1、1.2.1充分条件与必要条件明目标、知重点1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpD/q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件探究点一充分条件、必要条件思考1判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：(1)若xa2b2，则x2ab；(2)若|x|1，则x1.答(1)为真命题，(2)为假命题命题(1)中，有xa2b2，必有x2
2、ab，即xa2b2x2ab，所以“xa2b2”是“x2ab”的充分条件，“x2ab”是“xa2b2”的必要条件命题(2)中，|x|1，x1或1.小结一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件思考2结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解答充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了必要条件可从命题等价性理解：pq等价于綈q綈p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件思考3判断命题“
3、若x1，则 |x|1”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释答“x1”是“|x|1”的充分条件，“|x|1”是“x1”的必要条件两个条件“x1”和“|x|1”都是变量的取值，和集合有关将“x1”对应集合记作A，“|x|1”对应集合记作B.显然AB.思考4结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？答一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断(2)等价法：“pq”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立这里要注意“原命题逆否命题”、“否命题逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定
4、式)的命题一般应用等价法(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若pq，则p是q的充分条件；若pq，则p是q的必要条件；若pq，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件例1下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x1，则x24x30；(2)若f(x)x，则f(x)为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若xy，则x2y2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(6)若ab，则acbc.解(1)因为命题“若x1，则x2 4x30”是真命题，而命题“
5、若x2 4x30，则x1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；(2)pq，而qD/p，p是q的充分不必要条件(3)pD/q，而qp，p是q的必要不充分条件(4)pq，而qD/p，p是q的充分不必要条件(5)pq，而qD/p，p是q的充分不必要条件(6)pD/q，而qD/p，p是q的既不充分也不必要条件反思与感悟本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.跟踪训练1指出下列
6、命题中，p是q的什么条件？(1)p：x22x1，q：x；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：sin sin ，q：.解(1)x22x1D/x，xx22x1，p是q的必要不充分条件(2)a2b20ab0ab0，ab0D/a2b20，p是q的充分不必要条件(3)当x1或x2成立时，可得x1成立，反过来，当x1成立时，可以推出x1或x2，p既是q的充分条件也是q的必要条件(4)由sin sin 不能推出，反过来由也不能推出sin sin ，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件探究点二充分条件、必要条件与集合的关系思考设集合Ax|x满足条件p，集合Bx|x满
7、足条件q，若AB，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答p是q的充分条件，q是p的必要条件例2是否存在实数p，使“4xp0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由解由x2x20，解得x2或x2或x1，由4xp0，得Bx|x由题意得BA，即1，即p4，此时x0，当p4时，“4xp0”的充分条件反思与感悟(1)设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q，则pq可得AB；qp可得BA；pq可得AB，若p是q的充分不必要条件，则AB.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值跟踪训练2已知p：3xm0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的
8、取值范围解由3xm0得，x.p：Ax|x0得，x3.q：Bx|x3pq而qD/p，AB，1，m3，即m的取值范围是3，)1a0，b0的一个必要条件为()Aab0 C.1 D.1答案A解析ab0D/a0，b0，而a0，b0abb”是“a|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由a|b|ab，而ab推不出a|b|.4若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围解由(x1)(x2)0可得x2或x1，由已知条件，知x|x2或x1m1.呈重点、现规律1充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断(2)等价法：“pq”表示p等价于q
9、，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充分必要条件2根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解一、基础过关1“2x1或x1”的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C既不是充分条件，也不是必要条件D既是充分条件，也是必要条件答案C解析2x1或x1或x1D/2x1，“2x1或x1”的
10、既不充分条件，也不必要条件2“ab0”是“直线axbyc0与两坐标轴都相交”的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C既是充分条件，也是必要条件D既不是充分条件，也不是必要条件答案C解析ab0，即，此时直线axbyc0与两坐标轴都相交；又当axbyc0与两坐标轴都相交时，a0且b0.3给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析q綈pp綈q.4已知p：，q：cos cos ，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析qp成立，但
11、pD/q，p是q的必要不充分条件5设a，b为实数，则“0ab1”是“a”的_条件答案充分而不必要解析0ab1，a，b同号，且ab0，b0时，a；当a0，b.“0ab1”是“a”的充分条件而取a1，b1，显然有a，但不能推出0ab1，“0ab1”是“a”的充分而不必要条件6设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的_条件答案必要而不充分解析因为0x，所以0sin x1.由xsin x1知xsin2xsin x1，因此必要性成立由xsin2x1得xsin x1，因此充分性不成立7下列各题中，p是q的什么条件？说明理由(1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC为钝角三角形；(2)p：ABC
12、有两个角相等，q：ABC是等边三角形解(1)ABC中，b2a2c2，cos B0，B为钝角，即ABC为钝角三角形，反之，若ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b22Cx2y22 Dxy1答案B解析对于选项A，当x1，y1时，满足xy2，但命题不成立；对于选项C，D，当x2，y3时，满足x2y22，xy1，但命题不成立，也不符合题意9设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析x2y24表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|2且|y|2，而x2且y2时，x2y24，故A正确10不等式(ax
13、)(1x)0成立的一个充分而不必要条件是2x2解析根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(2，1)x|(ax)(1x)2.11下列各题中，p是q的什么条件？说明理由(1)p：a2b20；q：ab0.(2)p：p2或p2；q：方程x2pxp30有实根(3)p：圆x2y2r2与直线axbyc0相切；q：c2(a2b2)r2.解(1)因为a2b20ab0，ab0D/a2b20，所以p是q的充分不必要条件(2)当p2或p2时，如p3，则方程x23x60无实根，而x2pxp30有实根时，0，得p2或p6，可推出p2或p2.所以p是q的必要不充分条件(3)若圆x2y2r2与直线axbyc0相切，圆
14、心到直线axbyc0的距离等于r，即r，从而c2(a2b2)r2，反之，也成立所以p是q的充分且必要条件12已知p：2x10，q：x22x1m20(m0)，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解p：2x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0(m0)1mx1m (m0)因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或，解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0a和条件q：2x23x10，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.解依题意a0.由条件p：|x1|a得x1a，x1a.由条件q：2x23x10，得x1.要使p是q
15、的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或解得a.令a1，则p：x2，此时必有x1.即pq，反之不成立a1.1.2.2充要条件明目标、知重点1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假充要条件：一般地，如果既有pq，又有qp就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与 q互为充要条件探究点一充要条件的判断思考1已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？答p是q的充分条件
16、，p是q的必要条件小结pq，故p是q的充分条件；又qp，故p是q的必要条件此时，我们说，p是q的充分必要条件思考2说说你对充要条件的理解答我们可以从以下三个方面理解充要条件：(1)若pq，则p、q互为充要条件；(2)p是q的充要条件意味着“p成立，则q必成立，p不成立，则q必不成立”(3)“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”“q当且仅当p”等例1下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b0，q：函数f(x)ax2bxc是偶函数；(2)p：x0，y0，q：xy0；(3)p：ab，q：acbc；(4)p：x5，q：x10；(5)p：ab，q：a2b2.分析要判断p是q的充要条件，就要看p能
17、否推出q，并且看q能否推出p.解命题(1)和(3)中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；命题(2)中，pq，但qD/p，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pD/q，但qp，故p不是q的充要条件；命题(5)中，pD/q，且qD/p，故p不是q的充要条件反思与感悟判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Da2b20答案D解析a2b20，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.(2)x的一个必要不充分条件是_；xy0的一个充分不必要条件是_答案x0
18、x0且y0(答案不惟一)(3)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_答案a1解析函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则OPr.所以，除点P外，直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.因此，直线l与O相切(2)必要性(qp)：若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此，dOPr.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.跟踪训练2求关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条
19、件解当a0时，解得x1，满足条件；当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则必须满足02 013”是“x22 012”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由于“x22 013”时，一定有“x22 012”，反之不成立，所以“x22 013”是“x22 012”的充分不必要条件2设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析an为等比数列，ana1qn1，由a1a2a3，得a1a1q0，q1或a10,0q”是“2x
20、2x10”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析解不等式后直接判断不等式2x2x10的解集为，故由x2x2x10，但2x2x10D/x，故选A.4平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a、b，a，b，a，bD存在两条异面直线a、b，a，b，a，b答案D解析当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面与相交，而得不出，它们均不能成为的充分条件只有D符合5设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案
21、C解析由|a|b|cosa，b|a|b|，则有cosa，b1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a与 b同向或反向，所以a，b0或，所以|ab|a|b|.6在ABC中，“ABC为钝角三角形”是“0”的_条件答案必要不充分解析当ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有0；但当0，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析ABxR|x2，CxR|x2，ABC，“xAB”是“xC”的充分必要条件9下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中，可以为x21的充分条件的所有序号为_答案解析由
22、于x21即1x1，显然不能使1x1一定成立，满足题意10给出下列命题：命题“若b24acb0，则0”的逆否命题；“若m1，则mx22(m1)x(m3)0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为_答案解析否命题：若b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有实根，真命题；逆命题：若ABC为等边三角形，则ABBCCA，真命题；因为命题“若ab0，则0”是真命题，故其逆否命题为真；逆命题：若mx22(m1)x(m3)0的解集为R，则m1，假命题，因为得m.所以应填.11已知p：x1，q：(xa)(xa1)0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_答案0，解析(xa)(xa1)0得xa1或x
23、a，所以綈q：axa1，而p是綈q的充分不必要条件，所以有 或，得0a.12求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)ac0.方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0，综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，等式成立当xy0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，等式成立当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，等式成立总之，当xy0时，|xy|x|y|成立必要性：若|xy|x|y|且x，yR，得|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|，|xy|xy，xy0.综上可知，“xy0”是“等式|xy|x|y|成立”的充要条件17 / 17
