1、研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质点之间的相对位置保持不变的点之间的相对位置保持不变的质点系质点系。刚体在运动过程中，其上任意两刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。点的连线始终保持平行。这样的运动可以用质点动力学的这样的运动可以用质点动力学的方法来处理。方法来处理。刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转动和非定轴转动动和非定轴转动。刚体的一般运动刚体的一般运动：质
2、心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。O xP角坐标：角坐标：，单位是弧度，rad角位移：角位移：OP z角速度的大小：角速度的大小：0dlimdttt 角速度角速度 的方向：的方向：由右手螺旋法则由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。伸直的大拇指即为角速度的方向。ddktO xPz,kddt若若 ，沿沿 Z 轴正方向轴正方向d0dt22ddddkkttO xPz,k刚体作匀变速转动时，其运动方程与匀变速直线运动刚体作匀变速转动时，其运动方程与匀变速直线运动的运动方程相似，其角位
3、移、角速度和角加速度之间的运动方程相似，其角位移、角速度和角加速度之间有下列关系：有下列关系：02002200122ttt 对于定轴转动对于定轴转动2tnararvr 一飞轮作匀变速转动，一飞轮作匀变速转动，3s内转过内转过234rad，角速度在，角速度在3s末达末达到到108rad/s。求角加速度和初角速度。求角加速度和初角速度。由匀变速转动运动方程：由匀变速转动运动方程：2012tt0t消去消去0，并代入数值，可得角加速度：，并代入数值，可得角加速度：2222()2(1083234)20 rad/s3tt 进而可求得初角速度：进而可求得初角速度：010820348 rad/st要改变刚体的
4、转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向和作用点都有关。和作用点都有关。sinMFdFr力矩是矢量：力矩是矢量：MrF 单位：单位：NmM FdPr如果力如果力F 的方向不在转动平面内，可以的方向不在转动平面内，可以沿平行和垂直定轴两个方向分解。平行沿平行和垂直定轴两个方向分解。平行于轴的力部产生力矩。于轴的力部产生力矩。力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。M FdPr0,0iiMF0,0iiMFFFFF一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。几个力同时作用一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。几个力
5、同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。jiijMMjririjijFjiFdijMjiMsinrFM FmamrttmMmr2MrFmr2trmzFtFnFMM iFif把刚体看作一个质点系，对其上把刚体看作一个质点系，对其上P处的第处的第 i 个质点个质点mi，分析其受力：，分析其受力：合外力矩：合外力矩：iiFrM合内力矩：合内力矩：0iifr加加 速速 度：度：iitinaaa()iiiiiitinFfmam aa 应用牛顿运动定律，进行化简：应用牛顿运动定律，进行化简：dPir2()iiiiiiiitinii
6、i iitirFrfrm aarFmramr对上式两边操作对上式两边操作 后，再对所有质点求和，并注意后，再对所有质点求和，并注意到到 ，可以得到：，可以得到：ir 0iinra2 i iImr其中其中I 为转动惯量为转动惯量(moment of inertia)：定轴转动定律：定轴转动定律：MI2i iIm r 通常刚体均为连续体，则：通常刚体均为连续体，则：22dd IrmrVI 的单位：的单位：kgm2。转动惯量与刚体对给定转轴的质量分布有关。转动惯量与刚体对给定转轴的质量分布有关。转动惯量与转轴的位置有关。转动惯量与转轴的位置有关。转动惯量具有可相加性。转动惯量具有可相加性。求质量为求
7、质量为m、长为、长为l 的均匀细棒对下面（的均匀细棒对下面（1）、（）、（2）和（）和（3）所给定的转轴的转动惯量。所给定的转轴的转动惯量。（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直；）转轴通过棒的中心并与棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并与棒垂直；）转轴通过棒的一端并与棒垂直；（3）转轴通过棒上离中心为）转轴通过棒上离中心为d的一点并与棒垂直。的一点并与棒垂直。oxzdxdmx2d Irmdddmmxxl233222211d312llllIxxxl2112Iml（1）在）在x处取处取dm，dm长为长为dx。2201d3lIxxml213Iml（2）转轴通过棒的一端并与棒垂直，此时（）转轴通过棒的一端并与
8、棒垂直，此时（1）中的坐标原）中的坐标原点取在棒端，转动惯量的计算只改变积分上下限，得点取在棒端，转动惯量的计算只改变积分上下限，得2221d12Ixxmlmd ld2ld2(3)转轴通过棒上离中心为转轴通过棒上离中心为d 的一点并与棒垂直取转轴与棒的的一点并与棒垂直取转轴与棒的交点为坐标原点交点为坐标原点O。这时的积分上下限变化了：。这时的积分上下限变化了：2213Imlmd平行轴定理平行轴定理（parallel axis theorem）：）：2CIImd 一质量为一质量为 m，半径为，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。面垂直的轴
9、的转动惯量。ordrRd2dmr r 2dJrm32drr302dRJrr42122RmR 质量质量 m=16 kg、半径为、半径为 R=0.15 m 的实心滑轮的实心滑轮,一根细绳绕一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求（的物体。求（1）由静止开始）由静止开始 1 秒钟秒钟后，物体下降的距离。（后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。）绳子的张力。maTmg212T RImRRa mmRTmgT注意到本题中的滑轮是有质量的，是典型注意到本题中的滑轮是有质量的，是典型的刚体模型，在做定轴转动。的刚体模型，在做定轴转动。处理刚体问题也是需要先作受力分析。然处理刚体问
10、题也是需要先作受力分析。然后对系统中的刚体和质点分别列出方程。后对系统中的刚体和质点分别列出方程。116540 N2T 22115 12.5m22hat-28 105m s288mgamMmmRTmgTdcosd cosd sind dAFrFrFrM21dAM功率为：功率为：ddddANMMttFrddr刚体中任一质元刚体中任一质元 mi 动能：动能：2222121iiiirmvm因此，刚体的转动动能：因此，刚体的转动动能：22222121iiiikrmrmE212kEIivirdddddd AMIIt21222111dd22 AAIII合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩
11、对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。2122211122kkAIIEE对于刚体，同样要考虑保守力、势能、机械能等。对于刚体，同样要考虑保守力、势能、机械能等。一质量为一质量为 M、半径、半径 R 的实心滑轮的实心滑轮,，一根细绳绕在其上，一根细绳绕在其上，绳端挂有质量为绳端挂有质量为 m 的物体。问物体由静止下落高度的物体。问物体由静止下落高度 h 时，其速时，其速度为多大？度为多大？22011 22TRII2201122mghThmvmv RhRv MmRTmgTh本题中绳子中的拉力对刚体做正功，对本题中绳子中的拉力对刚体做正功，对下落的重物作负功。下落的重物作负功。mMmghv22解得：
12、解得：2000,0,2vIM R也可以从物体的重力势能减少量转化也可以从物体的重力势能减少量转化为刚体和重物的动能角度来考虑：为刚体和重物的动能角度来考虑：2211 22mg hImvRv MmRTmgTh角动量角动量(angular momentum)是用来描述物体绕某定点（轴）旋是用来描述物体绕某定点（轴）旋转的机械运动量。转的机械运动量。odrpmv质点对质点对o 点的角动量：点的角动量：sinLpdmvrLrprmv角动量是矢量：角动量是矢量：odrpmvLrprmv角动量单位：角动量单位：kgm2/sL2iii ii iLmv rm r 2 i iLmrI 方向沿定轴，可用正、负表示
13、方向。方向沿定轴，可用正、负表示方向。LivrimL对刚体中质元对刚体中质元 mi 的的角动量：角动量：因此整个刚体的角动量：因此整个刚体的角动量：LI转动定律转动定律 简单形变：简单形变：MIddddLMIItt作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量随时间作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率。的变化率。适用范围更广！适用范围更广！ddLMtddLMt角动量定理：角动量定理：合外力矩的冲量矩等于系统角动量的增量。合外力矩的冲量矩等于系统角动量的增量。2121dttM tLL21dttM t 是力矩在是力矩在t1 到到t2时间内的冲量矩。时间内的冲量矩。21221
14、1 LLII若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。自然界重要的普遍规律自然界重要的普遍规律d0 ,0 ,const.dLMLt 一长为一长为 l，质量为，质量为 M 的杆可绕支点的杆可绕支点O自由转动。一质量为自由转动。一质量为 m，速度为速度为 v 的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为 a 的棒内，若棒偏转角为的棒内，若棒偏转角为 30,问子问子弹的初速度为多少弹的初速度为多少?角动量守恒（过程角动量守恒（过程1 1）22 31malMmva机械能守恒（过程机械能守恒（过程2 2）2221 1 1cos301cos30232lM lmamgaMg o
15、av3030由此即可求得子弹的初速度由此即可求得子弹的初速度v.教材例题教材例题1-6 也是应用角动量守恒的例子。也是应用角动量守恒的例子。221122(2)(2)ImlIml22211122()2()Im ll2222221111(2)(2)22AImlIml)()(21212122222112 mlmlJ )()(2121222221222121 llllm )(222121llm J7.47)28.0()25.1(32222 )cos1(212 mglmvvlmlm vv )cos1(212 vlmgm1cos1cos133 ll ，coscos oGoddLL陀螺受合外力矩：陀螺受合外
16、力矩：ddLMrGt 下一时刻的角动量：下一时刻的角动量：dLLL由此决定了陀螺的进动方向！由此决定了陀螺的进动方向！oGzL注意注意 的方向，并且的方向，并且 的方向要与之一致！的方向要与之一致！dLM d,dddsin d LMtM tLL进动角速度进动角速度ddsin MtLddLLoGzL设右图中的刚体回转仪处于平衡状态，设右图中的刚体回转仪处于平衡状态，现将重物右移。则飞轮进动的方向如现将重物右移。则飞轮进动的方向如何？何？从正上方向下看从正上方向下看，此时，合外力矩为，此时，合外力矩为逆时针，故作逆时针方向进动！逆时针，故作逆时针方向进动！dLLddLLdd MMtLIdddM t
17、LL内容提要重点难点描述刚体转动状态的物理量转动定律及应用转动惯量力矩 转动定律刚体定轴转动动能定理及应用角动量定理及应用力矩的功转动动能转动动能定理角动量、角冲量角动量定理角动量守恒及应用质点模型、参考系、坐标系、坐标质点模型、参考系、坐标系、坐标 等等。速度速度 、加速度加速度 等等，注意这些量的注意这些量的。()r td()()dr tv ttd()()dv ta tt力力 的的。是关于力及其作用的基本规律，构成了一个是关于力及其作用的基本规律，构成了一个完整的体系。有关物理量的单位制。完整的体系。有关物理量的单位制。在应用牛顿定律解决问题的时候，首先需要做好在应用牛顿定律解决问题的时候
18、，首先需要做好，然后在不同坐标方向上建立牛顿第二定律的方程式，然后在不同坐标方向上建立牛顿第二定律的方程式，进行解题。进行解题。物体做旋转运动时，既有物体做旋转运动时，既有（normal acceleration），还，还有有（tangential acceleration），大小分别为：），大小分别为：2vnnf=mamrddttf=mamtv物体在力的作用下产生位移，则该力做物体在力的作用下产生位移，则该力做，功的定义是：，功的定义是：dsA=fs物体具有速度时，该物体的物体具有速度时，该物体的为：为：212kEmv合外力对物体（系）做功可以改变物体（系）的动能，合外力对物体（系）做功可以
19、改变物体（系）的动能，表达式为：表达式为：2221211122vvkkA=EEmm有一类力做功的大小只与物体运动的起止位置有关，与物体所有一类力做功的大小只与物体运动的起止位置有关，与物体所经过的路径无关。这类力称为经过的路径无关。这类力称为（conservative force）。）。对保守力可以定义势能。对保守力可以定义势能。，在定义了，在定义了势能零点以后，它们的势能表达式分别为：势能零点以后，它们的势能表达式分别为：pEmgh212pEkx如果一个系统，只有保守内力做功，即外力和非保守内力都不如果一个系统，只有保守内力做功，即外力和非保守内力都不做功，那么系统的做功，那么系统的，这就是
20、，这就是constantkpE=EE一个物体的质量和其运动速度的乘积，就是一个物体的质量和其运动速度的乘积，就是，动量也是一，动量也是一个矢量：个矢量：pv=m。所以牛顿第二定律也可为：。所以牛顿第二定律也可为：dd()ddpvfttm=从力和动量关系表达式可以推导得到：从力和动量关系表达式可以推导得到：表明表明。212121dttftppvvmm=当一个系统不受合外力或者所受合外力为零，则系统的总动量保当一个系统不受合外力或者所受合外力为零，则系统的总动量保持不变，这就是持不变，这就是（law of conservation of momentum）：）：1 1221 10220vvvvmmmm要注意以上这些基本概念的辨析，定律定理的使用前提条件。要注意以上这些基本概念的辨析，定律定理的使用前提条件。建议做一些练习，也建议找一些相关的参考书查阅。建议做一些练习，也建议找一些相关的参考书查阅。
