1、23抛物线抛物线23.1抛物线的定义与标准方程抛物线的定义与标准方程12.3.1课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标21.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2会求简单的抛物线的方程会求简单的抛物线的方程3课前自主学案课前自主学案抛物线抛物线24相等相等准线准线5思考感悟思考感悟1如何理解抛物线的定义？如何理解抛物线的定义？提示：提示：(1)抛物线定义的实质可归结为抛物线定义的实质可归结为“一动三一动三定定”，一个动点，设为，一个动点，设为M；一个定点；一个定点F即抛物线的即抛物线的焦点；一条定直线焦点；一条定
2、直线l即抛物线的准线；一个定值即即抛物线的准线；一个定值即点点M与点与点F的距离和它到直线的距离和它到直线l的距离之比等于的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点在抛物线的定义中，定点F不能在直线不能在直线l上，否上，否则，动点则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直垂直于直线于直线l的一条直线如到点的一条直线如到点F(1,0)与到直线与到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹为过点轨迹为过点F且与直线且与直线l垂直的一条直线垂直的一条直线62抛物线的标准方程抛物线的标准方程78思考感悟思考感悟2如何确定抛物线的
3、焦点位置和开口方向？如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示：一次项变量为提示：一次项变量为x(或或y)，则焦点在，则焦点在x轴轴(或或y轴轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定向也随之确定四种位置的抛物线标准方程的对比：四种位置的抛物线标准方程的对比：910(1)共同点：共同点：原点在抛物线上；原点在抛物线上；焦点在坐标轴上；焦点在坐标轴上；焦点的非零坐标都是一次项系数的焦点的非零坐标都是一次项系数的.(2)不同点：不同点：焦点在焦点在x轴上时，方程的右端为轴
4、上时，方程的右端为2px，左端，左端为为y2；焦点在；焦点在y轴上时，方程的右端为轴上时，方程的右端为2py，左端为左端为x2；开口方向与；开口方向与x轴轴(或或y轴轴)的正半轴的正半轴相同，焦点在相同，焦点在x轴轴(或或y轴轴)正半轴上，方程右端正半轴上，方程右端取正号；开口方向与取正号；开口方向与x轴轴(或或y轴轴)的负半轴相同，的负半轴相同，焦点在焦点在x轴轴(或或y轴轴)负半轴上，方程右端取负负半轴上，方程右端取负号号11课堂互动讲练课堂互动讲练确定抛物线的焦点、开口方向、准确定抛物线的焦点、开口方向、准线方程线方程12求抛物线求抛物线y2ax2(a0)的顶点坐标、焦点的顶点坐标、焦点
5、坐标、准线方程，指出其开口方向并确定坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值值131415自我挑战自我挑战1已知抛物线的标准方程如下，分已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程别求其焦点坐标和准线方程(1)y26x；(2)2y25x0.16求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法由求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定然后再利用已知条件确定p的值的值17求
6、满足下列条件的抛物线的标准方程：求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点过点(3,2)；(2)焦点在直线焦点在直线x2y40上上【思路点拨】首先判断焦点可能存在的位置，【思路点拨】首先判断焦点可能存在的位置，设出适当的方程的形式，然后求出参数设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可即可181920【名师点评】【名师点评】(1)确定抛物线的标准方程，从确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可口方向不确定时，应进
7、行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)(2)求抛物线标准方程的方法：求抛物线标准方程的方法：21特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论定，要分类讨论222324抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用对于抛物线中的最值问题，其求解方法为把到对于抛物线中的最值问题，其求解方法为把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离焦点的距离
8、化为到准线的距离，到准线的距离化为到焦点的距离化为到焦点的距离25【思路点拨】先根据抛物线的定义求出抛物线【思路点拨】先根据抛物线的定义求出抛物线方程再利用平面几何的有关性质求出最小值方程再利用平面几何的有关性质求出最小值【解】【解】(1)点点M到点到点F(0,1)的距离比它到的距离比它到x轴的距轴的距离大离大1，即，即“点点M到点到点F(0,1)的距离等于它到直线的距离等于它到直线y1的距离的距离”，所以点，所以点M的轨迹是以的轨迹是以F为焦点，为焦点，直线直线y1为准线的抛物线，此时，为准线的抛物线，此时，p2，故所求抛物线方程故所求抛物线方程G为为x24y.(2011年青州高二检测年青州
9、高二检测)已知点已知点A(12,6)，点，点M到到F(0,1)的距离比它到的距离比它到x轴的距离大轴的距离大1.(1)求点求点M的轨迹方程的轨迹方程G；(2)在在G上是否存在一点上是否存在一点P，使点，使点P到点到点A的距离的距离与点与点P到到x轴的距离之和取得最小值？若存在，轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由262728【名师点评】根据抛物线的定义，平面内与一【名师点评】根据抛物线的定义，平面内与一个定点个定点F和一条不过该点的直线和一条不过该点的直线l的距离相等的点的距离相等的点的集合叫作抛物线，另一方面，抛物线上的任
10、意的集合叫作抛物线，另一方面，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离就是一点到焦点的距离等于该点到准线的距离就是说，定义具有判定和性质的双重作用，本题利用说，定义具有判定和性质的双重作用，本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，的定义，“化曲折为平直化曲折为平直”，将两点间的距离的，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用几何性质的典型运用29自我挑战自我挑战3已知抛物线已知抛物线y24x的焦点是的焦点是F，点，点P是抛物线上的动点，又有点是抛物
11、线上的动点，又有点A(3，2)，求，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的最小值，并求出取最小值时P点坐标点坐标解：解：30311(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的特别注意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，不要出现错误一次项系数为负时，不要出现错误(2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式物线方程才有标准形式(3)抛物线的开口方向取决于一次项变量抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或或y)的的取值范围如抛物线取值范围如抛物线x22y，一次项变量，一次项变量y0，所以抛物线开口向下所以抛物线开口向下322标准方程中只有一个参数标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标，求抛物线的标准方程，只需求出准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数的值即可，常用待定系数法法(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为定时，可设所求抛物线方程为y2ax(a0)，或，或者者x2ay(a0)；(2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求当抛物线不在标准位置时，用定义来求33
