1、1.3.1.二项式定理第一课时：二项式定理及通项公式教学目标：1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式；2会利用二项展开式及通项公式解决有关问题教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学过程：【复习引入】；.【讲解新课】1探研：展开式是什么？（1）展开后有哪些项？各项是如何形成的？的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：，；（2）各项系数是什么？展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，2二项式定理：
2、（1）的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：，（2）展开式各项的系数：每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式；（3）它有项，各项的系数叫二项式系数；（4）叫二项展开式的通项，用表示，即通项（5）二项式定理中，设，则.【讲解范例】例1 展开解：例2 （1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数.解：（1）的展开式的第4项是，所以展开式的第4项的系数是280.（2）的展开式是通项是根据题意，得，.因此，的系数是.例3 求的展开
3、式中的倒数第项解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，例4 求（1），（2）的展开式中的第项解：（1）；（2）点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同例5 （1）求的展开式常数项；（2）求的展开式的中间两项解：，（1）当时展开式是常数项，即常数项为；（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，【课堂练习】1.求的展开式的第3项.答案：2.求的展开式的第3项.答案：3.写出的展开式的第项.答案：4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.答案：展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数5.用二项式定理展开：（1）；（2）.答案：（1）；（2）6.化简：（1）；（2） 答案：
4、（1）；（2）.7展开式中的第项为，求答案：展开式中的第项为.8求展开式的中间项答案：展开式的中间项为.【总结提炼】二项式定理的探索思路:观察归纳猜想证明；二项式定理及通项公式的特点【课后作业】课本P109页习题104/第1，2，3，4【板书设计】（略）教学后记：第二课时：二项式定理极其通项公式的应用教学目标：1进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用； 2展开式中的第项的二项式系数与第项的系数是不同的概念教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学过程：【复习引入】1二项式定理及其特例：（1）；（2）；2二项展
5、开式的通项公式：【讲解范例】例1 （1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数解：（1）的展开式的第四项是，的展开式的第四项的系数是（2）的展开式的通项是，的系数，的二项式系数例2 求的展开式中的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开.解法一：，显然，上式中只有第四项中含的项，展开式中含的项的系数是解法二：展开式中含的项的系数是例3 已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含
6、项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解解：展开式中含的项为，即，展开式中含的项的系数为， ，当时，取最小值，但， 时，即项的系数最小，最小值为，此时例4 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意：，即，舍去） （，）（1）若是常数项，则，即，这不可能，展开式中没有常数项；（2）若是有理项，当且仅当为整数， ，即展开式中有三项有理项，分别是：，例5 规定，其中，是正整数，且，这是组合数（，是正整数，且）的一种推广.（1）求的值；（2）设，当为何值时，取得最小值？（3）组合数的两个性质：，是否都能推广到（是正整数
7、，）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.解：（1）（2）即当时，取得最小值.（3）性质不能推广，因为当或时，无意义；性质能够推广为：.证明：.所以.证毕！例6 已知的展开式中不含常数项(，)，求的值.解：将括号打开得到展开式中的三项的通项公式分别为，.由于不含常数项，则，.，；，；，.【课堂练习】1展开式中常数项是（ ）A.第4项 B. C. D.2解答：通项，由，常数项是，选（B）2展开式中的偶次项系数之和是（ ）A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024. 答案：选C.3展开式中有理项的项数是（ ）A.4 B.5 C.6 D.7解答：通项，当
8、0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）4设，则的值为（ ）A.1 B.16 C.-15 D.15 答案：C.5展开式中的中间两项为（ ）A. B. C. D. 答案：C.6在展开式中，的系数是 .答案：7 .答案：8. 的展开式中的有理项是展开式的第 项.答案：3，9，15，21.9展开式中各项系数绝对值之和是 .答案：展开式中各项系数系数绝对值之和实为展开式系数之和，故令，则所求和为.10展开式中系数最大的项是 答案：中的系数就是二项式系数，系数最大的项是.11.求的展开式中系数绝对值最大的项答案：设第项的系数绝对值最大，则，即，于是，即系数绝对值最大的项. .【总结提
9、炼】1三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；2求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性【课后作业】P110页习题10.4第5、6、7、9【板书设计】（略）教学后记：第三课时：二项式系数的性质教学目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力.教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用教学难点：二项式系数的性质及其对性质的
10、理解和应用教学过程：【复习引入】1二项式定理及其特例：（1）；（2）；2二项展开式的通项公式：3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 【讲解新课】1二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值，相对于的增减情况由决定，当时，二项式系数逐渐增大由对称性
11、知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则【讲解范例】例1 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，即，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知.例2 已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）当时，展开式右边为，当时，（2）令， 令， 得：， .（3）由展开式知：均为负，均为正，由（2）中+ 得：， ， 例3 求展开式中的系数解：，原式中实为这分子中的，则所求系数为例4 在的展开式中，求的系数
12、解：，在展开式中，常数项为1，含的项为，在展开式中，常数项为，含的项为展开式中含的项为 ，此展开式中的系数为240例5 已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意， 设第项为常数项，又 令，此所求常数项为180例6 已知,是正整数，且.(1)证明：(2)证明：.证明：对于，有,.同理.由于，对整数，有，所以即.（2）由二项式定理有由（1）知 ()，而所以，() ，又， 【课堂练习】（1）的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；答案：，；（2）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 答案：展开式中只有第六项的
13、二项式系数最大， ， ；（3），则（ ）AB.C.D. 答案：A（4）已知：，求：的值.【总结提炼】1性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.【课后作业】1求的近似值，使误差小于解：，展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，一般地当较小时2. 在的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？提示：，经过分析知，是偶数，不妨设（，），于是，是的倍数，于是，.，.共有个有理项.3.展开式中的
14、系数与的系数之和是展开式中( )A. 的系数B. 的系数C. 的系数D. 的系数4.设，则的反函数等于( )A.B.C.D.5.由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有( )A.50项B.17项C.16项D.15项【板书设计】（略）教学后记：第四课时：二项式通项、系数的灵活应用教学目标：能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题；教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学过程：【复习引入】1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式：3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对
15、的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4. 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.【讲解范例】例1 设，当时，求的值解：令得：，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系.题型变换 求的展开式中的的奇次项的系数和.解法一：因为各项展开之后的奇次项的系数和与偶次项的系数和相等，所以的奇次项的系数和.解法二：设分别令与，两式相减即得.例2 求证：证法一：倒序相加：设 又 ，由+得：，即证法二：左边各组合数的通项为， 题型变换：证明：.提示：例3 已知：的展开式中，各项系
16、数和比它的二项式系数和大992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，（1），展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，（2）设展开式中第项系数最大，则，即展开式中第项系数最大，例4 已知（），求证：当为偶数时，能被整除分析：由二项式定理逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式 ，为偶数，设（），（），当=时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除例5 若和（，且）的展开式中含项的系数相等，求实数的取值范围.解：和的展开式中含项的系数分别为和.，即.，.例6 已知，的展开式按的降幂排
17、列后第二项不大于第三项，求的取值范围.解：，即或.又，即，解得或.综上，得到.例7 若某一等差数列的首项为，公差为展开式中的常数项，为除以的余数，则此数列前多少项的和最大？并求这个最大值.解：，化简得，又，.于是，即数列的首项为.，余数为.；于是的展开式的通项公式为即，令，得到.常数项为，即公差为.此时，即，显然，当或时，取最大值.最大值为.例8 已知.求除以所得的余数.解：（1）将变形为余数为即.当为奇数时，余数；当为偶数时，余数.例9 将二项式（，且）展开.（1）设的系数为，求的值；（2）设，依次为展开式中连续四项的二项式系数.求证：，成等差数列.解：（1）容易求出的系数，则，即；（2）证
18、明：设，依次为，（，且）.则，同理可得：，.，成等差数列.例10 求证：当，时，.证明：当1，2时，不等式显然成立；当时，.综合上述，当，时，.例11 已知,是正整数，且.(1)证明：(2)证明：证明：对于，有=,.同理由于，对整数,有所以，即（2）由二项式定理有， 由（1）知 ，而=所以， ，又，.【课堂练习】1展开式中的系数为 ，各项系数之和为 2多项式（）的展开式中，的系数为 .3若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A. B. C. D.4在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）A.0 B. C. D.5求和：6求证：当且时，7求的展开式中系数最大的项.【
19、总结提炼】二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.【课后作业】1已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值.答案：2设求： 答案：； 3求值：答案：4设，试求的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和.答案：（1）；（2）偶次项系数和；奇次项系数和5.若的展开式前三项中的系数成等差数列，求展开式中系数最
20、大的项.答案：，或，最大项 ， .6.若展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，求的值.解：展开式的通项公式为.设含项的系数与含项的系数分别为与.则，于是，即亦即，化简.将代入得到，.【板书设计】（略） 教学后记：第五课时 “杨辉三角”与二项式系数的性质【复习引入】1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式：.3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.【讲解新课】1.二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.2二项式系数的性质：展
21、开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值，相对于的增减情况由决定，当时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则.【讲解范例】例1 在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：在展开式中，令，则，即，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知.例2 已知，
22、求：（1）； （2）； （3）.解：（1）当时，展开式右边为，当时，（2）令， 令， 得：， .（3）由展开式知：，均为负，均为正，由（2）中+ 得：， ， .例3 在的展开式中，求的系数.解：在展开式中，常数项为1，含的项为，在展开式中，常数项为，含的项为展开式中含的项为，此展开式中的系数为240.例4 已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展开式的常数项.解：依题意，.设第项为常数项，又 令，.此所求常数项为180.例5 设，当时，求的值解：令得：，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例6 在的展开式中,求:二项式系数的和；各项
23、系数的和；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；奇数项系数和与偶数项系数和；的奇次项系数和与的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数,故在,中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.解：设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为.令,各项系数和为.奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.设,令,得到(1),令,(或,)得(2)(1)+(2)得,奇数项的系数和为；(1)-(2)得,偶数项的系数和为.的奇次项系数和为；的偶次项系数和为.点评:要把“二项式系数的
24、和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例7 已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解：由题意,解得.的展开式中第6项的二项式系数最大,即.设第项的系数的绝对值最大,则,得,即 ,故系数的绝对值最大的是第4项.【课堂练习】1展开式中的系数为 ，各项系数之和为 2多项式（）的展开式中，的系数为 .3若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长
25、率最低应（ ）A.低于5 B.在56之间 C.在68之间 D.在8以上5在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）A.0 B. C. D.6求和：7求证：当且时，8求的展开式中系数最大的项.【课后小结】二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.【课后练习】1已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值.答案：2设求： 答案：； .
26、3求值：答案：.4设，试求的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和.答案：（1）；（2）所有偶次项的系数和为；所有奇次项的系数和为.【课后作业】1若对于任意实数，有，则的值为（B）A B C D2如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(B)A.3 B.5 C.6 D.10分析：，（）.3已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（C）4的展开式中，常数项为，则（ D ）ABCD5的展开式中常数项为 -42 （用数字作答）6若的二项展开式中的系数为，则2（用数字作答）7若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B
27、 ）A10 B.20 C.30 D.1208若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 7 .9将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是 32 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 图1第六课时 杨辉三角“杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于培养学生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会.杨辉三角11 1 1 2 1 1 3 3
28、 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 中还隐藏着许多奥秘：请看这些斜线上的数：自然数 1 三角形数 1 1四面体数 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 1520 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1一.自然数：1，2，3，4，求前n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然数的左下方.比如，前4个自然数的和，就在第4个自然数4的左下方，是10.前5个自然数的和，就在第5个自然数5的左下方，是15.依此类推.二.三角形数：1，3，6，10，三角形数就
29、是可以用点“排”成三角形的数.最顶端1个点，下一排2个点，再下一排3个点，再下一排4个点，5个点，6个点所以，三角形数依次是1，123，1236，123410，即1，3，6，10，求前个三角形数的和，无需使用公式，答案就在第个三角形数的左下方.比如，前4个三角形数的和，就在第4个三角形数10的左下方，是20.前5个三角形数的和，就在第5个三角形数15的左下方，是35。依此类推.三.四面体数：1，4，10，20，四面体数就是可以用三角形数“垒”成四面体的数。最顶端1个点，下一层3个点，再下一层6个点，再下一层10个点，15个点，21个点所以，四面体数依次是1，134，13610，1361020，
30、即1，4，10，20，求前个四面体数的和，无需使用公式，答案就在第个四面体数的左下方.比如，前3个四面体数的和，就在第3个四面体数10的左下方，是15.前4个四面体数的和，就在第4个四面体数20的左下方，是35.依此类推.最让人感到意外的是，“杨辉三角”竟然还与“菲波那契数列”有着密切的关系.请看下图：（图中的斜线可以一直画下去） 1 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1010 5 11 6 152015 6 11 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1斜线上数的和，依次是1，1，112，123，1315，1438，156113
31、，1610421，171510134，1，1，2，3，5，8，13，21，34，不正是斐波那契数列吗？“杨辉三角”真称得上是一个数学宝藏，它的这些奇妙之处都是后来陆续被发现的，究竟其中还隐藏着那些奥秘，仍然是一个未知数.发掘宝藏，需要兴趣和毅力，也许新的发现正在向你招手呢！五.横行规律 1第0行 1 1第1行 1 2 1第2行1 3 3 1第3行1 4 6 4 1第4行1 5 1010 5 1第5行1 6 152015 6 1第6行1 7 21 35 35 21 7 1第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第8行1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第9行杨辉三角
32、中的第1，3，7，15，行，即行的各个数字都是奇数.第行的各个数字除两端的1之外都是偶数.杨辉三角第5行中，除两端的1之外，行数5整除所有的数.你能再找出具有类似性质的三角形吗？这时的函数是什么数？如2，3，7，11等.行数是质数（素数）.将第行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数有何特征？（）.六.斜行规律第一条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：.结论：在杨辉三角中，第条斜线（从右上到左下）上前个数字的和，等于第条斜线上的第个数.于是（第1条斜线）（第2条斜线）（第3条斜线）（第4条斜线）（）.七. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个只由单位分数（分子为
33、1的分数）组成的三角形，这个三角形最早由德国数学家莱布尼茨（Leibniz）作出，所以叫做莱布尼茨单位分数三角形，或简称莱布尼茨三角形。 莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质，希望同学们利用所学知识，去探索莱布尼茨三角数字的规律。练习：杨辉是中国南宋末年一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如下图是一个11阶杨辉三角.第0行 1第1斜列第1行 1 1第2斜列第2行 1 2 1第3斜列第3行 1 3 3 1第4斜列第4行 1 4 6 4 1第5斜列第5行 1 5 10 10 5 1第6斜列第6行 1 6 1
34、5 20 15 6 1第7斜列第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第8斜列第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第9斜列第9行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第10斜列第10行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第11斜列第11行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 第12斜列（1）求第20行中从左到右的第4个数；（2）若第行中从左到右的第14个数与第15个数的比为，求的值；（3）求阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜到中，第5个数为35. 显然，136101535.事实上，一般地有这样的结论:第斜列中(从右上到左下)前个数总和，一定等于第斜列中第个数.试用含有，(，)的数学公式表示上述结论，并给予证明.解：（1）；（2），解得；（3）；（4）左边右边.
