1、ARMA谱估计与系统辨识-现代信号处理讲义v样本样本v直接法直接法v间接法间接法10()()NjnTNnXx n e(0),(1),(-1)xxx N假设已零均值化，假设已零均值化，2kN 周期函数周期函数21()()xNPXN101()()()NxnR kx n x n kN10()()NjkTxxnPR k e 周期图法有偏估计,平滑性差加窗函数功率谱曲线平滑,但分辨率下降2101()()()NjnTxnPx n c n eN数据窗10()()()NjkTxxkPRk w k e谱窗要提高分辨率，使用参数化的谱估计！经典谱估计：使用FFT的谱估计现代谱估计：参数化谱估计v平稳平稳ARMA过
2、程过程 离散随机过程离散随机过程 服从线性差分方程：服从线性差分方程：为离散白噪声，则称为离散白噪声，则称 为为ARMA过程。过程。自回归自回归(autoregressive)滑动平均滑动平均(moving average)过程过程()e n()x n()x n11()(1)()()(1)()pqx na x na x npe nbe nb e nq11()()()()pqijijx na x n ie nb e njARAR阶数阶数ARAR参数参数MAMA阶数阶数MAMA参数参数2()(0,)e nN()()jz x nx nj后向移位算子：11()1ppA za za z 其中：00()(
3、)pqijija x nib e nj()()()()A z x nB z e n11()1qqB zb zb z()()()nknkx ne k he nhARMA模型描述的线性时不变（模型描述的线性时不变（LTI）系统系统传递函数：传递函数：()()ie nx nh ()()()iiiB zH zh zA z满足ARMA模型的条件：(1)冲激响应系数必须绝对可求和：(系统稳定)(2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一)(3)系统是物理可实现的(因果系统)极点的作用：决定系统的稳定性和因果性 即极点不在单位圆上u因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若 即因果系统要求极点在单位圆以内
4、，A(z)的根|z|阈值的最小整数阈值的最小整数k定为矩阵定为矩阵A的的“有效秩有效秩”。准则二：使用归一化奇异值准则二：使用归一化奇异值11111kkkk，且 某个很小的阈值某个很小的阈值(0.05)的最小整数的最小整数k定为有效秩。定为有效秩。kk最终预报误差方法最终预报误差方法(FPE,Finite Prediction Error)：FPE准则选择使准则选择使FPE(p,q)最小，作为最小，作为AR模型的阶数。模型的阶数。21(,)1wpNpqFPE p qNpq20()pwpixia R qiAIC(Akaikes Information Criterion)2(,)ln2()wpA
5、IC p qpqN2ln(,)ln()wpNBIC p qpqN“信息量准则信息量准则”遵循遵循“吝啬原则吝啬原则”vAR阶数确定的信息量准则法阶数确定的信息量准则法11(1)()(1)0(2)(1)(2)0 ()(1)()0exexexeexexexeepxexexeeR qR qR qpaR qR qR qpaR qMR qMR qMp 若若 ，则，则,eeeeeqq pp qpqp Mprank()peRv扩展阶扩展阶MYW方程方程0eeR a选选 ,eeeqpp MpvAR参数估计的总体最小二乘法参数估计的总体最小二乘法Axb总体最小二乘总体最小二乘TLS:Total Least Sq
6、uares 1 b A0 x -b A+-e Ez=0B+D z=0或扰动矩阵扰动矩阵思想：思想：寻求一个解寻求一个解z，使得使得1/21211minmnijijd1|2,1 ()|21TTTTTTJJ22Bzz B BzB Bz0z0zzBzz B Bzz z1=，2由只有平凡的零解。求解约束优化1 min=2约束条件 v定义代价函数 Lagrange 1 (1)2()RayleighTTTTTTTTJJzz B Bzz zzB Bzz0zzz B Bzz z使用乘子法，定义目标函数）则 左乘后，得 这是个典型的商问题min121111 =/,1,TTniiv vvxvvinnpn zB B
7、xBvxB因此，是矩阵的与最小特征值对应的特征向量,即矩阵 的与最小奇异值对应的右奇异向量,。从而，得解向量的元素为 这种解包含个参数，与矩阵 的秩相矛盾。方法方法2：只包含：只包含p个参数（主要因素）个参数（主要因素）TB=UVBz=0(1:1)0(2:2)0 (1:1)0ppnp n BaBaBa ：用秩为：用秩为p的矩阵对的矩阵对B的最佳逼近的最佳逼近 ()pBTpB=U V2211diag,0,0ppp111,eTpppxxxxz令令 ，则，则11,Tpxxa构造代价函数构造代价函数1111()()(:)(:)(:)(:)TnpinpTTiTpfi pii pii pii pi aBa
8、BaaBBaa Sa1()211()pnppiiTjjjjji Svv(,),(1,),(,)Tijv i j v ijv ip jv()0f aa()1100p Sae0,0,1,0,0Tie标准向量由于存在误差由于存在误差()()(1,1)(1,1)ppixiSSAR定阶与定阶与AR参数估计的参数估计的SVD-TLS算法：算法：()pS步骤步骤1：构造扩展阶相关函数：构造扩展阶相关函数 ，求，求SVD，存储存储 和和eR2iiV(1)()(1)(2)(1)(2)R()(1)()eeeeeeeR pR pRR pR pRR pMR pMR M步骤步骤2：确定：确定 的有效秩的有效秩p，给出给出AR阶数估计值阶数估计值eR步骤步骤3：计算：计算步骤步骤4：计算：计算()()(1,1)(1,1)ppixiSS讲义下载地址vhttp:/ 5 个文件（第1，2章，第 3 章3.1-3.3)
