1、1.5归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n1正确，就能推出命题对n也正确，则命题对所有自然数都正确通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明定理1.19如果某个命题，它的叙述含有自然数，如果命题对n=1是正确的，而且假定如果命题对n的正确性就能推出命题对n+1也正确，则命题对一切
2、自然数都成立（第一数学归纳法）证明设是使所讨论的例题正确的自然数集合，则(1) 设，则命题对n正确，这时命题对也正确，即(2) 所以由归纳公理，含有所有自然数，即命题对所有自然数都成立下面我们给出一个应用数学归纳法的命题例求证证明(1)当n=1时，有所以n=1，公式正确(2)假设当k=n时，公式正确，即那么当k=n时，有所以公式对n+1也正确在利用数学归纳法证明某些命题时，证明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第二数学归纳法在叙述第二归纳法以前，我们先证明几个与自然数有关的命题命题若，则证明因为所以所以命题是自然数中最小的一个证明若，则有前元b，
3、所以命题3 若，则（即数与是邻接的两个数，中间没有其他自然数，不存在b，使得）证明若,则因为，所以，即由上述有关自然数大小的命题，我们得出下面定理，有时也称为最小数原理定理1.20自然数的任何非空集合含有一个最小数，即存在一个数，使得对集合中任意数b，均有证明 设M是这样的集合：对于M中任意元素，对A中任意元素，均有则M是非空集合因为，由归纳公理(4)知，一定存在一个元素但，即，否则由得，这显然不可能现在我们证明因为若，则中任意元素所以，与矛盾，所以m即为中最小元素上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第二数学归纳法（第二数学归纳法）定理1.
4、21对于一个与自然数有关的命题，若(1)当n=时命题正确；(2)假设命题T对正确，就能推出命题T对正确则命题T对一切自然数正确证明如果命题不是对所有自然数都成立，那么使命题不成立的自然数集合就是非空集合，由定理1.20，中含有一个最小数k，且（k=1命题正确），所以对一切,命题T成立，又由(2)推出命题T对k正确结论矛盾下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法而不能应用第一归纳法解题的例子例已知数列，有且求证证明对n=1，有所以命题对n=1正确假设命题对正确，则所以命题对n=k正确由第二数学归纳法本题得证例已知任意自然数均有（这里）求证证明(1)当n=1时，由，得所以命题对n=1正确(2)假设对
5、命题正确，这时，当n=k+1时，(1)但是(2)又因为归纳假设对命题正确，所以所以由(1)和(2)式得消去，得解得舍去）所以命题对n=k+1也正确上边的两个例子，实际上例命题归结到n-1和n-2，而例则需要归结到1,2,k，由此可见，第二数学归纳法的作用是不能由第一归纳法所替代的现在我们继续讲数学归纳法当然，归纳并一定从n=1开始，例如例数列的例子，也可以从某数k开始数学归纳法还有许多变形，其中著名的有跳跃归纳法、双归纳法、反归纳法以及跷跷板归纳法等，下面我们就逐个介绍这些归纳法跳跃归纳法若一个命题对自然数,都是正确的；如果由假定命题对自然数k正确，就能推出命题对自然数正确则命题对一切自然数都
6、正确证明因为任意自然数由于命题对一切中的r都正确，所以命题对都正确，因而对一切n命题都正确下面我们给出一个应用跳跃归纳法的一个例子例4求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n(n)分邮资证明显然当n=8,n=9,n=10时，可用3分和5分邮票构成上面邮资（n=8时，用一个3分邮票和一个5分邮票，n=9时，用3个3分邮票，n=10时，用2个5分邮票）下面假定k=n时命题正确，这时对于k=n+3，命题也正确，因为n分可用3分与5分邮票构成，再加上一个3分邮票，就使分邮资可用3分与5分邮票构成由跳跃归纳法知命题对一切n都成立下面我们介绍双归纳法，所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立的自然数对(m,n),
7、而不是一个单独的自然数n双归纳法若命题与两个独立的自然数对m与n有关，(1)若命题对m=1与n=1是正确的；(2)若从命题对自然数对（m,n）正确就能推出该命题对自然数对（m+1,n）正确，和对自然数对（m,n+1）也正确则命题对一切自然数对（m,n）都正确关于双归纳法的合理性证明我们不予说明，只给出一个例子例求证对任意自然数m与n均有证明(1)当时，命题显然正确，即(2)设命题对自然数对m与n正确，即这时即命题对数对（m+1,n）正确；另一方面即命题对数对(m,n+1)也正确，由双归纳法知，命题对一切自然数对(m,n)都成立反归纳法若一个与自然数有关的命题，如果(1)命题对无穷多个自然数成立
8、；(2)假设命题对n=k正确，就能推出命题对n=k-1正确则命题对一切自然数都成立；上述归纳法称为反归纳法，它的合理性我们做如下简短说明：设是使命题不正确的自然数，如果是非空集合，则中存在最小数m，使得命题对k=m不正确；由于命题对无穷多个自然数正确，所以存在一个，且命题T对正确；由于命题T对m不正确，所以命题对也不正确，否则由命题T对正确就推出命题T对m正确矛盾！这样，命题对m+2也不正确，经过次递推后，可得命题对也不正确这与已知矛盾，所以是空集合反归纳法又称倒推归纳法，法国数学家柯西（1789-1857）首次用它证明了n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值 例6 求证n个正实数的算
9、术平均值大于或等于这n个数的几何平均值，即证明 当n=2时，因此命题对n=2正确当n=4时，因此命题对n=4正确同理可推出命题对n=23=8，n=24,，n=2s都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立设命题对nk正确，令则（容易证明上述是一个恒等式）由归纳假设命题对nk正确，所以所以即命题对n =k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立 由于上述不等式是著名不等式，我们再给出几种证明：前已证明，命题对n=2m时正确，设nm，令这时我们有即命题对n2m正确利用数学归纳法证明不妨设n个数为，显然当n=1时命题正确设命题对正确，令则 因为，所以所以命题对n=k+1正确，由
10、第一归纳法知，命题对一切自然数成立另一个有趣的证明是由马克罗林给出的，我们知道，若保持和不变，以分别代替和，这时两个数的和仍然是s，但两个数的积却增加了，即实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，只有当两个数相等时才有等号成立现在我们变动诸数，但保持它们的和不变，这时乘积必然在时取极大值因为若，用分别代替与则仍然不变，但它们的乘积却增加了而当时，所以n个数的算术平均值大于等于几何平均值下面我们给出应用上述不等式的例子例 在体积一定的圆柱形中，求其中表面积最小的一个（即在容积一定罐头中，求表面积最小的一个）解 设圆柱的高为x，底圆半径为y，体积为常数，表面积为，则其中为常数，欲求的极小值已知，所
11、以即显然只有当时，取最小值即当x=2y时，值最小例 求证在所有具有相同面积的凸四边形中，正方形的周长最短证明 用abcd表示四边形的四条边，为a与b的夹角，为c与d的夹角，如图用表示四边形的面积，则由（2）式得 由（1）式得其中 再利用半角公式，得所以=如令四边形周长，得因为，所以要使p最小（A为常数），只有当上式取等号时即当，且，这样的四边形只能是正方形最后，我们给出跷跷板归纳法有两个与自然数有关的命题An与Bn，若(1)A1成立；(2)假设Ak成立，就推出Bk成立，假设Bk成立就推出Ak+1成立则对一切自然数n, An与Bn都成立A1 B1A2 B2Ak BkAk+1这里我们只给出一个例子说明上述归纳法例已知求证证明令，(1)当n=1时，所以A1成立(2)所以A2成立设Ak成立，则即k成立若k成立，则即Ak+1成立由跷跷板归纳法知，一切An和Bn都成立练习1.5(1)用数学归纳法证明(2)求证(3)已知，且，求证
