1、初三年级 数学例说一次函数与反比例函数综合题例说一次函数与反比例函数综合题知识概要关键内容典型例题一、知识概要一、知识概要一次函数表达式图象与性质与方程不等式的联系概念综合问题反比例函数表达式图象与性质与方程不等式的联系概念二、关键内容二、关键内容2.根据一次函数、反比例函数表达式中字母系数的符号或数量关系确定函数图象的特征（以数解形）.3.根据函数图象的特征，解决一次函数与反比例函数的综合问题（以形助数）.1.根据条件求一次函数、反比例函数的表达式，或根据函数表达式求相应点的坐标.数形结合分类讨论方程思想三、典型例题例1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b(k0)与双曲线 y=
2、的一个交点为P(2，m)，与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B（1）求 m 的值；（2）若 PA=2AB，求 k 的值8x例1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b(k0)与双曲线 y=的一个交点为P(2，m)，与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B（1）求 m 的值；8x分析：将点P(2，m)代入双曲线 y=，即可求出 m 的值.8x解：双曲线 y=过点P(2，m)，m=4.8x82例1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b(k0)与双曲线 y=的一个交点为P(2，4)，与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B（2）若 PA=2AB，求 k 的值8x待定系数法分析：将点P(
3、2，4)代入直线 y=kx+b,可得 4=2k+b 画图分析例1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b(k0)与双曲线 y=的一个交点为P(2，4)，与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B（2）若 PA=2AB，求 k 的值8xk 0k 0 时，若 PA=2ABBA当 k 0 时BA分析：当 k 0，直线经过一、二、三象限时，若 PA=2AB，PE过点P作PEx轴于点E，则PE=4，易证ABO APE，则B点坐标为(0，2).12BOABPEAP将点B(0，2)代入直线 y=kx+b,可得 b=2 ，再由 4=2k+b 即可求得 k=1.BAPF过点P作PFy轴于点F，则OF=4，则
4、B点坐标为(0，2).12BOBFOF将点B(0，2)代入直线 y=kx+b,可得 b=2 ，再由 4=2k+b 即可求得 k=1.分析：当 k 0，直线经过一、二、三象限时，若 PA=2AB，易证ABO PBF，BAPG过点P作PGx轴于点G，则PG=4，易证ABO APG，则B点坐标为(0，-2).12BOABPGAP将点B(0，-2)代入直线 y=kx+b,可得 b=-2 ，再由 4=2k+b 即可求得 k=3.分析：当 k 0，直线经过一、三、四象限时，若 PA=2AB，BAP过点P作PHy轴于点H，则OH=4，PH OA，则B点坐标为(0，-2).12BOBAOHAPH分析：当 k
5、0，直线经过一、三、四象限时，若 PA=2AB，BA分析：当 k 0，直线经过一、二、四象限时，由图可知 PA 0，直线经过一、二、三象限时，如图PE过点P作PEx轴于点E，可得ABO APE.，则B点坐标为(0，2).12BOABPEAP由直线 y=kx+b经过点P、点B，可得 k=1.PE OB，PE=4.过点P作PGx轴于点G，可得ABO APG.，则B点坐标为(0，-2).12BOABPGAP由直线 y=kx+b经过点P、点B，可得 k=3.PG OB，PG=4.BAPG解：当 k 0，直线经过一、三、四象限时，如图不合题意.综上所述，k=1或k=3.BAP解：当 k 0)的图象经过点
6、A(3，1)，k=3.kyx例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 (x0)的图象与直线 y=x2交于点A(3，1)（2）已知点P(n，n)(n0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 (x0)的图象于点N当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；3yx3yx点P(1，1)xyO112-1-2P3MN23 yM=1.分析：PM x轴，P(1，1)，点M在直线y=x2上，xM=3，则PM=2.xyO112-1-2P3MN23 xN=1.分析：PN y轴，P(1，1)，点N在函数 (x0)的图 象上，yN=3，则PN=2.3yx PM=
7、PN.xyO112-1-2P3MN23 yM=1.PM x轴，P(1，1)，点M在直线y=x2上，xM=3，则PM=2.解：PM=PN，理由如下xyO112-1-2P3MN23 xN=1.PN y轴，P(1，1)，点N在函数 (x0)的图 象上，yN=3，则PN=2.3yx PM=PN.例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 (x0)的图象与直线 y=x2交于点A(3，1)（2）已知点P(n，n)(n0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 (x0)的图象于点N若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围3yx3yxxyO112-1-2P3
8、MN23分析：点P(n，n)(n0)的特征.若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围分析：点P(n，n)(n0)在函数 y=x(x 0)的图象上运动.由可知，当n=1时，PN=PM.n10n1xyO112-1-2P3MN23若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围分析：若0nPM.01，求出当PN=2时，n的值.xyO112-1-2P3MP123若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围分析：当n=1时，M(3,1)，此时点M也在函数 的图象上，过点M作MP1 y轴，交函数y=x的图象于点P1.可得PM P1为等腰直角三角形.3yx 当n=3 时，PN=2=PM.(N)x
9、yO112-1-2P3MP123若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围你能从点的坐标与线段的关系出发，构造方程解决吗？(N)xyO112-1-23NP23若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围 xN=n.分析：PN y轴，P(n，n)，点N在函数 (x0)的图 象上，yN=，由图可知 PN=2.3yx3n3nnxyO112-1-2P3MP123若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围 当n3 时，符合题意综上可得，若PNPM，则0 0)的图象G经过点A(4，1)，直线l:y=x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C.(1)求k的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点
10、.记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W.当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数；若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.kyx14例3.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 (x 0)的图象G经过点A(4，1)，直线l:y=x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C.(1)求k的值；kyx14分析：将点A(4，1)代入函数 ，即可求出 k 的值.解：函数 (x 0)的图象G经过点A(4，1)，k=4.kyxkyx例3.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 (x 0)的图象G经过点A(4，1)，直线l:y=x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C.(
11、2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W.当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数；4yx14 y=x-114CB4-11AxyO1记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W.当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数；答：区域W内的整点个数为3个.y=x-114C4-11AxyO1 y=x-1145若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.分析：若b 0，当直线y=x+b 经过点(1，2)时，b=.1474 .71144b当直线y=x+b 经过点(1，3)时，b=.141144
12、-11AxyO15若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.综上所述：514b 或 .71144b考查的知识要素：1.一次函数、反比函数的概念、图象及性质；2.待定系数法；3.数形结合、分类讨论.课堂小结2.分类讨论-运动过程完整，不重不漏；3.在解决综合题时，要关注每一小问之间的关联.1.数形结合-点的坐标与线段之间的转化；课后作业：在平面直角坐标系xOy中,A(-3,2),B(0,1),将线段AB沿x轴的正方向平移n(n0)个单位,得到线段 ,且点 ,恰好都落在反比例函数 的图象上.(1)用含n的代数式表示点 ,的坐标；(2)求n的值和反比例函数 的表达式；(3)点C为反比例函数 图象上的一个动点,直线 与x轴交于点D,若 ,请直接写出点C的坐标.A B AB(0)mymxAB(0)mymx(0)mymxCA2CDA D
