1、数学物理方法第三讲数学物理方法第三讲导数导数&解析函数（解析函数（2学时）学时）导数导数定义：设函数定义：设函数 是区域是区域 上定义的单值函数，即对于上定义的单值函数，即对于区域区域 上的每一个上的每一个 值，有且只有一个值，有且只有一个 值与之对应，若在值与之对应，若在 上的某点上的某点 ，极限，极限存在，并且与存在，并且与 趋近于趋近于0的方式无关，则称的方式无关，则称 在在 点点可导（或单演），此极限叫做函数可导（或单演），此极限叫做函数 在在 点的导数（或点的导数（或微商），以微商），以 或或 表示。表示。00()limlimzzf zzzz z()f z()f zBBzBz()fz
2、z()f zzdfdz说明：复变函数的导数的定义，在形式上跟实变函数的导数的说明：复变函数的导数的定义，在形式上跟实变函数的导数的定义一样，因而，实变函数论中关于导数的规则和公式往往可定义一样，因而，实变函数论中关于导数的规则和公式往往可应用于复变函数。应用于复变函数。1常用的求导公式：常用的求导公式：1nndznzdz121221()ddddzdzdz11212222ddz zzdeedz1212()ddddzdzdz()ddF dFdzddzsincosdzzdz1/ddzdzdcossindzzdz 1lndzdzz必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上必须指出，
3、复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同，这是因为实变函数却有很大的不同，这是因为实变函数 只能沿着实轴逼近零，但复变只能沿着实轴逼近零，但复变函数函数 却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此，即与实变函数相却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此，即与实变函数相比，复变函数的可导是一种严格的多的要求。比，复变函数的可导是一种严格的多的要求。xz20000()()()(,)(,)(,)(,)limlimlim(,)(,)(,)(,)limzzxxf zf zzf zu xx yiv xx yu x yiv x yzzxu xx yu x yi v xx yv x yuv
4、ixxx 1uvvuiixxyy()f z现在让我们比较现在让我们比较 沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情况：两种情况：z0zx 先看先看 沿平行于实轴方向逼近零的情形，这时沿平行于实轴方向逼近零的情形，这时 ，而，而0y z于是：于是：20zi y 再看再看 沿平行于虚轴方向逼近零的情形，这时沿平行于虚轴方向逼近零的情形，这时 ，而，而0 x z于是：于是：0000()()()(,)(,)(,)(,)limlimlim(,)(,)(,)(,)limzzyyf zf zzf zu x yyiv x yyu x yiv x yz
5、zi yu x yyu x yi v x yyv x yvuii yyy 如果如果 在在z点可导，以上两极限必须存在且彼此相等，即：点可导，以上两极限必须存在且彼此相等，即：uvxy&vuxy 两条件合称柯两条件合称柯西西黎曼条件黎曼条件3复习复习:柯西柯西-黎曼条件是如何得到的黎曼条件是如何得到的?(?(形式形式)极坐标系下的柯西极坐标系下的柯西-黎曼条件黎曼条件:计算方法计算方法sincosyx?x?x?y?y yuxvyvxu等式两边同乘等式两边同乘:等式两边同乘等式两边同乘:yxyx得得yuxvyvxuyxyxxyxyvuvu11极坐标系下的极坐标系下的柯西柯西-黎曼条件黎曼条件4证明
6、证明:函数函数 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是:)(zf函数函数 的偏导数的偏导数 存在存在,且连续且连续,并且满足并且满足柯西柯西-黎曼条件黎曼条件.)(zfyvxvyuxu,要证明要证明 可导可导,就必须证明极限就必须证明极限:)(zfzzfzzfz)()(lim0存在存在,并且与并且与 的方式无关的方式无关.0zyixviuzzfzzfzzfzzz000lim)(lim)()(lim vu和和是二元函数是二元函数和和),(yxu),(yxv的全微分的全微分.yxyyuxxuu21yxyyvxxvv43yixyyvxxviyyuxxuz)(lim0省略了高阶无穷小省略了高阶无穷小
7、利用利用C-R条件条件xvxu将分子展开并合并同类项得将分子展开并合并同类项得:xvixuyixyxixvyixxuz)()(lim0利用利用12i存在且与存在且与的方式无关的方式无关0z命题得以证明命题得以证明!5解析函数解析函数 在 点解析0z)(zf 函数 在点 及其邻域上处处可导)(zf0z 是区域B上的解析函数)(zf 在区域B上每一点都解析)(zf说明说明函数若在某一点解析函数若在某一点解析,则必在该点可导则必在该点可导反之却不一定成立反之却不一定成立例例 仅在z=0点可导,在其他点均不可导2)(zzf由解析的定义可知:在z=0处并且在整个复平面上处处不解析2)(zzf结论结论函数
8、在一点可导与解析是不等价的但是,函数在某区域上可导与解析是等价的6解析函数的主要性质解析函数的主要性质若函数 在区域B上解析,则:ivuzf)(21),(,),(CyxvCyxu(为常数)是B上的两组正交曲线21,CCC-R条件yvxuyuxv两式相乘两式相乘yuyvxvxu移项得移项得0yuyvxvxu等于等于vu=0说明 和 的方向矢量相互垂直1),(Cyxu2),(Cyxv若函数 在区域B上解析,则:ivuzf)(均为上的调和函数vu,调和函数定义：调和函数定义：见P141.有二阶连续偏导2.满足拉普拉斯方程7证明证明 为调和函数为调和函数 vu,yvxuyuxv对对x求偏导求偏导对对y
9、求偏导求偏导yxvxuyuyxv222222相加相加02222yuxu同理消去同理消去 得得:u02222yvxv这是说这是说 和和 都满足二维的拉普拉斯方程都满足二维的拉普拉斯方程,也就是说也就是说它们都是调和函数它们都是调和函数,由于他们是同一个复变函数的实部和虚由于他们是同一个复变函数的实部和虚部部,所以又叫共轭调和函数所以又叫共轭调和函数.),(yxu),(yxv8应用应用已知一个二元调和函数已知一个二元调和函数,可以把这个调和函数看做某个可以把这个调和函数看做某个解析函数的实部解析函数的实部(或者虚部或者虚部),利用利用C-R条件求出相应的虚条件求出相应的虚部部(或者实部或者实部),
10、这样就确定了这个解析函数这样就确定了这个解析函数.例例题题设给定的二元调和函数设给定的二元调和函数 是解析函数的实部是解析函数的实部,试求试求相应的虚部相应的虚部),(yxu),(yxv解解二元函数二元函数 的微分式是的微分式是:),(yxvdyyvdxxvdv利用利用C-R条件条件dyxudxyudv全微分dvyxv),(于是得到于是得到:从而计算出从而计算出),(yxv进一步得到解析函数)(zf计算该积分为解题计算该积分为解题关键关键(三种方法三种方法)9已知 ，求 。例题例题22),(yxyxu )(zfxdyydxdyxudxyudv22 解方法一：并取积分路经为 时，得),()0,()0,0(yxxCdyxdxyyxvyconsxxy0.0022),(Cxyyxv 2),(),(),()(yxivyxuzf )2(22Cxyiyx Ciyixyx 22)(2Ciyx 2)(Cz 210方法二：将 ，代入 2*zzx izzy2*),(yxu2)(4)(24)(222),(2*22*22*22*2*zzzzzzzzzzizzzzyxu *22)(21zz 2)()(),(*zfzfyxu 而 2)(zzf 所以 11作业作业:P9 2.1),7)3 P18 2.1),3)Class is Over!12
