1、题选 力平衡 力矩平衡几种力：张力（拉伸）绳子，处处相等吗？有摩擦，离心力场，有自重等弹力（挤压）刚性物体，无形变，垂直于接触面 弹性物体，有形变，满足胡克定律摩擦力静摩擦（有无，大小，方向的判断）动摩擦重力（引力）非接触力 细杆单位长度的质量为 。靠在半径为R的圆环上，上端与球相切。假设所有接触点皆有足够的摩擦，以使系统保持静止，求地面与圆环之间的摩擦力。寻找关键关系，不需要列出所有方程。杆的力矩平衡：cos2LMgNL 球的力平衡（水平方向)cossinffNcos2LMgNL)cos1(2cossincos1sinMgNf)2/(/tgRLLMcos21gRf 关键：球的力矩平衡，关键：
2、球的力矩平衡，两个接触点摩擦力相两个接触点摩擦力相等！等！张力在连续物体（绳与杆）中的分布光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意位置的张力。证明如果链条两端处于同一水平高度则链条保持静止。000gdyT解：取一小段长为dl的线元，质量dmdl两端张力之差（净张力）dT=(dm)gsindlgsingdylmgygygdyTy/0d21d21d21d21yNfd21d21OT+dTTxT0T1例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。.02sin2sin2,02cos.02sin)(2sin,02cos2cos)
3、(ddTdTNNddTddTTdTNNdTddTT.TddT.1cos,sin,222dddd 很小.021,0dTdTdNNdT.,TdNNdTeTTdTdTTT01010千克力39101025.0510eeTT练习：（2）一个质量为）一个质量为M半径半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为摩擦系数为 ，试，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。（3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大
4、？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？RMgnMgdnReMgTeTT2/cos )3(2)0()0()()2(222/RMgRTnTdnRdTdndlN2/例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。M,K 引例：弹簧串联。哪个伸长更大？mmmmkkkkn个弹簧串联，从下向上数x1=mg/k,x2=2mg/k,x3=3mg/k,X=x1+x2+x3+xn=n(1+n)mg/2kM=nmX=Mg(1+n)/2kn无穷大,1+n=n,k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长
5、问题。M,K 先看一个类似的问题旋转刚性杆的张力 LTT+dTdrLMdmrdmTdTT ,2 /2LrdrMdT /20LrTLrdrMdT)(21222rL M LT练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。M,k（2010 IYPT题目）02 ,dxLMdmxdmTdTTx0TT+dTx0+dx0 xx+dx02020000)1()1()()(xdxLMdxxdkLdxdxkLddTdxdxkLdxdxkxTkdxLkxkLMdxxd22202xmkdtxd22类似于简谐振动方程，解是BxkLMAx022cos当切掉末端dx长度对应的dm以后，质心向前移动dx，按照杠杆原理,与端点距离始终是
6、l-ldm=mdxdxmgdmlxxmmemmlxmmdxlmdmldxmdm/000/ln1026届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c,求桌面对桌腿1的压力F1。分析：力平衡，力矩平衡，对称性，F1F2F3+F4FF2F4F3cFF1差一个方程，弹性形变，X1=F1/k,X2=X4=F2/k,X3=F3/k从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足X1X32X2 即F1F32F2以上方程解
7、得F1(2c+1)F/4,F3=(1-2c)F/4讨论：c1/2,F321，所以l3不可能与l1,或l2相等，故l1l25cm，Lllhll,2cmllLcml5.26 ,5.2121531223sgLT03.12IPhO15-2 在某些湖泊中能经常观察到称之为“湖震”的奇异现象。它通常发生在长且窄的浅湖中。水的整个质量就像端咖啡待客时杯中的咖啡那样运动，这不能错当成湖面所看到的正常水波。建立湖震模型，取一个矩形容器。用L表示容器的长度，h表示水的高度。假定水面最初与水平面有一很小的夹角。水开始绕容器一半长度处的水平轴振动，而水面始终保持为平面。试对水的运动建立一个模型，并求出振动周期T的表示
8、式。表中列出了两个不同长度的容器中不同水深的振动周期。用适宜的方法核查，使实验数据较好得符合你求出的公式，并发表对你所用的模型的看法。L=47mmh/mm30506988107124142T/s1.781.401.181.081.000.910.82L=143mmh/mm31385867124T/s0.520.480.430.350.28/解:水面下方的三角形移动到水面上方，三角形底边L/2,高r0）的位置，速度为零。）的位置，速度为零。B1.1.0分分写出在滑动摩擦力下写出在滑动摩擦力下,简谐振子的运动简谐振子的运动方程。方程。B2.2.0分分画出这一振子的相轨迹，确定振子的画出这一振子的相
9、轨迹，确定振子的平衡位置。平衡位置。B3.1.0分分振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区域长度。域长度。B4.2.0分分确定振子的确定振子的x正方向振动最大偏离量正方向振动最大偏离量DA在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏离的时间间隔是多少？给出离的时间间隔是多少？给出x正方向第正方向第n次最大偏次最大偏离量离量A(tn)的表达式，其中的表达式，其中tn是第是第n次达到正向最大次达到正向最大偏离处的时间。偏离处的时间。B5.1.0分分画
10、出坐标与时间的关系，并估计物体画出坐标与时间的关系，并估计物体总的振动周数总的振动周数N。A1.0.5 pxppp-L/2L/2A2.1.0 pEkxmp22221/2222kExmEp A3.1.5 p E2mgL 摆动；摆动；E2mgL 绕轴转动绕轴转动EmgLmL)cos1(222K=3，三种轨迹：，三种轨迹：振动，转动，临界点。振动，转动，临界点。0 ,0 ,2020 xmFxxxmFxxfrfr B1.1.0 p Ffr=mg,02=k/m B2.2.0 p ，201mFxxfr202mFxxfr02,1202,1xx 摩擦力的影响体现为平衡位置的漂移：摩擦力的影响体现为平衡位置的漂
11、移：0 x 0 ,120 xmFxfr0 x 0 ,220 xmFxfr 相图是两组椭圆的组合：p0对应的上半平面的中心位于x-椭圆的一部分，pb,绳子原来拖在桌上的一段长度大于b，绳子没有摩擦。LgMkLgkyLygk)(ttAtxcos)()(为了计算振幅衰减，考虑每次振动的能量损失3232303223432sin)(21sin)(212121AEEEAdtttAEttAvdtvvvdtvdmupdowndown设振动方程为 dt时间内振动次数能量损失为与之对应的振幅减少2343423232dtAdNAdEdtdNAdAMAMddE22221LtbAdtLAdAdtAAdAM3211323
12、22332Problem3.SolutionProblem5.Problem6.Problem7.Problem8.练习13.7(p528)：镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉子时与墙所作的角。n解：2lmgNymaNmgImgl sin=?2 lalant质心加速度：atyancossin2 llay)cos1(21/sin2mglIImgl 跳离时，N=0,得：gImglsincos)cos1(2222234)2(31mllmI3/1cos得：练习14.18(p533)：半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为ha的台阶发生非弹性碰撞。求球能翻越
13、台阶的最小速度（假定在碰撞点没有发生滑动）碰撞前后关于A点角动量守恒：20000/)(maIIavIIhamvcAAcn解：hav0w0A碰撞后机械能守恒：mghIA221)()(2200hamaImaImghaavcc 解：n例题：一质量为m,长为l的匀质细杆铅直地放置在光滑的水平地面上。当杆由静止倒下时，求地面对杆端的支撑力。mgN222121)cos1(21ccmvImgsin2lvcvcvc2lCAA点竖直速度为零：2121mlIc222sin31sin)cos1(3glvcdtdgldddtdvvcc22sin31sin)cos1(32sin2lvdtdc22242)sin31()c
14、os2cos2sin3(sin3gac222)sin31(cos3cos64)(mgagmNcProblem6.Problem8.n例 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。a0amOxyn解：受力分析：mgNa0aa加速度分析：a=a+a0X方向:ax=acosY方向:ay=a0-asin列方程：Nsin =macosNcos -mg=m(a0asin )解得:a=(g+a0)sin ,N=m(g+a0)cos 约束运动问题问题 运动学的约束：质点被限制于某个曲
15、面或某个曲线上运动。约束反力：约束对质点的反作用力。沿着约束的法向OR例2（P143）：质点从光滑的静止大球的顶端滑下。试问滑到何处，质点就会脱离球面飞出。求解及分析（初始条件）法向切向cossin2mgNmRmgmR O法向切向NmgR)cos1(sin22RgRgddmgmgN2cos3当=cos-1(2/3),N=0 标志质点开始离开球面例题：质点沿光滑抛物线 y2=2x无初速的下滑，质点的初始坐标为（2，2），问质点在何处脱离抛物线。提示：曲率半径|/|)/(1222/32dxyddxdyR解：2/,1 ,0)4)(1(0)1()(21)1(|)/11(|1cos ,/1)(2cos/
16、22/32222/322/3232222xyyyyyyhmgyymgNyyyRyyyytgyhgvNmgRmv取解2：质点受力mg,N,当N0时，水平方向受力为零，故ax=0,即vx（或vx2)有极大值0431)(21cos)(224222222yyyyyyhgvyyyhgvx得到：引力问题引力问题球壳的万有引力 )(0)(2RrRrrrrGMmF地球内部物体受到的万有引力3233 RGMmrrmMGFRrMVMVMM兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M，M是红色部分的总质量球体的万有引力 )()(32RrrrRGMmrRrrrrGMmFORFr原型：假定巴黎和伦敦
17、之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km,地球的半径为6400km，忽略摩擦力。考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。考题（2004复赛第三题）有人提出了一种不用火箭发射人造卫星的设想。沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时释放，只要M比m足够大，碰撞后质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有一种装置，在卫星刚离开出口B时，立即把卫星速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小，
18、这样卫星便有可能绕地心运动，成为一颗人造卫星。若卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？已知M=20m，地球半径为6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。3.弹性碰撞 4.机械能守恒 5.有心力场里的运动（第一宇宙速度）竞赛题与常规考题的区别：1.考察的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强 对策：对策：熟悉各种原型问题。2.在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。对策：对策：识破题目的障眼法，找到原型。3.题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复
19、运用，加上各种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。对策：对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题，常规考题设置了一些简化假设（比如没有摩擦，2004复赛第七题在碰撞停止之前水平速度一直向右等等）。不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。解：)()(3222RrrRmgRGMmrRrRrmgrGMmFkx-mgx/R r Rmg xmFxcos 线性恢复力，做振幅为A的简谐振动 gRhRAuhRARgmk22222/umMmMvuVvMVmvmuMu32弹性碰撞，注意：正负号，用恢复系数（写能量守恒式子）umMmMvvvmMmuvmMMuvumMmMvuvcmmMmc32,22简谐振动，能量守恒（不要把v 当成发射速度）2222212212212132121212121umMmMuvvmumvkAmvmv宇宙速度 RgvmgRvm21210222925.013RhRggRhRmMmM
