1、 第三章 图形的相似复习 学习目标：学习目标：1.相似的图形。相似的图形。2.线段的比线段的比 3.相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定 4.相似多边形相似多边形 5.图形的放大与缩小，位似变换图形的放大与缩小，位似变换2022-11-20图形的相似图形的相似 了解比例的基本性质，了解线段的比了解比例的基本性质，了解线段的比1 1成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。黄金分割。通过具体实例认识图形的相似，探索相通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面
2、积的比等于对应边比等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。的平方。了解两个三角形相似的概念，探索两个了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。三角形相似的条件。了解图形的位似，能够利用位似将一了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。个图形放大或缩小。通过典型实例观察和认识现实生活中通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题实际问题(如利用相似测量旗杆的高度如利用相似测量旗杆的高度)。其中其中a,ba,b分别叫做这个分别叫做这个线段比线段比的的前项前项和和后项后项.一、线段的比一、线段的比 l1.1.如果
3、选用一个长度单位量得如果选用一个长度单位量得两条线段两条线段a a、b b 的长度分别为的长度分别为m m、n n，那么，那么两条线段的比为两条线段的比为a a：b=mb=m：n n或或nmba.,bkakbaknm或那么表示成比值如果把2.2.在四条线段中在四条线段中,如果其中两条线段的如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比比等于另外两条线段的比,那么这四条那么这四条线段叫做线段叫做成比例线段成比例线段,简称简称比例线段比例线段 四条线段四条线段a,b,c,da,b,c,d成比例成比例,记作记作ab=cd.ab=cd.或或 其中其中a,da,d为为比例外项比例外项;b,c;b,c为为比例内
4、比例内项项.d d称为称为a,b,ca,b,c的的第四比例项第四比例项.dcba特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同,即即ab=bc(ab=bc(或表示为或表示为b b2 2=ac=ac),),则线段则线段b b叫叫a,ca,c的的比例中项比例中项3.3.比例基本性质比例基本性质.,ddcbbadcba那么如果比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰:横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘.,nmfedcba如果5.5.等比性质等比性质:.bcaddcba那么如果.,dcbabcad那么如果.0nfd
5、bbanfdbmeca那么4.4.合比性质合比性质:l6.6.黄金分割黄金分割如图如图4-5,4-5,点点C C把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段ACAC和和BC,BC,如果如果 那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄黄金分割金分割,点点C C叫做线段叫做线段ABAB的的黄金分割点黄金分割点,ACAC与与ABAB的比的比 (或或BCBC与与ACAC的比的比 )称为称为黄金比黄金比.,ACBCABACA AB BC CABACACBC.0618215ACBCABAC黄金比l1.1.形状相同的图形形状相同的图形l表象：大小不等，表象：大小不等，形状相同形状相同.l实质：各实质：各对
6、应角对应角相等、各相等、各对应边对应边成比例成比例.l2.2.相似多边形相似多边形l各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做叫做相似多边形相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做相相似比似比(相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).l3.3.相似多边形性质：相似多边形性质：l相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.l相似多边形周长的比相似多边形周长的比等于相似比等于相似比.二、二、l相似多边形相似多边形对应对角线对应对角线的比的比等于相似比等于相似比.w相似多边形相似多边形对应三角形对应三角
7、形相似相似,且相似比等于相似多边形的且相似比等于相似多边形的相似相似比比.w相似多边形相似多边形对应三角形面积对应三角形面积的比的比等于相似多边形的等于相似多边形的相似比的相似比的平方平方.w相似多边形面积的比相似多边形面积的比等于相等于相似比的平方似比的平方.l4.4.多边多边形与三角形形与三角形l三角形是边数最少的多边形三角形是边数最少的多边形.l相似三角形可类比相似多边形来学习相似三角形可类比相似多边形来学习.l5.5.相似三角形相似三角形l三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做角形叫做相似三角形相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似三角
8、形对应边的比叫做做相似比相似比(相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).).l6.6.相似三角形性质：相似三角形性质：l相似三角形的相似三角形的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.l相似三角形对应相似三角形对应中线中线的比的比,对应角对应角平分线平分线的比的比，对应，对应高高的比的比,对应对应周长周长的比都的比都等于相似比等于相似比.l相似三角形面积的比相似三角形面积的比等于相似比的平方等于相似比的平方.l7.7.相似相似三角形与三角形与全等全等三角形的三角形的关系关系：l相似比等于相似比等于1 1的两个三角形全等的两个三角形全等.l若若ADEADEABC,ABC,则则lD
9、AE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.DAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.BCDEACAEABADl8.8.两个极具代表性的两个极具代表性的益智益智“模型模型”：“A A”型型和和“X X”型相似三角形型相似三角形.ABCDEEDCBAl1.1.定理定理 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似.l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或或其延长线其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似;l如图如图:如果如果DEBC,DEBC,那么那么A A三、三、三角形相似的判定方法三角形相似
10、的判定方法;ECAEDBAD那么l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或或其延长线其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似;l如图如图:如果如果DEBC,DEBC,那么那么A Al3.3.推论推论2 2 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或或其延长线其延长线),),所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.如果如果DEBCDEBC，;ACAEABAD或;AEECADDB或.ACECABDB或ABCDEADEBCEDCBAl4.4.定理定理 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的
11、两个三角形相似.l5.5.定理定理 两边对应成比例两边对应成比例,且夹角相等的两个三且夹角相等的两个三角形相似角形相似;l6.6.定理定理 斜边直角边对应成比例的两个直角三斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似角形相似.l7.7.模型模型“双垂直双垂直”三角形三角形;2ABADAC;2ABBDBC;2DBADCD.CDABBCACABCDlACDACDCBDCBDABC.ABC.l认识结论认识结论:A=DCB;B=ACD;:A=DCB;B=ACD;l直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形与原三角形相似.三、三、相
12、似图形的特例图形的位似相似图形的特例图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形那么这样的两个图形叫做叫做位似图形位似图形,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心,这时的相似这时的相似比又称为比又称为位似比位似比.l2.2.性质：性质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比.DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似图形如何作位似图形(放大放大).l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像.l4.4.如何作位似图形如何作位似图形(缩小缩小).OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFPl6.6.如图如图,添加一个条件添加一个条件,使则使则ABCABCAED,AED,则这则这条件可以是条件可以是 .l7.7.如图所示如图所示,在在ABCABC中中,底边底边BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四边形四边形PQRSPQRS是矩形形是矩形形.w(1)(1)ASRASR与与ABCABC相似吗相似吗?为什么为什么?w(2)(2)求矩形求矩形PQRSPQRS的边长的边长.AEDCBABCSREPDQ
