与噪声的功率比）信号与噪声的功率比101010log20log()srmsdBnrmsPsSdBNPn（
6、3）基于某个参考电平值来度量某绝对电平）基于某个参考电平值来度量某绝对电平 P相对于相对于 1mw 的分贝功率电平的分贝功率电平:dBm103(watts)10log10PPdBm实际功率电平的值10/1262022-11-20 P相对于相对于 1W 的分贝功率电平的分贝功率电平:dBW P相对于相对于 1KW 的分贝功率电平的分贝功率电平:dBK比如比如:1dBmmW0100dBmmW20200dBmmW23.01103(watts)10log10PPdBm实际功率电平的值11/1262022-11-202.1.2 傅里叶变换与信号的频谱密度傅里叶变换与信号的频谱密度简记为简记为()()x
7、tX或或()()x tX f1()()()1()()()2jtjtXF x tx t edtx tFXXed或者，或者，212()()()()()()jf tjf tX fF x tx t edtx tFX fX f edf12/1262022-11-20()X f称为称为频谱密度频谱密度。它通常是复数，。它通常是复数，()()jfX fe 在某个在某个 频率频率 f0 处的值不为处的值不为0，表示信号，表示信号 含有该含有该频率成分。频率成分。()X f()x t反变换表示信号反变换表示信号 可以分解为许多不同频率的分量之和。可以分解为许多不同频率的分量之和。()x t13/1262022-
8、11-201.1.能量谱密度能量谱密度：能量谱密度描述了能量谱密度描述了 的信号能量沿频率轴的分布情况的信号能量沿频率轴的分布情况 x t2.1.3 能量谱密度与功率谱密度能量谱密度与功率谱密度 2Xf22()()Ex t dtX fdf能量型信号能量型信号14/1262022-11-20功率谱描述了功率谱描述了 的平均的平均功率沿频率轴的分布情况功率沿频率轴的分布情况 x t2211lim()lim()22TTTTPxt dtXfdfTT2.功率谱密度功率谱密度：21lim2TTP fXfT功率型信号功率型信号21lim()()2TTTPx t dtP f dfT()()TTx tXf15/
9、1262022-11-20 0 xrP注意：注意：1lim211limlim22TxTTTTrx t x tdtTx t x tdtx txTT FxrP f 自相关函数自相关函数：2*11limlim22TTXfXfXfTT F16/1262022-11-20基带信号基带信号或或低通信号低通信号主要能量或功率集中在零频率附近；主要能量或功率集中在零频率附近；频带信号频带信号或或带通信号带通信号主要能量或功率集中在某一非零频率附近。主要能量或功率集中在某一非零频率附近。大量的传输信号是频带信号，比如长途与无线通信中的传输信号。大量的传输信号是频带信号，比如长途与无线通信中的传输信号。信号的带宽
10、信号的带宽表示信号的能量或功率的集中分布范围。表示信号的能量或功率的集中分布范围。系统的带宽系统的带宽表示系统对信号频率的选择性。表示系统对信号频率的选择性。2.1.4 信号的频带与带宽信号的频带与带宽baseband signalbandpass signal17/1262022-11-2021Bff(1)(1)绝对带宽（所有非零谱的分布范围）绝对带宽（所有非零谱的分布范围）f1f2f0 P ff1f1f1Bf P f00fabsolute bandwidthf1f1f0B P f18/1262022-11-20(2)(2)谱零点带宽谱零点带宽f00f1f2f021Bfff1f1f001Bf
11、 P f P fnull-to-null bandwidth19/1262022-11-20(3)99功率（能量）带宽功率（能量）带宽 带宽内的功率占总功率的带宽内的功率占总功率的 99%.PSD:Power spectral density f1-f10ff2f1-f1-f20f0ffPSDPSD带通信号带通信号基带信号基带信号9921Bff991Bf0energy or power bandwidth20/1262022-11-20001()()eqBP f dfP f(4)等效矩形带宽等效矩形带宽当当 为低通信号时，为低通信号时，P f00f 0ff0eqB P f0P f便于计算信号功
12、率，便于计算信号功率，02eqPB P f equivalent rectangular bandwidth21/1262022-11-20（5 5）3-dB 3-dB 带宽带宽 (半功率带宽半功率带宽)321dBBff21012P fP fP ff00f1f2ff01f1f 0P31dBBf 1102P fP P f P f0P f3dB bandwidth22/1262022-11-202.2 随机信号（随机过程）（Random Signal）23/1262022-11-20p 随机变量 随机试验（随机试验（Random Experiment）：）：对随机现象做出的观察与科学实验。对随机现
13、象做出的观察与科学实验。E随机实验的特点：随机实验的特点：a.可重复性可重复性 b.不唯一性不唯一性 c.不确定性不确定性 样本点样本点 （Sample Point）把随机实验把随机实验E的每一个基本可能结果称为随机实验的每一个基本可能结果称为随机实验的样本点，记为的样本点，记为。24/1262022-11-20 随机实验的全部样本点构成的集合，称为随机实验的随机实验的全部样本点构成的集合，称为随机实验的样本空间，记为样本空间，记为 样本空间样本空间 （Sample Space ）随机事件（随机事件（Random Event）实验实验E中满足一定条件的样本点的集合称为中满足一定条件的样本点的集
14、合称为随机事件随机事件,是是的子集。的子集。记为记为 A,B,每个样本点称为每个样本点称为基本事件基本事件随机事件域随机事件域 F：由样本空间的全体子集构成。：由样本空间的全体子集构成。随机事件域（随机事件域（Random Event Field）25/1262022-11-20 概率概率 事件是随机的。赋予事件一个出现可能性事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值，称为的度量值，称为概率概率（Probability）。）。常由常由相对频率相对频率（Relative frequency）来计算，）来计算，AAnP An试验中 出现的次数总试验次数（n很大）例例1.1 分析掷均匀硬币问题。分
15、析掷均匀硬币问题。H-正面，正面，T-反面。反面。解（解（1）样本空间：）样本空间：,H T（3）由硬币的均匀特性可得，）由硬币的均匀特性可得，0.5P HP T（2）事件域：）事件域：,FHT 0P ，1P 26/1262022-11-20若定义在样本空间若定义在样本空间上的单值实函数上的单值实函数 ，将基本可能实，将基本可能实验结果验结果i与实数与实数x i对应起来，有如下函数关系：对应起来，有如下函数关系：则则 称为随机实验称为随机实验E中的随机变量，简记为中的随机变量，简记为X。()X()iixX()X 随机变量随机变量定义定义X 的取值范围称为的取值范围称为值域值域或或状态空间状态空
16、间 R.V.一般用大写一般用大写字母字母 X,Y,Z,27/1262022-11-20抛硬币的结果：抛硬币的结果：0,1X 抛骰子的结果：抛骰子的结果：1,2,3,4,5,6Y 例：例：X:ix状态状态1 12 2i iX()x2 2xix1 1样本空间样本空间随机变量随机变量随机变量值域随机变量值域28/1262022-11-20自然界中许多物理量要随自然界中许多物理量要随时间或空间时间或空间坐标变，分为坐标变，分为确定性过程确定性过程 -确知信号确知信号随机过程随机过程 -随机信号随机信号p 随机信号（随机过程）29/1262022-11-202.2.1 概念与定义概念与定义 例例2.12
17、.1：热噪声电压：电子器件内部微观粒子的随机骚动：热噪声电压：电子器件内部微观粒子的随机骚动所引起的端电压。所引起的端电压。由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量得到不由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量得到不同的时间函数。同的时间函数。30/1262022-11-20一个记录一个样本函数一次实现 1x t.2x t nx ttttit.热噪声热噪声的变化过程的变化过程不能简不能简单地用单地用一个（或几个）确一个（或几个）确定的时间函数来描述，但定的时间函数来描述，但它它可以用一簇无穷多个样可以用一簇无穷多个样本函数来本函数来描述。描述。31/1262022-11-2012,nX tX
18、tX tX tKK简记为：简记为：12,nX tx txtxtKK随机过程（如热噪声电压）表示随机过程（如热噪声电压）表示为：为：随机过程（如热噪声电压）定义随机过程（如热噪声电压）定义1 1：是一簇无穷多个样本：是一簇无穷多个样本函数的集合。函数的集合。随机过程既是样本的函数，也是时间的函数32/1262022-11-20 另一方面，再来考察某一时刻另一方面，再来考察某一时刻 ti ,噪声电压的取值：噪声电压的取值：12,iX tX tX tX tKK该取值是不唯一的，是一个随机变量。记为该取值是不唯一的，是一个随机变量。记为:，iX t，在在不同时刻是不同的不同时刻是不同的随机变量。随机变
19、量。12,nX tX tX tX tKK简记为：简记为：随机过程定义随机过程定义2 2：是随机变量随时间变化的过程，或者说是随机变量随时间变化的过程，或者说随机过程是一簇无穷多个随机变量的集合。记为：随机过程是一簇无穷多个随机变量的集合。记为：33/1262022-11-20p 符号符号 X(t,)(或或 X(t)的含义的含义(1)固定时固定时 (2)t 固定时固定时 (3),t 都固定时都固定时,iiX tx t,iiX tX t,ijjiX txt表示一个样本函数，是表示一个样本函数，是一个确定的时间一个确定的时间函数，函数，是随机实验的某次结果是随机实验的某次结果表示一个随机变量表示一个
20、随机变量表示一个确定的数值表示一个确定的数值（R.S.R.S.一个状态）一个状态）(4)t 和和都变化，构成了随机过程（或信号）的完整概念。都变化，构成了随机过程（或信号）的完整概念。34/1262022-11-202.2.常见随机信号举例常见随机信号举例(1)(1)贝努力随机过程（随机信号）贝努力随机过程（随机信号）Bernoulli Random Signal特点：随机实验在特点：随机实验在 t=n(n=0,1,2,)0,1,2,)离散时刻观察事离散时刻观察事件件B出现与否，且出现与否，且,1P BppqP Bq出现不出现35/1262022-11-20现用一随机函数表示该随机实验结果：现
21、用一随机函数表示该随机实验结果：1,0,tnBX tX nX ntnB时刻 出现时刻 不出现X(n)在各个不同在各个不同时刻的时刻的R.V.R.V.之间之间是独立的，故又是独立的，故又称为称为独立二进制独立二进制随机数据序列随机数据序列0 1 2 3 4 5 6 7 8 1x nn1 ix nn10 1 2 3 4 5 6 7 8.36/1262022-11-20(2)(2)二元传输信号二元传输信号表示表示 (0,1)(0,1)代码序列的电脉冲序代码序列的电脉冲序列称为二元传输信号列称为二元传输信号0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7TK 1xtt11 0 1 1 0 0 1 ixtKt1
22、0 1 1 0 1 0 0 1,0,pX tq概率概率1nTtnT 当1pqT时隙时隙0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T37/1262022-11-20(3)(3)随机相位随机相位正弦波正弦波 cos,0,2X tatU t1t38/1262022-11-20（4 4）随机振幅正弦波）随机振幅正弦波,.ARV为 cosX tAt 11cosX tAtt1t任一时刻任一时刻 t1:39/1262022-11-202.2.2 基本特性基本特性 1.概率分布与密度函数概率分布与密度函数 p 一阶一阶(维维)（概率）分布函数与密度函数（概率）分布函数与密度函数()(;)()()XX tF x
23、tFxP X tx()(;)()(;)XX tXfx tfxF x tx研究研究R.S.R.S.在任一时刻在任一时刻 t 的统计特性。的统计特性。是是x的函数，也是的函数，也是t的函数的函数40/1262022-11-20(;)1f x t dx(;)(;)xF x tf u t du0(;)1(;)0(;)1F x tFtFt随机过程一维分布的性质：随机过程一维分布的性质：41/1262022-11-20121212121122(,;,)(,)(),()XXtXtFxxttFxxP X txX tx研究研究R.S.R.S.在任意两个时刻的统计特性。在任意两个时刻的统计特性。p 二阶二阶(维维
24、)（概率）分布函数与密度函数（概率）分布函数与密度函数21212121212(,;,)(,;,)XXFx x t tfx x t tx x 且且12121212(,;,)(,;,)XxxXFxxttfu v ttdudv 42/1262022-11-20p n 阶阶(维维)（概率）分布与密度函数（概率）分布与密度函数，12121122(,;,)(),(),()XnnnnF x xx t ttP X tx X txX txKKK1212121212(,;,)(,;,)Xnnnnnnfx xx t ttF x xx t ttx xx KKKKL研究研究R.S.R.S.在任意在任意n个时刻的统计特性
25、。个时刻的统计特性。43/1262022-11-202.基本数字特征基本数字特征 t mt mtt mttp 均值函数均值函数()()XmtE X t、是是R.S.X(t)在任一时刻的随机变量的均值，即在任一时刻的随机变量的均值，即 X t是一个确定的时间函数，是是一个确定的时间函数，是RS各样本围绕波动的中心。各样本围绕波动的中心。()(;)XXmtx fx t dx 1()Xiiimtx P X tx信号的直流分量信号的直流分量44/1262022-11-20p 方差（函数）方差（函数）2()()XtD X t、2222()()()()()XtE XtEE X tE X tX t是是R.S
26、.X(t)在任一时刻的随机变量的在任一时刻的随机变量的方差方差，即，即p 标准差标准差 函数函数2()()XXtt信号的交流功率信号的交流功率信号的总功率信号的总功率信号的信号的直直流功率流功率45/1262022-11-20p 自相关函数自相关函数12121 2121,212(,)()()(,;)XXRt tE X t X tx x fx x t t dxdx 12,XE XtRttttt 2当 时，均方值函数是随机信号在任意是随机信号在任意两个时刻的随机变量的相关矩两个时刻的随机变量的相关矩1212121122(,)()()(),()XijijijRt tE X t X tx x P X
27、txX tx自相关函数中含有均值和方差的成分自相关函数中含有均值和方差的成分46/1262022-11-20具有相同均值和方差的两个随机信号具有相同均值和方差的两个随机信号 X t Y t m t m ttt m tt m ttt1 t2t1 t2(1)(1)自相关函数描述随机信号的自相关函数描述随机信号的R.V.间的线性关联程度，进而间的线性关联程度，进而说明随机信号起伏的快慢。说明随机信号起伏的快慢。(2)(2)自相关函数包含均值和方差对相关程度的影响自相关函数包含均值和方差对相关程度的影响说明：说明：47/1262022-11-20p 自自协方差协方差函数函数1211221212(,)(
28、)()()()(,)()()XXXXXXC t tE X tm tX tm tR t tm t m t 221,XXCt tttt当 时t,方差函数1212X12(,)(,)()()XXXC t tt tttp 自相关系数（函数）自相关系数（函数）1),(21tt，一般，一般：12,(,)1Xtttt t当单纯地描述了随机信号单纯地描述了随机信号的起伏的起伏快慢。快慢。任意两个时刻的随机变量的协方差矩任意两个时刻的随机变量的协方差矩48/1262022-11-20例：设随机振幅余弦波例：设随机振幅余弦波 X(t)=Acos0t，其中，其中0为常数，为常数，A 为标准正态分布的随机变量。求：信号
29、的均值、方为标准正态分布的随机变量。求：信号的均值、方差和相关函数和一维概率密度。差和相关函数和一维概率密度。解：解：220,1011ANE AD AE AD AEA 00coscos0XmtE X tE AtE At 222222000(cos)coscosXXtEX tmtEAtE Attt的函数的函数49/1262022-11-20 212120 10 220 10 20 10 2,coscoscoscoscoscosXRt tE X tX tE AttE Attttt1、t2的函数的函数 1212120 10 2,coscosXXXXCt tRt tmtmttt 220,cosXXtC
30、t tt或或0 10 20 10 212220 10 20 10 2coscoscoscos(,)1coscoscoscosXttttt ttttt50/1262022-11-20一维概率密度一维概率密度22222200()1(;)exp2()2()1exp2cos2 cosXXXx m tf x tttxtt 0,Xmt 220cosXttt的函数的函数51/1262022-11-202.2.3 平稳随机过程平稳随机过程 平稳性（平稳性（Stationarity）:平稳性平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻是指随机信号的统计特性不随观察时刻t（或观（或观察时刻组察时刻组t1 1,t2 2
31、,tn n）平移而变化的性质，相应的随机）平移而变化的性质，相应的随机信号被称为信号被称为平稳随机信号平稳随机信号。1.严格平稳严格平稳与与广义平稳广义平稳过程过程 52/1262022-11-2012121212(,;,)(,;,)XnnXnnF x xx t ttF x xx tu tutuKKKK 定义定义3.1 3.1 若对于任意的若对于任意的 u ，随机过程，随机过程 X(t),tT 的的任意任意 n 维概率分布函数满足维概率分布函数满足则称则称X(t)是是严格平稳随机信号严格平稳随机信号,记作记作SSS R.S（1 1）严平稳随机过程严平稳随机过程 SSS R.S.SSS R.S.
32、上式等同于：上式等同于：12121212(,;,)(,;,)XnnXnnfx xx t ttfx xx tu tutuKKKKStrict-Sense Stationary Random Signal53/1262022-11-20 Xt.1t2tnt1tu2tuntu.b.时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即任意时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即任意n维概率维概率分布函数与时刻组的起始位置无关，而只与其相对位置有关。分布函数与时刻组的起始位置无关，而只与其相对位置有关。注意：注意：a.X tX t全部统计特的对时刻严格平稳或时刻组是位移不变性的54/1262022-11-20如：如
33、：(;)(;)()(;)(;)()F x tF x tuF xf x tf x tuf x一阶平稳一阶平稳严格平稳随机信号由同分布随机变量组成严格平稳随机信号由同分布随机变量组成与与t无关无关55/1262022-11-20222()(;)()()()()XXXXXXE X txfx t dxxfx dxmVar X tEX tmxmfx dx均值方差为常数均值方差为常数121212121212(,;,)(,;)(,;,)(,;)F x x t tF x xf x x t tf x x212121212121212(,;,)(,;,)(,;,0)(,;)utF x x t tF x x tu
34、tuF x x ttF x x令证明：12tt其中：12,tttt 56/1262022-11-20 121212121212(,)(,;)()XxxRt tE X tX tx x f x xdx dxR 1212122(,)(,)()()()XXXXXXXtt ttCCtt 2222111(,)(,()()XXXXXXXCt tRt tmtmRmCt57/1262022-11-20（2 2）广义平稳随机过程广义平稳随机过程 WSS R.S.定义定义3.2 3.2 若若 R.S.的均值和相关函数的均值和相关函数存在，并且满足：存在，并且满足：均值为常数；即均值为常数；即 相关函数与两时刻相关函
35、数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与的绝对值无关，只与相对时间差相对时间差 有关，即有关，即12(,)()XXRt tR12tt()XE X tm常数则称则称X(t)是是广义平稳随机信号广义平稳随机信号 ,记作记作 WSS R.S.(),X t tTWide-Sense Stationary R.S.12(,)(,)()XXXRt tRttR58/1262022-11-20（3）严格平稳性与广义平稳性之间关系：严格平稳性与广义平稳性之间关系：如果其均值与相关函数存在不一定是严格平稳广义平稳 过程 过程定理定理 如果某高斯信号是广义平稳信号，则该信如果某高斯信号是广义平稳信号，则该信号也是
36、严格平稳信号。号也是严格平稳信号。说明：实际中，如果产生与影响随机信号的主要物理条件说明：实际中，如果产生与影响随机信号的主要物理条件 不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。59/1262022-11-20220012()cos()cos()cos()cos()()2sin02()20E X tE ataEtaatdtdtta 均值为常数均值为常数例：判断随机相位正弦信号是否广义平稳？例：判断随机相位正弦信号是否广义平稳？()cos()X tat,.,0,2aRVU为常数，为且式中：式中：解：解：60/1262022-11-20 121
37、221221212212,()()cos()cos()cos()cos(2)2cos,2XXRt tE X t X tE attaEttttaRtt RX(t1,t2)只与其相对位置只与其相对位置有关有关故，故，R.S.X(t)WSS61/1262022-11-20例：例：随机信号随机信号X(t)=Ay(t)，其中，其中A为高斯随机变为高斯随机变量，量，y(t)为确定的时间函数，判断为确定的时间函数，判断X(t)是否为是否为SSS.R.S.SSS.R.S.221()()exp22Aa mf a解：解：E X tE Ay tm y t与与t有关有关故故X(t)非非 WSS.R.S.与与t有关有关
38、,非非 SSS.R.S.62/1262022-11-202.平稳信号相关函数的性质平稳信号相关函数的性质(1)(1)相关函数是实偶函数相关函数是实偶函数()()XXRR(2)(2)相关函数在原点处非负，并达到最大相关函数在原点处非负，并达到最大 2()(0)=XXRRE Xt(3)(3)周期信号周期信号 ,也是周期的也是周期的;()XR(4)(4)对于非对于非周期信号，一般周期信号，一般 。lim()0XC()()X tX tT2()()XXXC2()()XXXCRm当相关函数为周期信号或常数时上式等式成立当相关函数为周期信号或常数时上式等式成立 2cos2XaR63/1262022-11-2
39、0（5 5）相关时间）相关时间一般，随一般，随 增大，增大，X(t)和和 X(t +)的相关性减弱。的相关性减弱。工程上工程上，近似认为只要，近似认为只要 X()小于某值，则这两个时刻的小于某值，则这两个时刻的RV就就近似不相关了近似不相关了。这时，间隔时间。这时，间隔时间 称为相关时间称为相关时间 c 。0cXd 同相关系数一样，是相关程度的度量。同相关系数一样，是相关程度的度量。2XXRCm22m222()()(0)(0)(0)()mRE XtRCRR 64/1262022-11-203.各态历经性过程各态历经性过程,U ttt1234TT例：热噪声电压例：热噪声电压问题：问题：大多数的随
40、机信号要用实测样本表达；大多数的随机信号要用实测样本表达；并由实测样本数据去探测信号的统计特性。并由实测样本数据去探测信号的统计特性。结果：测量工作量巨大结果：测量工作量巨大65/1262022-11-20对于某固定时刻对于某固定时刻 t ，统计平均（集总平均）统计平均（集总平均）为：为：1111(,)lim(,)(,)iiinnniE U tU tU tnn样本的时间样本的时间平均平均:3331()lim()lim()2TTTTTA u tA u tu t dtT333111()()()2TmTkkTA u tu t dtu ttTmt66/1262022-11-20各态历经的含义各态历经的
41、含义：当观察时间足够长时，如果每个：当观察时间足够长时，如果每个样本都经历了随机过程的各种状态，从一个样本上样本都经历了随机过程的各种状态，从一个样本上就可以提取随机过程的全部统计特性。就可以提取随机过程的全部统计特性。若用一条样本的时间平均代替统计平均，则可大大地减少测若用一条样本的时间平均代替统计平均，则可大大地减少测量工作量和测量难度。量工作量和测量难度。理论基础是理论基础是信号的各态历经性理论信号的各态历经性理论67/1262022-11-20定义定义：设：设 X(t)是均值平稳的随机过程，若是均值平稳的随机过程，若则称则称 X(t)具有均值各态历经性。具有均值各态历经性。()()1P
42、A X tE X t（1 1）均值各态历经均值各态历经随机信号样本时间平均：随机信号样本时间平均：1,lim,2TTTA X tX tdtT68/1262022-11-20可能均值各态历经可能均值各态历经例：例：()()A X tE X t是是R.V.各个样本的时间平均大致相同且等于统计平均各个样本的时间平均大致相同且等于统计平均非均值各态历经非均值各态历经69/1262022-11-20时间相关函数时间相关函数 1lim2TTTA X tX tX tX t dtT-TTt（2 2）相关各态历经相关各态历经定义：定义：对广义平稳随机过程对广义平稳随机过程 X(t)，若，若则称则称 X(t)具有
43、相关各态历经性。具有相关各态历经性。()()()1)(A X tX tEPX tX t(3)(3)广义各态历经广义各态历经 定义：若随机信号定义：若随机信号 同时满足均值和同时满足均值和自相关各态历经，则称该信号为广义各态历经自相关各态历经，则称该信号为广义各态历经随机信号。随机信号。(),X t tTp 各各态历经时，时间平均赋予了统计平均工程意义态历经时，时间平均赋予了统计平均工程意义 E X tA X tX(t)的直流分量的直流分量 22E XtA XtX(t)的总平均功率的总平均功率71/1262022-11-202.2.4 两个信号的联合特性两个信号的联合特性 1.联合概率分布、密度
44、函数联合概率分布、密度函数1212()()12(,;,)(,)(),()XYX t Y tFx y t tFx yP X tx Y ty1212(,;,)(,;,)XYXYFx y t tfx y t tx y 对于对于R.S.X(t)与与Y(t)：72/1262022-11-204.互相关系数互相关系数：121212(,)(,)()()XYXYXYCt tt ttt3.互协方差函数互协方差函数：1211221212(,)()()()()(,)()()XYXYXYXYCt tE X tm tY tm tRt tm t m t2.互相关函数互相关函数：1212(,)()()XYRt tE X t
45、 Y t73/1262022-11-20p 两个两个R.S.X(t)、Y(t)的正交、线性无关与统计独立的正交、线性无关与统计独立l 若对于任意时刻若对于任意时刻t1 1和和t2 2，恒有，恒有RXY(t1,t2)=0，则称，则称X(t)和和Y(t)彼此彼此正交正交。l若对于任意时刻若对于任意时刻t1 1和和t2 2，恒有，恒有CXY(t1,t2)=0，则称，则称X(t)和和Y(t)彼此彼此线线性无关性无关，此时有，此时有)()(),(2121tmtmttRYXXYl 若任取若任取 ,恒有恒有1212,.,.,nmt tt s ssT11111111(,;,;,;,)(,;,)(,;,)XYn
46、mnmXnnYmmFxx yy tt ssF xx ttF yy ssKKKKKKKK则称则称X(t)和和Y(t)彼此彼此独立。独立。74/1262022-11-20统 计统 计独立独立线 性线 性无关无关正交正交X(t),Y(t)任一均值函任一均值函数为数为0正态分正态分布除外布除外121212(,)(,)()()XYXYXYCt tRt tm t m t统计独立、正交、线性无关的关系：统计独立、正交、线性无关的关系：75/1262022-11-20 2.2.5 功率谱密度功率谱密度1.功率谱密度与维纳辛钦定理功率谱密度与维纳辛钦定理(1)(1)随机信号的样本功率及样本功率谱密度随机信号的样
47、本功率及样本功率谱密度 说明：与确定信号不同的是，随机说明：与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。率谱，而非信号谱。样本截断函数样本截断函数 ,0,TX ttT TXtother,FTTXtXf lim,TTXtX t76/1262022-11-20(2)(2)随机信号的平均功率及平均功率谱密度随机信号的平均功率及平均功率谱密度2211lim(,)lim(,)22TTTTTPE XtdtEXfdfTT(,)XRt t()XPf2211()lim(,)lim(,)22TTTTTPXtdtXfdfTT2211()lim(,)lim(,
48、)22TTTTTE PEXtdtEXfdfTT22(,)(,)TTXtdtXfdf77/1262022-11-20功率谱密度（功率谱密度（PSDPSD）：）：21lim2XTTPfEXfT功率谱描述了功率谱描述了 的平均功率按频率分布的情况的平均功率按频率分布的情况 X t简称功率谱简称功率谱功率谱密度是偶函数。功率谱密度是偶函数。维纳维纳辛钦定理辛钦定理：对于平稳随机信号对于平稳随机信号 2()()jfXXXRP fRed 220XXXPE XtRxtPf df随机信号的功率：随机信号的功率：78/1262022-11-20例例2.6 正弦信号正弦信号 ，其中，其中A是常是常量，量，求它的功
49、率谱。，求它的功率谱。0()cos(2)X tAf t(0,2)U 解解：2001()cos(2)02E X tAf td 20020()cos2()cos(2)cos22XRA Ef tf tAf它是平稳的它是平稳的200()()()4XAPfffff功率谱是确知函数，明确有效地说明随机信号中各频率成份的功率谱是确知函数，明确有效地说明随机信号中各频率成份的含量。含量。79/1262022-11-202.2.双边功率谱密度与单边功率谱密度双边功率谱密度与单边功率谱密度,XPff 双边功率谱密度双边功率谱密度,0,XGff 单边功率谱密度单边功率谱密度物理功率谱密度物理功率谱密度 2,00,0
50、XXPffGff 0XXXPPf dfGf df XPf XGf080/1262022-11-202.3 高斯分布与高斯信号 81/1262022-11-202.3.1 高斯高斯R.V.的分布的分布 许多随机信号由大量相互独立的随机因素综合影响而形许多随机信号由大量相互独立的随机因素综合影响而形成，其中每一个别因素的影响是微小的，这类随机信号成，其中每一个别因素的影响是微小的，这类随机信号大都近似地服从高斯分布。大都近似地服从高斯分布。一维高斯分布一维高斯分布，2,NX 221exp22Xxfx82/1262022-11-20221122,;,;X YN 二维高斯分布二维高斯分布，221221
