1、1 建筑力学预备知识建筑力学预备知识本章主要介绍力的基本性质、力矩与力偶、平本章主要介绍力的基本性质、力矩与力偶、平面一般力系的平衡方程及其应用、变形固体及其假面一般力系的平衡方程及其应用、变形固体及其假设和几何图形的性质。要求掌握几种常见约束的约设和几何图形的性质。要求掌握几种常见约束的约束反力，受力图的画法，平面力系的平衡方程及其束反力，受力图的画法，平面力系的平衡方程及其应用；理解力的性质和投影、力矩的计算、力偶的应用；理解力的性质和投影、力矩的计算、力偶的概念；了解变形固体及其假设，强度、刚度、稳定概念；了解变形固体及其假设，强度、刚度、稳定性的概念，平面几何图形的性质。性的概念，平面
2、几何图形的性质。本章提要本章提要本本 章章 内内 容容1.1 力的概念力的概念1.2 静力学公理静力学公理1.3 约束与约束反力约束与约束反力1.4 物体的受力分析及受力图物体的受力分析及受力图1.5 力的合成与分解力的合成与分解1.6 力矩和力偶力矩和力偶1.7 平面力系的平衡平面力系的平衡1.8 变形固体基本概念变形固体基本概念1.1 力的概念力的概念人们在长期的生产劳动和日常生活中逐渐形成并建立了力的概念。力可定义为：力是物体之间相互的机械作用，这种作用的效果是使物体的运动状态发生改变，或者使物体发生变形。既然力是物体与物体之间的相互作用，那么，力不可能脱离物体而单独存在。有受力物体，必
3、定有施力物体。1.1.1 力的定义力的定义实践证明，力对物体的作用效果取决于三个要素：力的大小、力的方向和力的作用点。这三个要素通常称为力的三要素。描述一个力时，要全面表明力的三要素，因为任一要素发生改变时，都会对物体产生不同的效果。在国际单位制中，力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。1kN=1000N。1.1.2 力的三要素力的三要素力是一个既有大小又有方向的物理量，所以力是矢量。力用一段带箭头的线段来表示。线段的长度表示力的大小；线段与某定直线的夹角表示力的方位，箭头表示力的指向；线段的起点或终点表示力的作用点。用外文字母表示力时，用黑体字F或加一箭线的细体字。而普通字母F只表示力的大小
4、。1.2 静力学公理静力学公理两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，沿同一直线，并分别作用在这两个物等，方向相反，沿同一直线，并分别作用在这两个物体上。体上。作用力与反作用力的性质应相同。作用力与反作用力公理概括了两个物体之间相互作用力之间的关系，在分析物体受力时将有重要的作用。1.2.1 作用力与反作用力公理作用力与反作用力公理作用在同一物体上的两个力，使物体平衡的必要作用在同一物体上的两个力，使物体平衡的必要和充分条件是，这两个力大小相等，方向相反，且作和充分条件是，这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。用在同一直线上。
5、这个公理说明了作用在同一物体上两个力的平衡条件。当一个物体只受两个力而保持平衡时，这两个力一定满足二力平衡公理。若一根杆件只在两点受力作用而处于平衡，则作用在此两点的二力的方向必在这两点的连线上。1.2.2 二力平衡公理二力平衡公理作用于刚体的任意力系中，加上或减去任意平衡作用于刚体的任意力系中，加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系的作用效应。力系，并不改变原力系的作用效应。推论：力的可传性原理作用在刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内的作用在刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内的任意点，而不改变原力对刚体的作用效应。任意点，而不改变原力对刚体的作用效应。根据力的可传性原理，力对刚体的作用效应与
6、力的作用点在作用线的位置无关。加减平衡力系公理和力的可传性原理都只适用于刚体。1.2.3 加减平衡力系公理加减平衡力系公理作用于物体上的同一点的两个力，可以合成为一作用于物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用于该点，合力的大小和方向由这个合力，合力也作用于该点，合力的大小和方向由这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示。两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示。如图1.1所示。推论：三力平衡汇交定理一刚体受共面不平行的三个力作用而平衡时，这一刚体受共面不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。三个力的作用线必汇交于一点。三力平衡汇交定理常常用来确定物体在共
7、面不平行的三个力作用下平衡时其中未知力的方向。1.2.4 力的平行四边形法则力的平行四边形法则图1.1 力平行四边形 1.3 约束与约束反力约束与约束反力一个物体的运动受到周围物体的限制时，这些周围物体就称为该物体的约束。物体受到的力一般可以分为两类：一类是使物体运动或使物体有运动趋势，称为主动力，如重力、水压力等，主动力在工程上称为荷载；另一类是对物体的运动或运动趋势起限制作用的力，称为被动力。1.3.1 约束与约束反力的概念约束与约束反力的概念约束对物体运动的限制作用是通过约束对物体的作用力实现的，通常将约束对物体的作用力称为约束反力，简称反力，约束反力的方向总是与约束所能限制的运动方向相
8、反。通常主动力是已知的，约束反力是未知的。由柔软的绳子、链条或胶带所构成的约束称为柔体约束。由于柔体约束只能限制物体沿柔体约束的中心线离开约束的运动，所以柔体约束的约束反力必然沿柔体的中心线而背离物体，即拉力，通常用FT表示。如图1.2(a)所示的起重装置中，桅杆和重物一起所受绳子的拉力分别是FT1、FT2和FT3(图1.2(b)，而重物单独受绳子的拉力则为FT4(图1.2(c)。1.3.2 柔体约束柔体约束图1.2 柔体约束及其约束反力 当两个物体直接接触，而接触面处的摩擦力可以忽略不计时，两物体彼此的约束称为光滑接触面约束。光滑接触面对物体的约束反力一定通过接触点，沿该点的公法线方向指向被
9、约束物体，即为压力或支持力，通常用FN表示，如图1.3所示。1.3.3 光滑接触面约束光滑接触面约束图1.3 光滑接触面约束及其约束反力 圆柱铰链约束是由圆柱形销钉插入两个物体的圆孔构成，如图1.4（a）、（b）所示，且认为销钉与圆孔的表面是完全光滑的，这种约束通常如图1.4（c）所示。圆柱铰链约束只能限制物体在垂直于销钉轴线平面内的任何移动，而不能限制物体绕销钉轴线的转动。如图1.5 所示 1.3.4 圆柱铰链约束圆柱铰链约束图1.4 圆柱铰链约束 图1.5 圆柱铰链约束的约束反力 两端用铰链与不同的两个物体分别相连且中间不受力的直杆称为链杆，图1.6（a）、（b）中AB、BC 杆都属于链杆
10、约束。这种约束只能限制物体沿链杆中心线趋向或离开链杆的运动。链杆约束的约束反力沿链杆中心线，指向未定。链杆约束的简图及其反力如图1.6（c）、（d）所示。链杆都是二力杆，只能受拉或者受压。1.3.5 链杆约束链杆约束图1.6 链杆约束及其约束反力 用光滑圆柱铰链将物体与支承面或固定机架连接起来，称为固定铰支座，如图1.7（a）所示，计算简图如图1.7（b）所示。其约束反力在垂直于铰链轴线的平面内，过销钉中心，方向不定（图1.7（a）。一般情况下可用图1.7（c）所示的两个正交分力表示。1.3.6 固定铰支座固定铰支座图1.7 固定铰支座及其约束反力 在固定铰支座的座体与支承面之间加辊轴就成为可
11、动铰支座，其简图可用图1.8（a）、（b）表示，其约束反力必垂直于支承面，如图1.8（c）所示。在房屋建筑中，梁通过混凝土垫块支承在砖柱上，如图1.8（d）所示,不计摩擦时可视为可动铰支座。1.3.7 可动铰支座可动铰支座图1.8 可动铰支座及其约束反力如房屋的雨篷、挑梁，其一端嵌入墙里（图1.9（a），墙对梁的约束既限制它沿任何方向移动，同时又限制它的转动，这种约束称为固定端支座。它的简图可用图1.9（b）表示，它除了产生水平和竖直方向的约束反力外，还有一个阻止转动的约束反力偶，如图1.9（c）所示。1.3.8 固定端支座固定端支座图1.9 固定端支座及其约束反力 由于物体与物体之间用各种约
12、束相互连接，从而构成了能够承受各种荷载的结构。凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部约束反力和杆件的内力的结构称为静定结构，全部约束反力和杆件的内力不能只用静力平衡条件来确定的结构称为超静定结构。超静定结构的计算，将结合结构的变形进行计算。1.3.9 静定结构与超静定结构的概念静定结构与超静定结构的概念1.4 物体的受力分析及受力图物体的受力分析及受力图在受力分析时，当约束被人为地解除时，即人为地撤去约束时，必须在接触点上用一个相应的约束反力来代替。在物体的受力分析中，通常把被研究的物体的约束全部解除后单独画出，称为脱离体。把全部主动力和约束反力用力的图示表示在分离体上，这样得到的图形，
13、称为受力图。1.4.1 物体受力分析及受力图的概念物体受力分析及受力图的概念画受力图的步骤如下：（1）明确分析对象，画出分析对象的分离简图；（2）在分离体上画出全部主动力；（3）在分离体上画出全部的约束反力，注意约束反力与约束应一一对应。【例1.1】重量为FW 的小球放置在光滑的斜面上，并用绳子拉住，如图1.10（a）所示。画出此球的受力图。【解】以小球为研究对象，解除小球的约束，画出分离体，小球受重力(主动力)FW，并画出，同时小球受到绳子的约束反力（拉力）FTA和斜面的约束反力（支持力）FNB（图1.10（b）。1.4.2 物体的受力图举例物体的受力图举例【例1.2】水平梁AB受已知力F作
14、用，A端为固定铰支座，B端为移动铰支座，如图1.11（a）所示。梁的自重不计，画出梁AB的受力图。【解】取梁为研究对象，解除约束，画出分离体，画主动力F；A端为固定铰支座，它的反力可用方向、大小都未知的力FA，或者用水平和竖直的两个未知力FAx和FAy表示；B端为移动铰支座，它的约束反力用FB表示，但指向可任意假设，受力图如图1.11（b）、（c）所示。【例1.3】如图1.12（a）所示，梁AC与CD在C处铰接，并支承在三个支座上，画出梁AC、CD及全梁AD的受力图。【解】取梁CD为研究对象并画出分离体，如图1.12（b）所示。取梁AC为研究对象并画出分离体，如图1.12（c）所示。以整个梁为
15、研究对象，画出分离体，如图1.12（d）所示。图1.10 例1.1图图1.11 例1.2图 图1.12 例1.3图 如左图所示，梯子如左图所示，梯子的两部分的两部分AB和和AC在在A点铰接，又在点铰接，又在D、E两两点用水平绳连接。梯子点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若放在光滑水平面上，若其自重不计，但在其自重不计，但在AD的中点处作用一铅垂荷的中点处作用一铅垂荷载载F。试分别画出梯子。试分别画出梯子的的AB、AC部分以及整部分以及整个系统的受力图。个系统的受力图。物体的受力分析及受力图物体的受力分析及受力图FABCDEH解解（1）取梯子）取梯子AB为研究对象，解除约束，画为研究对象，解
16、除约束，画出分离体。出分离体。（2）分析）分析AB受力受力主动力：主动力：F约束约束力力（3）画受力）画受力图图FABCDEH1.梯子梯子 AB 部分的部分的受力图受力图ABHDFAyFFAxFBA端铰约束：端铰约束：FAx、FAyB端光滑接触面约端光滑接触面约束：束：FBD处绳约束：处绳约束：FDFD解解（1）取梯子）取梯子AC为研究对象，解除约束，画为研究对象，解除约束，画出分离体。出分离体。（2）分析）分析AC受力受力主动力主动力:无无约束约束力力（3）画受力）画受力图图FABCDEH2.梯子梯子 AC 部分的部分的受力图受力图C端光滑接触面约端光滑接触面约束：束：FCE处绳约束：处绳约
17、束：FEACEFCFEA端铰约束：端铰约束：ABHDFAyFFAxFBFD作用力作用力反作用反作用力力解解（1）取梯子整体为研究对象，解除约束，）取梯子整体为研究对象，解除约束，画出分离体。画出分离体。（2）分析梯子）分析梯子受力受力主动主动力力:F约束约束力力（3）画受力）画受力图图FABCDEH3.梯子梯子 整体的受力整体的受力图图C端光滑接触面约端光滑接触面约束：束：FCB端光滑接触面约端光滑接触面约束：束：FBFABCDEHFBFC只画外只画外力不画力不画内力内力解除约解除约束后才束后才能画上能画上约束反约束反力力FABCDEHACEFCFEABHDFAyFFAxFBFD作用力作用力反
18、作用反作用力力FABCDEHFBFC不同的字母不同的字母标注不同的标注不同的力力相同的相同的力标注力标注相同相同1.5 力的合成与分解力的合成与分解 凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。在平面力系中，各力的作用线都汇交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用线互相平行的力系，称为平面平行力系；各力的作用线既不完全平行又不完全汇交的力系，我们称为平面一般力系。如图1.13（a）所示，设力F作用在物体上的A点，在力F作用的平面内取直角坐标系xOy，从力F的两端A和B分别向x轴作垂线，垂足分别为a和b，线段ab称为力F在坐标轴x上的投影，用Fx表示。同理，从A和B分别向y轴作垂线，垂足分
19、别为a和b，线段ab称为力F在坐标轴y上的投影，用Fy表示。力的正负号规定如下：力的投影从开始端到末端的指向，与坐标轴正向相同为正；反之，为负。1.5.1 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成1.5.1.1 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影若已知力的大小为F，它与x轴的夹角为，则力在坐标轴的投影的绝对值为：Fx=Fcos (1.1)Fy=Fsin (1.2)投影的正负号由力的指向确定。反过来，当已知力的投影Fx和Fy，则力的大小F和它与x轴的夹角分别为：22xyFFFarctanyxFF 左图中各力的大小均为左图中各力的大小均为100N，求各力在，求各力在x、y轴上轴上的投影。的投影。（教
20、材（教材P14上例上例1.4）力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影60F230F1xyO45F4F3解解NFFx7.7045cos011NFFy7.7045sin011NFFx1002202yFNFFx5030sin033NFFy6.8630cos033NFFx5060cos044NFFy6.8660sin044F1F2F3F4作辅助作辅助线线正负号正负号判断判断力与坐标轴垂直力与坐标轴垂直或平行或平行 已知已知F1=F2=100N，F3=150N，F4=200N，试，试求其合力。求其合力。（教材（教材P15上例上例1.5）解解NFFx1001101yFF1NFFx28.6450cos022N
21、FFy6.7650sin022F2NFFx7560cos033NFFy9.12960sin033F3NFFx94.18720cos044NFFy4.6820sin044F4F3F2xyF45020F1O60作辅助作辅助线线正负号正负号判断判断NFFFFFFxxxxxx66.984321NFFFFFFyyyyyy1.1384321合力投影合力投影定理定理xyO解解F3F2xyF45020F1O60NFFFFFFxxxxxx66.984321NFFFFFFyyyyyy1.1384321FFyFxNFFFyx7.169228254arctan0 xyFFF的指向由的指向由FxFy的正负的正负号决定号
22、决定正正值值负负值值合力投影定理：合力在任意轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。数学式子表示为：如果F=F1+F2+Fn (1.5)则Fx=F1x+F2x+Fnx=Fx (1.6)Fy=F1y+F2y+Fny=Fy (1.7)平面汇交力系的合成结果为一合力。1.5.1.2 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法当平面汇交力系已知时，首先选定直角坐标系，求出各力在x、y轴上的投影,然后利用合力投影定理计算出合力的投影，最后根据投影的关系求出合力的大小和方向。【例1.5】如图1.15所示，已知F1=F2=100N，F3=150N，F4=200N，试求其合力。【解】取直角坐标系xO
23、y。分别求出已知各力在两个坐标轴上投影的代数和为：Fx=Fx=F1+F2cos50-F3cos60-F4cos20=100+1000.6428-1500.5-2000.9397=-98.66NFy=Fy=F2sin50+F3sin60-F4sin20=1000.766+1500.866-2000.342=138.1N于是可得合力的大小以及与x轴的夹角：F=Fx2+Fy2 =(-98.66)2+138.12=169.7N=arctan|Fy/Fx|=arctan1.4=5428因为Fx为负值，而Fy为正值，所以合力在第二象限，指向左上方（图1.15（b）。图1.15 例1.5图图1.15 例1.
24、5图利用四边形法则可以进行力的分解。通常情况下将力分解为相互垂直的两个分力F1和F2，如图1.13（b）所示,则两个分力的大小为：F1=Fcos(1.8)F2=Fsin(1.9)力的分解和力的投影既有根本的区别又有密切联系。分力是矢量，而投影为代数量；分力F1和F2的大小等于该力在坐标轴上投影Fx和Fy的绝对值，投影的正负号反映了分力的指向。1.5.2 力的分解力的分解图1.13 力在坐标轴上的投影1.6 力矩和力偶力矩和力偶从实践中知道，力可使物体移动，又可使物体转动，例如当我们拧螺母时（图1.16），在扳手上施加一力F，扳手将绕螺母中心O转动，力越大或者O点到力F作用线的垂直距离d越大，螺
25、母将容易被拧紧。1.6.1 力矩力矩1.6.1.1 力矩的概念力矩的概念将O点到力F作用线的垂直距离d称为力臂，将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上表示转动方向的正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即MO(F)=Fd （1.10）O点称为力矩中心，简称矩心。正负号的规定：力使物体绕矩心逆时针转动时，力矩为正；反之，为负。力矩的单位：牛顿米(Nm)或者千牛米(kNm)图1.16 力矩的概念可以证明：合力对平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和。即：若F=F1+F2+Fn (1.11)则MO(F)=MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn)(1.12)该定理不
26、仅适用于平面汇交力系，而且可以推广到任意力系。1.6.1.2 合力矩定理合力矩定理【例1.6】图1.17所示每1m长挡土墙所受的压力的合力为F，它的大小为160kN，方向如图所示。求土压力F使墙倾覆的力矩。【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆，故求F 对点A的力矩。采用合力矩定理进行计算比较方便。MA(F)=MA(F1)+MA(F2)=F1h/3-F2b=160cos304.5/3-160sin301.5=87kNm图1.17 例1.6图 解解 已已 知知:作用在托架作用在托架A 点的力点的力为为 F，以及尺寸以及尺寸 l1,l2,l3，。求求:力力 F 对对 O 点之矩点之矩MO(F)。将力将力
27、F垂直垂直分解分解sinFFxcosFFyFxFy应用合力矩定理应用合力矩定理)()()(yOxOOFMFMFM)(312llFlFyx)(cossin312llFlF若用力矩定义求，力若用力矩定义求，力臂臂d计算会很繁，且计算会很繁，且容易算错。容易算错。d把作用在同一物体上大小相等、方向相反但不共线的一对平行力组成的力系称为力偶，记为（F，F）。力偶中两个力的作用线间的距离d称为力偶臂。两个力所在的平面称为力偶的作用面。在实际生活和生产中，物体受力偶作用而转动的现象十分常见。例如，司机两手转动方向盘，工人师傅用螺纹锥攻螺纹，所施加的都是力偶。1.6.2 力偶力偶1.6.2.1 力偶的概念力
28、偶的概念用力和力偶臂的乘积再加上适当的正负号所得的物理量称之为力偶，记作M（F，F）或M，即M（F，F）=Fd(1.13)力偶正负号的规定：力偶正负号表示力偶的转向，其规定与力矩相同。若力偶使物体逆时针转动，则力偶为正；反之，为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同。力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，即力偶矩的大小、转向和力偶的作用面的方位。1.6.2.2 力偶矩力偶矩（1）力偶无合力，不能与一个力平衡和等效，力偶只能用力偶来平衡。力偶在任意轴上的投影等于零。（2）力偶对其平面内任意点之矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。实践证明，凡是三要素相同的力偶，彼此相同，可以互相代替。如图1.18
29、所示。1.6.2.3 力偶的性质力偶的性质图1.18 力偶 作用在同一物体上的若干个力偶组成一个力偶系，若力偶系的各力偶均作用在同一平面，则称为平面力偶系。力偶对物体的作用效应只有转动效应，而转动效应由力偶的大小和转向来度量，因此，力偶系的作用效果也只能是产生转动，其转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和。可以证明，平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即：M=M1+M2+Mn=Mi (1.14)1.6.2.4 平面力偶的合成平面力偶的合成1.7 平面力系的平衡平面力系的平衡由力的性质可知：在刚体内，力沿其作用线滑移，其作用效应不改变。如果将力的作用线平行移动到另一
30、位置，其作用效应将发生改变，其原因是力的转动效应与力的位置有直接的关系。通过证明可以得出力的平移定理：作用于刚体上作用于刚体上的力，可以平移到刚体上任意一点，必须附加一个力的力，可以平移到刚体上任意一点，必须附加一个力偶才能与原力等效，附加的力偶矩等于原力对平移点偶才能与原力等效，附加的力偶矩等于原力对平移点之矩。之矩。1.7.1 力的平衡定理力的平衡定理平面一般力系平衡的充分和必要条件是：平面一般力系中各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点之矩的代数和也等于零。用数学式子表达为：Fx=0Fy=0mO(F)=0 1.7.2 平面力系的平衡平面力系的平衡1.7.
31、2.1 平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件此外平面一般力系的平衡方程还可以表示为二矩式和三力矩式。二矩式为：Fx=0mA(F)=0mB(F)=0三力矩式为mA(F)=0mB(F)=0mC(F)=0(1)平面汇交力系如果平面汇交力系中的各力作用线都汇交于一点O，则式中MO(F)=0，即平面汇交力系的平衡条件为力系的合力为零，其平衡方程为：Fx=0（1.18a）Fy=0（1.18b）平面汇交力系有两个独立的方程，可以求解两个未知数。1.7.2.2 平面力系平衡的特例平面力系平衡的特例(2)平面平行力系力系中各力在同一平面内，且彼此平行的力系称为平面平行力系。设有作用在物体上的一个平面平行
32、力系，取x轴与各力垂直，则各力在x轴上的投影恒等于零，即Fx0。因此，根据平面一般力系的平衡方程可以得出平面平行力系的平衡方程：Fy=0（1.19a）MO（F）=0（1.19b）同理，利用平面一般力系平衡的二矩式，可以得出平面平行力系平衡方程的又一种形式：MA(F)=0（1.20a）MB（F）=0（1.20b）注意，式中A、B连线不能与力平行。平面平行力系有两个独立的方程，所以也只能求解两个未知数。（3）平面力偶系在物体的某一平面内同时作用有两个或者两个以上的力偶时，这群力偶就称为平面力偶系。由于力偶在坐标轴上的投影恒等于零，因此平面力偶系的平衡条件为：平面力偶系中各个力偶的代数和等于零，即：
33、M=0（1.21）【例1.7】求图1.19（a）所示简支桁架的支座反力。【解】（1）取整个桁架为研究对象。（2）画受力图(图1.19(b)。桁架上有集中荷载及支座A、B处的反力FA、FB，它们组成平面平行力系。（3）选取坐标系，列方程求解：MB=3012+106-FA15=0FA=(360+60)/15=28kN()Fy=0 FA+FB-30-10=0FB=40-28=12kN()校核：MA=FB15-303-109=1215-90-90=0ABDCF 支架的横梁支架的横梁AB与斜与斜杆杆DC彼此以铰链彼此以铰链C连接，连接，并各以铰链并各以铰链A、D连接于连接于铅直墙上。如图所示。铅直墙上。
34、如图所示。已知杆已知杆AC=CB，杆，杆DC与与水平线成水平线成 45 角；荷载角；荷载F=10 kN，作用于，作用于B处。处。设梁和杆的重量忽略不设梁和杆的重量忽略不计，求铰链计，求铰链A的约束力和的约束力和杆杆DC所受的力。所受的力。045ll45ABC解解ABDCF1.取取AB杆为研究对象，画杆为研究对象，画受力图受力图FFCFAyFAx主动力：主动力：F约束约束力力C处二力杆（链处二力杆（链杆）：杆）：FCA处固定铰支座：处固定铰支座：FAx、FAy解解1.取取AB杆为研究对象，画杆为研究对象，画受力图受力图ll45ABCFFCFAyFAx2.建立平衡方程，求解建立平衡方程，求解未知力
35、未知力 u写投影方程时，坐标轴尽可能写投影方程时，坐标轴尽可能与未知力平行或垂直。与未知力平行或垂直。u写力矩方程时，矩心取未知力写力矩方程时，矩心取未知力的交点。的交点。u利用平衡方程对计算结果进利用平衡方程对计算结果进行校核。行校核。)(20kNFAx)(10kNFAykNFC28.28（）u计算结果为负，表明力计算结果为负，表明力的实际方向与图示方向相的实际方向与图示方向相反。括号内的箭头表示支反。括号内的箭头表示支座反力的实际方向。座反力的实际方向。0)(FMA 0yF 0 xF0245sin0lFlFC045sin0FFFCAy045cos0CAxFF矩矩心心解解1.取取AB杆为研究
36、对象，画杆为研究对象，画受力图受力图ll45ABCFFCFAyFAx2.建立平衡方程，求解建立平衡方程，求解未知力未知力 u如果计算结果正确，则必满足平衡方程，利用平衡方程对计如果计算结果正确，则必满足平衡方程，利用平衡方程对计算结果进行校核。算结果进行校核。)(20kNFAx)(10kNFAykNFC28.28（）3.校校核核 0)(lFlFFMAyC 0)(FMA 0yF 0 xF0245cos0lFlFC045sin0CAyFF045cos0CAxFF解解1.取取AB杆为研究对象，画杆为研究对象，画受力图受力图ll45ABCFFCFAyFAx2.建立平衡方程，求解建立平衡方程，求解未知力
37、未知力 4.讨讨论论 )(20kNFAx)(10kNFAykNFC28.28（）3.校校核核 u在计算时，选择何种形式的平衡方程，以计算简单为原在计算时，选择何种形式的平衡方程，以计算简单为原则。若能避免解联立方程组为最佳。则。若能避免解联立方程组为最佳。0)(FMA 0)(FMC 0 xF0245cos0lFlFC0lFlFAy045cos0CAxFFkNFC28.28kNFAy10kNFAx20二矩二矩式式一矩一矩式式 0)(FMA 0yF 0 xF0245cos0lFlFC045sin0CAyFF045cos0CAxFFll45ABCFFCFAyFAx u在计算时，选在计算时，选择何种形
38、式的平择何种形式的平衡方程，以计算衡方程，以计算简单为原则。若简单为原则。若能避免解联立方能避免解联立方程组为最佳。程组为最佳。二矩二矩式式一矩一矩式式D 0)(FMA 0)(FMC 0 xF0245cos0lFlFC0lFlFAy045cos0CAxFF 0)(FMA 0)(FMC 0)(FMD0245cos0lFlFC0lFlFAy02 lFlFAx 0)(FMA 0yF 0 xF0245cos0lFlFC045sin0CAyFF045cos0CAxFF选选FAx和和FC的交点的交点D为矩心为矩心三矩三矩式式物体实际发生相互作用时，其作用力是连续分布作用在一定体积和面积上的，这种力称为分布
39、力，也叫分布荷载。单位长度上分布的线荷载大小称为荷载集度，其单位为牛顿/米(N/m)，如果荷载集度为常量，即称为均匀分布荷载，简称均布荷载。对于均布荷载可以进行简化计算：认为其合力的大小为Fq=qa，a为分布荷载作用的长度，合力作用于受载长度的中点。【例1.8】求图1.20所示梁支座的反力。【解】（1）取梁AB为研究对象。（2）画出受力图(图1.20(b)。桁架上有集中荷载F、均布荷载q和力偶m以及支座A、B处的反力FAx、FAy和m。（3）选取坐标系，列方程求解：Fx=0 FAx=0MA=0 MA-M-Fl-qll/2=0MA=M+Fll+1/2ql2Fy=0FAy-ql-F=0FAy=F+
40、ql以整体为研究对象，校核计算结果：MB=FAyl+M-MA-1/2ql2=0说明计算无误。总结例1.7、例1.8，可归纳出物体平衡问题的解题步骤如下：（1）选取研究对象。（2）画出受力图。（3）依照受力图的特点选取坐标系，注意投影为零和力矩为零的应用，列方程求解。（4）校核计算结果。图1.19 例1.7图图1.20 例1.8图 1.8 变形固体基本概念变形固体基本概念构件是由固体材料制成的，在外力作用下，固体将发生变形，故称为变形固体。在进行静力分析和计算时，构件的微小变形对其结果影响可以忽略不计，因而将构件视为刚体，但是在进行构件的强度、刚度、稳定性计算和分析时，必须考虑构件的变形。1.8
41、.1 变形固体及其基本假设变形固体及其基本假设构件的变形与构件的组成和材料有直接的关系，为了使计算工作简化，把变形固体的某些性质进行抽象化和理想化，做一些必要的假设，同时又不影响计算和分析结果。对变形固体的基本假设主要有：（1）均匀性假设即假设固体内部各部分之间的力学性质处处相同。宏观上可以认为固体内的微粒均匀分布，各部分的性质也是均匀的。（2）连续性假设即假设组成固体的物质毫无空隙地充满固体的几何空间。实际的变形固体从微观结构来说，微粒之间是有空隙的，但是这种空隙与固体的实际尺寸相比是极其微小的，可以忽略不计。这种假设的意义在于当固体受外力作用时，度量其效应的各个量都认为是连续变化的，可建立
42、相应的函数进行数学运算。（3）各向同性假设即假设变形固体在各个方向上的力学性质完全相同。具有这种属性的材料称为各向同性材料。铸铁、玻璃、混凝土、钢材等都可以认为是各向同性材料。（4）小变形假设固体因外力作用而引起的变形与原始尺寸相比是微小的，这样的变形称为小变形。由于变形比较小，在固体分析、建立平衡方程、计算个体的变形时，都以原始的尺寸进行计算。对于变形固体来讲，受到外力作用发生变形，而变形发生在一定的限度内，当外力解除后，随外力的解除而变形也随之消失的变形，称为弹性变形。但是也有部分变形随外力的解除而变形不随之消失，这种变形称为塑性变形。本书只进行弹性变形和小变形的计算。总之，材料力学研究的
43、构件是均匀、连续、各向同性的理想弹性体，且限于小变形范围。在工程实际中，构件的形状可以是各种各样的，但经过适当的简化，一般可以归纳为四类，即杆、板、壳和块。所谓杆件，是指长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述。杆的各个截面的形心的连线叫轴线，垂直于轴线的截面叫横截面。轴线为直线、横截面相同的杆称为等值杆。1.8.2 杆件变形杆件变形1.8.2.1 杆件杆件（1）轴向拉伸与压缩（图1.21（a）、（b）。这种变形是在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件产生长度的改变（伸长与缩短）。（2）剪切（图1.21（c）。这种变形
44、是在一对相距很近、大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴线的外力作用下，杆件的横截面沿外力方向发生的错动。1.8.2.2 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式（3）扭转（图1.21（d）。这种变形是在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的平面内的力偶作用下，杆的任意两横截面发生的相对转动。（4）弯曲（图1.21（e）。这种变形是在横向力或一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆的轴线由直线弯曲成曲线。图1.21 杆件变形的基本形式(1)内力构件内各粒子间都存在着相互作用力。当构件受到外力作用时，形状和尺寸将发生变化，构件内各个截面之间的相互作用力也将发生变化，这种因为杆件受
45、力而引起的截面之间相互作用力的变化称为内力。内力与构件的强度（破不破坏的问题）、刚度（变形大小的问题）紧密相连。要保证构件的承载必须控制构件的内力。1.8.3 内力、应力的概念内力、应力的概念(2)应力内力表示的是整个截面的受力情况。在不同粗细的两根绳子上分别悬挂重量相同的物体，则细绳将可能被拉断，而粗绳不会被拉断，这说明构件是否破坏不仅仅与内力的大小有关，而且与内力在整个截面的分布情况有关，而内力的分布通常用单位面积上的内力大小来表示，我们将单位面积上的内力称为应力。它是内力在某一点的分布集度。应力根据其与截面之间的关系和对变形的影响，可分为正应力和切应力两种。垂直于截面的应力称为正应力，用
46、表示；相切于截面的应力称为切应力，用表示。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，简称帕（Pa）。1Pa=1N/m2工程实际中应力的数值较大，常以千帕（kPa）、兆帕（MPa）或吉帕（GPa）为单位。杆件在轴向拉力或压力作用下，沿杆轴线方向会伸长或缩短，这种变形称为纵向变形；同时，杆的横向尺寸将减小或增大，这种变形称为横向变形。如图1.21(a)、(b)所示，其纵向变形为：l=l1-l(1.22)为了避免杆件长度的影响，用单位长度的变形量反映变形的程度，称为线应变。纵向线应变用符号表示。=l/l=（l1-l）/l (1.23)1.8.4 应变的概念应变的概念1.8.4.1 线应变线应变图1.21
47、杆件变形的基本形式 如图1.21(c)为一矩形截面的构件，在一对剪切力的作用下，截面将产生相互错动，形状变为平行四边形，这种由于角度的变化而引起的变形称为剪切变形。直角的改变量称为切应变，用符号表示。切应变的单位为弧度。1.8.4.2 切应变切应变图1.21 杆件变形的基本形式 实验表明，应力和应变之间存在着一定的物理关系，在一定条件下，应力与应变成正比，这就是虎克定律。用数学公式表达为：=E(1.24)式中比例系数E称为材料的弹性模量，它与构件的材料有关，可以通过试验得出。1.8.4.3 虎克定律虎克定律构件和结构都应有足够的承受荷载的能力（承载能力），这种承载能力由以下三方面来衡量：（1）
48、构件应有足够的强度。所谓强度，就是构件在外力作用下抵抗破坏的能力。（2）构件应有足够的刚度。所谓刚度，就是构件抵抗变形的能力。（3）构件应有足够的稳定性。稳定性就是构件保持原有平衡状态的能力。1.8.5 强度、刚度、稳定性的概念强度、刚度、稳定性的概念构件的截面形状与构件的承载能力有着直接的关系。与截面尺寸和形状有关的几何量，称为平面图形的几何性质。1.8.6 截面的几何性质截面的几何性质在地球表面附近的物体，都受到地球的引力作用，这个引力称为重力。重力的大小称为物体的重量。实验证明，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为重心。任何几何
49、图形都有一个几何中心，也就是形心。当一个物体是均匀分布时，则物体的形心与物体的重心是重合的。在进行构件强度分析时，经常要用到形心的位置。1.8.6.1 重心与形心的概念重心与形心的概念重心与形心的计算方法相对比较复杂。现将几种常见图形的形心列于表1.1。对于圆、矩形等对称图形，其形心就是其重心，比如圆的形心就在其圆心。1.8.6.2 几种常见图形的形心几种常见图形的形心表1.1 常见图形的形心与面积 图形形心位置面积xC=a/3yC=h/3A=ah/2 yC=h/3 A=ah/2 图形形心位置面积yC=4r/3 A=r2/2 xC=3/4ayC=3/10b A=1/3/ab 图形形心位置面积x
50、C=3/5ayC=3/8b A=2/3ab 赵赵 州州 桥桥拱：拱：一般由曲杆构成。一般由曲杆构成。（轴（轴 线为曲线）线为曲线）特点：在竖向荷载作特点：在竖向荷载作用下支座会产生水平推用下支座会产生水平推力。力。内力：轴力、弯矩、内力：轴力、弯矩、剪力剪力桁架：桁架：由二力杆铰结组成，杆件都是直杆由二力杆铰结组成，杆件都是直杆 结点：铰结点结点：铰结点 内力：轴力（结点处内力：轴力（结点处受力）受力）组合结构：组合结构：由桁架和梁或桁架与刚架由桁架和梁或桁架与刚架组合在一起的结构，其中有些杆件只承组合在一起的结构，其中有些杆件只承受轴向力，另一些杆件则同时还承受弯受轴向力，另一些杆件则同时还
